对用于造纸机横向过程的多变量模型预测控制器的快速性能预测

摘要

本发明提供了一种对用于大规模空间分布的动态系统的多变量模型预测控制器(MPC)的进行快速性能预测的技术。当针对二维造片过程操作MPC时，控制器性能能够被分为空间性能和动态性能。首先预测不同片属性模式的稳态空间性能，此后，根据稳态执行器轮廓来预测动态性能。在稳态空间性能预测期间，原始MPC的代价函数被近似为稳态代价函数。然后通过稳态代价函数来计算稳态测量轮廓和执行器轮廓。能够通过面对约束使执行器轮廓与稳态执行器轮廓之间的差别最小化来高效求解时序中的执行器轮廓。最后，能够使用该模型来快速计算时序中的测量轮廓。

说明书

发明领域

本发明大体上涉及用于监视和控制具有多变量模型预测控制器 (MPC)的连续造片(sheetmaking)系统的技术，并且更为具体地， 涉及用于面对(in the face of)有效约束(active constraint)利用最优 调谐参数来正确预测控制器性能的快速技术。

发明背景

在利用现代高速机器造纸的现有技术中，必须连续监视和控制片 (sheet)属性以确保片质量以及在制造过程中存在扰动时使所完成的 废品量最小化。被最频繁测量的片变量包括制造过程的不同阶段的基 本重量、含水量以及纸径(caliper)(即厚度)。这些过程变量通常 由例如调节过程开始时的给料供应率、调整过程中间附近施加到纸张 的蒸汽量、或者改变过程结束时的压光辊之间的挤压强度(nip pressure)来控制。

造纸机采用遍布于连续移动的网(web)的大的执行器(actuator) 阵列来控制由一个或多个来自于执行器下游的扫描传感器所测量的 纸张属性的横向(CD)轮廓(profile)。CD执行器通常包括安装在 传动杆(beam)中的独立控制的执行器阵列，所述传动杆跨越了CD 中移动片的宽度。传统上，设计CD执行器的意图在于控制单一的测 量轮廓。堰唇与稀释仿形(dilution profiling)执行器位于网前箱 (headbox)中并且被设计为控制纸张的重量轮廓。蒸箱和再给湿喷淋 执行器位于机器的更下部并且被设计为控制片的含水量。最后，感应 加热执行器位于造纸机的干燥端并且对压光堆中的辊进行局部加热， 并且通过辊的热膨胀或收缩来增大或减小施于其上的压力，从而增大 或减小纸片的纸径。

在实践中，这些执行器通常对多于一个测量轮廓具有明显影响。 例如，堰唇执行器是力执行器，其被设计来修改退出网前箱的间隔的 高度，并且从而控制金属丝网筛(wire screen)上突出的原料分布以 致力于控制重量轮廓。来自于新闻用纸机的数据已经表明，堰唇的操 作也会极大地影响湿度轮廓(因为开放的堰意味着金属丝上更多的水 以及对于更重的片而言脱水更慢)。使用“冗余”的执行器阵列引起 额外的多变量效应。

CD控制指的是被设计来减少纸片属性在横向上的变化的控制系 统。通常，设计者使用成对规则来选择一个CD执行器阵列以控制一 个纸片属性，并且多阵列CD过程的交互通常在传统CD控制中被忽 视。

很遗憾，多数设计得很好的单阵列CD系统的情况不佳。即使处 于稳态，它们的一些奇异值也会难以察觉地小。大尺寸以及情况不佳 使得这些过程难以控制。近来已经发现，对于多阵列CD过程，该过 程的情况不佳可能是由于多阵列测量与执行器之间的交互而引起的。 这意味着控制多阵列CD系统比控制单阵列CD系统要更加困难。

