再谈一道美国数学月刊问题的加强

摘要

设a、b、c、R、r分别为锐角ΔABC的三边长、外接圆半径及内切圆半径,求证:a2/b2+c2-a2+b2/c2+a2-b2+c2/a2+b2-c2≥3/2·R/r·(1)这是《美国数学月刊》2010年8期第11527号问题.文献[1][2]分别将式(1)下界改进为9√3R2/4rs及(a2+b2+c2/16S2)(其中s、S分别为△ABC的半周长与面积,下同),文献[3]中则得到式(1)更优的两个下界3(a4+b4+c4/16S2及3/4·R2/r2.文献[4]中借助于恒等式a2/b2+c2-a2+b2/c2+a2-b2+c2/a2+b2-c2=1/cosAcosBcosC-1.(2)并通过将cosAcosBcosC放大,得到式(1)的两个下界R2/r2-1与27R4/4s2r2-1.通过拜读几位老师的文章，笔者脑中萌生出两个想法，其一:式(1)是否可以进一步的加强(诚如文献[4]的名字，不等式的“最”尽头是等式，此处指的是更简洁更强的下界)?其二:这些下界之间的关系是如何，能否将它们串在一起?由这些想法出发，笔者进行了探究，得到式(1)更优的下界2R(R-r)/r2-1，并建立了不等式链.