在CD过程中应用模型预测控制(MPC)已经被考虑了一段时间。 尽管多数发表的论文仅考虑了一个执行器阵列和一个受控属性，因而 没有解决协同的多个CD执行器阵列控制多个片属性的问题，但是多 阵列CD控制系统变得愈发普及。工业模型预测控制实施能够采用CD 过程的多阵列模型，其是从补充工业模型识别工具获得的，例如 Gorinevsky和Heaven的美国专利6,086,237中所描述的方法，该专利 被转让给Honeywell International，Inc。多阵列控制的优势在已报道的 改进性能中是很明显的。其主要劣势是在线优化所需的大量计算负 担，原因是受制于来自每15秒钟高达6000次测量的高达1800个约 束而可能需要约束二次规划(QP)问题产生多达600个执行器定点。

在图1中将用于实施造纸机CD MPC控制系统的过程表示为6个 步骤的序列。选择预测范围和控制范围以及优化权重的调谐步骤通常 是自组织(ad hoc)的，并且通常通过对闭环系统的仿真来评估。Fan & Stewart于2005年10月27日提交的题目为“Automated Tuning of Large-Scale Multivariable Model Predictive Controllers for Spatially-Distributed Process”的美国专利申请序号11/260,809中描述 了用于大规模(large scale)CD MPC的连贯自动调谐方法。

即使在适当调整多变量CD预测控制器之后，仍然存在利用面对 有效约束利用最优调谐参数高效地正确预测控制器性能的任务(对应 于图1中的步骤4)。由于大规模空间问题的缘故，这还没有被令人 满意的实现，尤其是对于动态性能预测。具有有效约束的用于大规模 MPC的性能预测的现有技术要以闭环仿真来运行MPC，这可能需要 至少10到15分钟才能完成。

发明简述

本发明部分基于这样的认知：当针对二维造片过程操作MPC时， 控制器的性能能够被分为空间性能和动态性能。利用本发明，首先预 测不同片属性模式的稳态空间性能，此后，根据稳态执行器轮廓来预 测动态性能。在进行稳态空间性能预测期间，原始MPC的代价函数 被近似为稳态代价函数。然后能够通过稳态代价函数来计算稳态测量 和执行器轮廓。在获得稳态执行器轮廓之后，能够通过面对约束条件 使执行器轮廓与稳态执行器轮廓之间的差别最小化来高效求解时序 中的执行器轮廓。最后，在获得时序中的执行器轮廓后，能够使用该 模型来快速计算时序中的测量轮廓。对于典型的CDMD MPC系统， 整个性能预测过程需要不到1分钟就能完成。本发明可应用于不同的 片属性模式：仅CD、仅MD或者CD & MD。

在一个实施例中，本发明涉及一种对用于空间分布的片过程的横 向机器方向多变量模型预测控制器(CDMD MPC)的性能进行快速近 似的方法，所述方法包括以下步骤：

(a)为空间分布的片过程识别过程模型；

(b)将调谐参数和约束输入到CDMD MPC中；

(c)为CDMD MPC计算稳态空间性能；以及

(d)为CDMD MPC计算动态性能。

在另一个实施例中，本发明涉及一种过程控制系统，其具有用于 向空间分布的片过程提供控制的横向机器方向多变量模型预测控制 器(CDMD MPC)，其具有至少一个受操纵的执行器阵列和至少一个 受控测量阵列，一种包括以下步骤的用于提供过程控制的方法：

(a)为空间分布的片过程识别过程模型；

(b)将调谐参数和约束输入到CDMD MPC中；

(c)为CDMD MPC计算稳态空间性能；

(d)为CDMD MPC计算动态性能。

(e)将所计算的空间和动态性能与空间和动态性能的期望水平相 比较；

(f)使用具有约束的不同调谐参数重复步骤(b)至(e)直到所 计算的空间和动态性能满足或超过空间和动态性能的期望水平；

(g)将最优调谐参数输入到CDMD MPC中；以及

(h)利用CDMD MPC来控制空间分布的片过程。

在另一个实施例中，本发明涉及一种在多变量阵列空间分布的片 过程中形成材料片的系统，其中所述系统包括：

(a)至少两组执行器阵列，每组在横向(CD)上邻近材料分布， 其中每组执行器阵列都是可控的以便改变材料属性；

(b)用于测量或获取有关横向上的材料属性的属性数据的装置；

(c)用于空间分布的片过程的横向机器方向多变量模型预测控制 器(CDMD MPC)，其向多阵列横向过程提供CD控制，其中MPC 响应于指示属性数据的信号而向所述至少两组执行器阵列提供信号 以改变材料属性；

(d)用于根据用于空间分布的片过程的过程模型和调谐参数以 及约束对CDMD MPC的性能进行快速近似的装置，其包括(i)用于 计算CDMD MPC的稳态空间性能的装置和(ii)用于计算CDMD MPC 的动态性能的装置。

附图简述

图1是实施工业造纸机CD控制的程序。

图2图示了造纸系统；

图3是用于造纸机CD过程的具有CDMD-MPC的闭环系统的框 图；

图4是示出本发明的过程步骤的图示；

图5图示了作为本发明的工业实例的用于造纸厂中的机外 (off-machine)超级压光机(supercalender)过程；

图6(A)-(C)是通过闭环仿真和通过空间性能预测方法而产生 的处于稳态的CD测量轮廓的曲线图；

图7(A)-(D)是通过闭环仿真和通过空间性能预测方法而产 生的处于稳态的CD执行器轮廓的曲线图；

图8(A)-(C)示出了通过闭环仿真和通过说明动态性能的性能 预测方法而产生的测量轮廓的2西格玛趋势图；

图9(A)-(D)示出了通过闭环仿真和通过说明动态性能的性 能预测方法而产生的执行器轮廓的2西格玛趋势图；

优选实施例的详细描述

本发明大体上涉及用于实施MPC控制系统的技术。特别地，一 种用于具有有效约束的大规模多变量MPC的快速性能预测方法取代 了当前需要大量计算并且非常缓慢的闭环仿真。用于协同横向和机器 方向控制的MPC操作最初包含设备模型的开发。对于造纸机，该步 骤优选地如图1中的步骤1和2那样通过执行碰撞试验继之以识别模 型来完成。之后，通过调谐MPC来选择预测范围和优化权重(即图1 中的步骤3)。此后，使用在先前步骤中所获得的最优调谐参数来预 测控制器性能。如本下文将更为详细地描述的那样，本发明提供了一 种快速性能预测技术(即图1中的步骤4)，其尤其适于大规模多变 量MPC。

一旦完成上述序列，调谐参数能够被下载到在线控制器上，能够 通过组合预测和控制策略来采用所述在线控制器以使目标系统(设 备)自动化。所述控制策略将所预测的设备信号和一组目标进行比较， 并且然后调整可用的执行器以达到目标且同时遵守设备的约束。

在Fan & Stewart于2005年10月27日提交的题目为“Automated Tuning of Large-Scale Multivariable Model Predictive Controllers for Spatially-Distributed Process”的美国专利申请序号11/260,809，以及 Backstrom和He和J.Fan等的美国专利6,807,510，以及2005年11 月的IEEE Transactions on Control Systems Technology第13卷第6期 中的“Approximate Steady-State Performance Prediction of Large-Scale Constrained Model Predictive Control Systems”中进一步描述了包括优 选调谐方法的MPC的操作，在此将它们全部并入作为参考。

这种创造性的性能预测方法将通过在大规模多变量MPC中实施 该技术来说明，所述MPC控制诸如造纸机或相关联超级压光过程之 类的造纸过程。图2中所图示的适于制造连续的纸张材料片44的造 纸机包括网前箱32、蒸箱28、压光堆30、卷带盘(take up reel)48 和扫描器系统20。在网前箱32中，执行器被安排来控制将湿材料卸 到沿横向(CD)的支撑线或网36上。拖拉形成于线36之上的纤维材 料片以使其在辊34和38之间沿机器方向(MD)移动并且通过压光 堆30。压光堆30包括执行器，所述执行器控制在纸网范围内施加的 压缩压力。造纸系统包括挤压部(未示出)，其中水被机械地从片中 去除并且网被加固。此后，通过在干燥部(未示出)中进行蒸发来去 除水。在带盘48处收取已完成的片产品。在实践中，靠近网前箱的 造纸过程部分被称为“湿端”，而靠近卷带盘的过程部分被称为“干 燥端”。

在线扫描器系统20通常包括水平伸展的导轨对24，其跨越纸产 品44的宽度。通过直立支柱22在导轨的相对端处支撑导轨，并且导 轨在垂直方向上间隔开一定距离，该距离足以提供纸产品44在轨道 之间移动的间隙。传感器被固定于支架26，随着测量的进行，该支架 26在纸产品44上方前后移动。

应当理解，本创造性技术对于应用于由多变量MPC控制的任何 大规模工业多变量横向(CD)过程而言是足够灵活的。例如，除了机 外和机上(on-machine)超级压光过程之外，其他造纸机过程也能够 由多变量MPC来控制。例如，在MachHattie等人的美国专利 6,805,899、Heaven等人的6,466,839、Hu等人的6,149,770、 Hagart-Alexander等人的6,092,003、Heaven等人的6,080,278、Hu等 人的6,059,931、Hu等人的6,853,543和He的5,892,679中，进一步描 述了其中从湿材料连续制造纸张的适当造纸机过程，这些专利都被转 让给Honeywell International，Inc，在此将它们并入作为参考。该创造 性技术也可应用于塑料制片、橡胶制片以及金属片操作。

每个制片过程或者相关过程组都具有某种输入(例如流、给料、 功率等)以及输出(例如温度、压力等)，以及与之相关联的特征。 近年来，模型预测控制技术已被用于根据这些特征来优化某些过程。 一种MPC技术使用某种过程的算法表示来估计与它们相关联的特征 值(被表示为参数、变量等)，其能够被用于更好地控制这样的过程。 近年来，物理、经济和其他因素也被结合到用于这些相关联过程的控 制系统中。Lu等人的美国专利5,351,184、Lu等人的美国专利 5,561,599、Lu等人的美国专利5,572,420、Lu等人的美国专利 5,574,638、Backstrom和He的美国专利6,807,510中，描述了此类技 术的实例，这些专利都被转让给Honeywell International，Inc，在此将 其并入作为参考。

图3示出了具有CDMD MPC的闭环造纸机控制系统的框图，在 Backstrom和He的美国专利6,807,510中对其有进一步的描述。控制 器58被设计为使得选自片属性模式选择器56的片属性参考52Yref 与根据该模型以及来自于图2中所示的扫描器系统20的当前测量所 计算的预测的未来测量轮廓之间的差别最小化，其受制于调谐参数50 和约束54。控制器的输出轮廓U(z)在造纸机过程60中被发送至CD 执行器阵列，并且此后，组合的过程输出和扫描器系统所检测到的扰 动66被反馈至控制器58。

片属性模式定义

用于CD过程的MPC策略的工业实施在现有技术中是已知的，并 且美国专利6,807,510中将其作为实例来描述。该实施包括目标或代 价函数，所述目标或代价能被求解以得到用于造纸过程的协同MD和 CD控制的当前执行器定点的最优改变的阵列。如下建立CDMD MPC 的适当的代价函数：

$\underset{\mathrm{\Delta U}\left(k\right)}{\min }J\left(k\right)=\underset{\mathrm{\Delta U}\left(k\right)}{\min }\underset{j=T_d+1}{\overset{H_p}{\Sigma }}{E}^T(k+j)Q_{1}E(k+j)+\Delta U^T\left(k\right)Q_2\mathrm{\Delta U}\left(k\right)+---\left(1\right)$

${(U\left(k\right)-U_{\mathrm{ref}})}^T{Q}_3(U\left(k\right)-U_{\mathrm{ref}})+U^T\left(k\right)Q_{4}U\left(k\right)$

服从于

AΔU(k)<b-C·U(k-1)，(2)

其中$E\left(k\right)=Y_{\mathrm{ref}}\left(k\right)-\hat{Y}\left(k\right),$Y_ref(k)∈R^(p·m)×1是目标测量轮廓，并且 $\hat{Y}\left(k\right)\in R^{(p·m)\times 1}$是预测的未来测量轮廓，(1)中的H_p是预测范围而T_d是所 有子设备的时间延迟的最小值(即(4)中的T_dij)，$U\left(k\right)\in R^{\left({\Sigma }_{j=1}^q{n}_j\right)\times 1}$和 $U_{\mathrm{ref}}\in R^{\left({\Sigma }_{j=1}^q{n}_j\right)\times 1}$分别是执行器轮廓和期望的执行器轮廓， ΔU(k)(＝U(k)-U(k-1))是执行器轮廓的改变，Q₁到Q₄是CDMD MPC的 调谐权重，其被定义为

Q₁∈R^{(p·m)×(p·m)}＝diag(q₁₁I_m，q₁₂I_m，…，q_1pI_m)，

$Q_2\in R^{{\Sigma }_{j=1}^q{n}_j\times {\Sigma }_{j=1}^q{n}_j}=\mathrm{diag}(q_{21}{I}_{n_1},q_{22}{I}_{n_2},···,q_{2q}{I}_{n_q}),$

$Q_3\in R^{{\Sigma }_{j=1}^q{n}_j\times {\Sigma }_{j=1}^q{n}_j}=\mathrm{diag}(q_{31}{I}_{n_1},q_{32}{I}_{n_2},···,q_{3q}{I}_{n_q}),$

$Q_4\in R^{{\Sigma }_{j=1}^q{n}_j\times {\Sigma }_{j=1}^q{n}_j}=\mathrm{diag}(q_{41}{B}_{n_1}^T{B}_{n_1},q_{42}{B}_{n_2}^T{B}_{n_2},···,q_{4q}{B}_{n_q}^T{B}_{n_q}),$

其中“diag(x₁，x₂，…，x_n)”意指(分块)对角矩阵，具有(分块)对 角元素x₁，x₂，…，x_n；I_n表示n×n的单位矩阵；$B_{n_j}\in R^{n_j\times n_j}$是第j个执行器 阵列的弯矩(bending moment)矩阵；(2)中的A、C和b分别是约 束矩阵和向量；(3)中的y_i(z)∈C^m×1和d_i(z)∈C^m×1是分别第i个测量和扰 动轮廓，并且(3)中的$u_j\left(z\right)\in C^{n_j\times 1}$是第j个执行器轮廓，$B_{\mathrm{ij}}\in R^{m\times n_j}$是第 (i，j)个子设备的空间响应矩阵，并且h_ij(z)是第(i，j)个子设备的动 态响应，其被定义为：

$h_{\mathrm{ij}}\left(z\right)=\frac{(1-a_{\mathrm{ij}})z^{-T_{\mathrm{dij}}}}{1-a_{\mathrm{ij}}{z}^{-1}},---\left(4\right)$

其中T_dij是第(i，j)个子设备的时间延迟，并且a_ij是与第(i，j) 个子设备的时间常数和采样时间相关的标量。

当在仅CD模式下预测性能时，Y_ref(k)(＝Y_cdt(k))和这二者都是零 均值向量，其中Y_cdt(k)是CD形目标向量，其多数情况下为零向量。

当在仅MD模式下预测性能时，Y_ref(k)(＝Y_mdt(k))和$\hat{Y}\left(k\right)(=\mathrm{mean}\left(Y\left(k\right)\right))$这 二者都是具有相同元素的向量，其中Y_mdt(k)是MD目标向量。

当在CD&MD模式下预测性能时，Y_ref(k)(＝Y_mdt(k)+Y_cdt(k))和 $\hat{Y}\left(k\right)(=\mathrm{mean}\left(Y\left(k\right)\right))$这二者既不是零均值向量也不是具有相同元素的向量。

性能预测方法

如图4中所述以及在此进一步所描述的，一旦确定了过程模型、 调谐参数和约束70，并且给定初始执行器轮廓U₀和测量轮廓Y₀72， 就将该信息与本创造性过程一起使用，以预测仅CD、仅MD和 CD&MD片属性模式的稳态空间性能。在稳态空间性能预测74期间， 原始的CDMC MPC的代价函数被近似为稳态代价函数。然后能够通 过稳态代价函数来计算稳态测量和执行器轮廓。在获得稳态执行器轮 廓之后，能够通过面对约束使执行器轮廓与稳态执行器轮廓之间的差 别最小化来高效求解时序中的执行器轮廓。最后，在获得时序中的执 行器轮廓之后，能够采用该模型来快速计算时序中的测量轮廓。此后， 根据稳态执行器轮廓来预测动态性能76。通常，整个性能预测过程仅 需要不到1分钟的时间来完成。

空间性能预测

1.构建稳态目标函数

J_s＝(Y_ref-N·Y_ss)^TQ_s1(Y_ref-N·Y_ss)+(U_ss-U_ref)^TQ_s3(U_ss-U_ref)+U_ss^TQ_s4U_ss，(5)

其中Y_ss和U_ss分别是稳态测量和执行器轮廓，Q_s1、Q_s3、Q_s4是 与将在下一步骤中求解的(1)中的Q₁、Q₃、Q₄相对应的权重，N是 与片属性模式相关的矩阵，其被定义为

其中m是(3)中的片属性y_i(z)的一般解。

2.通过使两个没有约束的控制器之间的差别最小化来求解 Q_s1、Q_s3、Q_s4，一个控制器来自于(1)中的处于稳态的CDMD MPC 控制器，另一个来自于(5)中的上述一个步骤的稳态“控制器”。 能够高效获得解为：

Qs₁＝Q₁，                                 (8)

其中

r_j＝mean(r_1j，r_2j，…，r_pj)，            (10)

$r_{\mathrm{ij}}=\underset{k=1}{\overset{H_p-T_{\mathrm{dij}}}{\Sigma }}\underset{l=1}{\overset{k}{\Sigma }}{a_{\mathrm{ij}}}^{l-1},i=1,···,p,j=1,···,q,---\left(11\right)$

其中(10)中的“mean(r_1j，r_2j，...，r_pj)”是为了获得r_1j，r_2j，...，r_pj的平 均值，H_p来自于(1)，T_dij和a_ij来自于(4)，p和q来自于(3)。

3.使上述稳态目标函数(5)最小化，以对测量和执行器轮廓进行 稳态预测如下：

$\underset{U_{\mathrm{ss}},Y_{\mathrm{ss}}}{\min }{J}_s---\left(12\right)$

服从于：

C·U_ss<b，(13)

Y₀＝G_ssU₀+D_ss，                                 (15)

其中C和b来自于(2)，G_ss是处于稳态的(3)中的模型G(z)， U₀和Y₀分别是初始执行器和测量轮廓。

动态性能预测

1.通过使以下目标函数最小化来计算时间k＝1时的估计的执行 器轮廓U_e：

$\underset{U_e}{\min }{J}_e=\underset{U_e}{\min }{(U_e-U_{\mathrm{ss}})}^T(U_e-U_{\mathrm{ss}}),---\left(16\right)$

服从于：

AΔU_e<b-C·U₀，                                    (17)

其中ΔU_e＝U_e-U₀、A、b和C来自于(2)。

2.在服从约束(2)和(3)的情况下根据(1)中的控制器代价函 数计算时间k＝1时的实际执行器轮廓U(k)(＝U₀+ΔU(k))，并且根据以下 目标函数来求解比率α：

$\underset{\alpha }{\min }{J}_{\alpha }=\underset{\alpha }{\min }{(\mathrm{\Delta U}\left(1\right)-\mathrm{\alpha \Delta }{U}_e)}^T(\mathrm{\Delta U}\left(1\right)-\mathrm{\alpha \Delta }{U}_e),---\left(18\right)$

其中

j＝1至q的表示n_j乘n_j的单位矩阵。

3.通过使以下函数最小化来计算时序k＝1到k₀时的预测的执行 器轮廓U_pred(k)(＝U_pred(k-1)+ΔU_pred(k))：

$\underset{\Delta U_{\mathrm{pred}}\left(k\right)}{\min }(\Delta U_{\mathrm{pred}}\left(k\right)-\alpha {(U_{\mathrm{ss}}-U_{\mathrm{pred}}(k-1)))}^T({\mathrm{\Delta U}}_{\mathrm{pred}}\left(k\right)-\alpha (U_{\mathrm{ss}}-U_{\mathrm{pred}}(k-1)))---\left(19\right)$

服从于：

AΔU_pred(k)<b-C·U_pred(k-1)，

其中

$U_{\mathrm{pred}}\left(k\right)=\left(\begin{array}{c}{u}_{1\mathrm{pred}}\left(k\right)\\ ·\\ ·\\ ·\\ u_{\mathrm{qpred}}\left(k\right)\end{array}\right)\in R^{{\Sigma }_{j=1}^q{n}_j}$

注意当k＝k₀(通常小于10)时，U_pred(k)几乎与U_ss相同。因 此，在k>k₀之后，通常k的最大值是100。

4.根据以下过程模型计算测量轮廓Y_pred(k)。

ΔY_pred(k)＝G(z)ΔU_pred(k-1)，                      (20)

Y_pred(k)＝Y_pred(k-1)+ΔY_pred(k)，                   (21)

其中

$Y_{\mathrm{pred}}\left(k\right)=\left(\begin{array}{c}{y}_{1\mathrm{pred}}\left(k\right)\\ ·\\ ·\\ ·\\ y_{\mathrm{ppred}}\left(k\right)\end{array}\right)\in R^{>(p·m)}$

5.如下计算用于测量Y_pred(k)和执行器轮廓U_pred(k)的2西 格玛趋势：

$Y_{2\sigma }\left(k\right)=2\times \left(\begin{array}{c}\mathrm{var}\left(y_{1\mathrm{pred}}\left(k\right)\right)\\ ·\\ ·\\ ·\\ \mathrm{var}\left(y_{\mathrm{ppred}}\left(k\right)\right)\end{array}\right)\in R^{p\times 1},---\left(22\right)$

$U_{2\sigma }\left(k\right)=2\times \left(\begin{array}{c}\mathrm{var}\left(u_{1\mathrm{pred}}\left(k\right)\right)\\ ·\\ ·\\ ·\\ \mathrm{var}\left(u_{\mathrm{qpred}}\left(k\right)\right)\end{array}\right)\in R^{q\times 1},---\left(23\right)$

其中“var(a)”表示用于计算向量a的方差的运算。

实例

造纸厂处的超级压光机中的CD过程被用于说明相对于闭环仿真 而言本发明预测多变量CDMD MPC的空间和动态性能的有效性。超 级压光过程或者是机上的连续过程或者是机外的分批过程。其用于改 进纸片的表面属性，例如平滑度和光泽(光亮)，这对于高质量印刷 纸而言是极为关键的。纸张可以是无涂层的、单面涂层的或双面涂层 的。

图5描绘了机外的超级压光机。超级压光机CD过程被用于典型 的多CD阵列过程模型以便说明本发明。即，像其他造纸机CD过程 一样，超级压光过程是二维(空间和时间(或动态))过程，其起始 于在开卷机110处纸片从带盘解开(unwind)。此后在一系列垂直布 置的辊112、114、116、118、120、122、124、126、128和130之间 馈入纸片。纸片所通过的两个辊之间的点被称作钳点(nip)。辊被安 排为交替的硬辊和软辊，其中两个连续的软辊118和120在堆的中间。 包含两个连续软辊的钳点被称作回动钳点。在这点处，硬辊所做的工 作被从片的一面转到另一面。纸片从堆的底部传送出去，通过测量片 属性的扫描器140，并且此后在回卷机142处在带盘上卷起。对于CD 测量而言，能够采用在线扫描传感器。可替换地，传感器阵列能够沿 CD在邻近移动纸片的任意适当位置处布置。

利用热水对辊116和122进行加热。该过程还配备了两个蒸箱执 行器阵列148和150，以及两个感应加热执行器(也被称为“calcoil”) 阵列144和146。对于两个蒸箱执行器阵列，顶面一个被命名为u₁而 反面的那个被命名为u₄。对于两个感应加热执行器阵列，顶面一个被 命名为u₂而反面的那个被命名为u₃。每个蒸箱执行器具有n₁＝n₄＝31 个执行器，而每个感应加热执行器阵列具有n₂＝n₃＝64个执行器。受 控片属性为顶面光泽(平滑度)被标为y₁，纸径(厚度)被标为y₂而反面光泽为y₃。在扫描器的传感器的信号处理之后，测量阵列数目 是m＝192。该说明性超级压光机具有4个执行器阵列和3个测量阵 列，每个的尺寸为192。多超级压光机CD过程由CD MPC控制。

操作超级压光机，以使得过程模型和初始测量以及执行器轮廓都 被识别和收集。此后，如图6至9中的数据所呈现的那样，将本创造 性性能预测方法与闭环仿真进行比较。闭环仿真包括在硬件在环 (hardware-in-loop)环境中运行控制器。图6至9中的数据是针对仅 CD模式而生成的。

图6A至6C是通过闭环(CL)仿真和通过说明空间性能的空间 性能预测方法而产生的稳态测量轮廓图。在每个图中，粗实线的曲线 是控制之前的初始测量轮廓，细实线的曲线是控制之后的预测的测量 轮廓，而虚线的曲线是来自于闭环仿真法的控制之后的稳态测量轮 廓。来自于预测方法和闭环仿真法的两条曲线实际上难以区分。

图6A描绘了纸张的上表面的光泽，图6B描绘了纸张的纸径或厚 度，而图6C描绘了纸张的反面或下表面的光泽。在超级压光机的回 卷机的带盘处沿纸张的CD方向进行测量。很明显，本创造性的空间 预测方法所提供的创造性的空间性能预测所给出的信息与传统闭环 技术所给出的信息相当。

图7A-D是稳态执行器轮廓的图，其中实线加点的曲线(图7A 中的“A”)表示控制之前的初始执行器轮廓，竖线(图7A中的“B”) 是通过本创造性方法获得的预测的执行器轮廓，而实线加方块的曲线 (图7A中的“C”)表示使用闭环仿真法的控制之后的稳态执行器轮 廓。

图7A、7B、7C和7D分别描绘了蒸箱顶面、顶面感应线圈、反 面感应线圈和反面蒸箱上的CD执行器轮廓。在每个图中，通过闭环 仿真所得到的执行器轮廓与预测的执行器轮廓实际上是相同的。

图8A-8C和图9A-9C是通过闭环仿真法和通过说明动态性能的性 能预测所产生的测量和执行器轮廓的2西格玛趋势图。在这两组图中， 闭环(CL)曲线和预测(Pred)曲线分别是根据从闭环仿真法和预测 法所产生的测量和执行器轮廓而在时序中计算的。

很明显，本创造性预测技术所提供的动态性能与闭环法给出的动 态性能是相当的。然而，在具有2.8GHz CPU和1GB RAM的计算机 上，用于预测图6和7中所示的空间性能以及图7和8中所示的动态 性能的总计算时间仅为5.2秒和14.5秒，而使用闭环仿真法，则需要 约20分钟。

上文已经描述了本发明的原理、优选实施例和操作模式。然而， 本发明不应受限于文中所讨论的特定实施例。相反，上述实施例应被 认为是说明性的而非限制性的，并且应该意识到，本领域内的技术人 员可以在不偏离由所附权利要求所限定的本发明的范围的情况下对 这些实施例进行改变。