一种基于复变差分灵敏度的非线性结构有限元模型修正方法

摘要

本发明公开一种基于复变差分灵敏度的非线性结构有限元模型修正方法，首先，建立结构的非线性有限元初始分析模型；其次，对结构中的待修正参数进行复步长摄动，计算非线性动响应灵敏度；再次，测量结构的响应数据，建立非线性模型修正的目标函数；最后，将测量动响应与分析动响应作最小二乘优化，从而实现非线性有限元模型修正。本发明可以修正非线性有限元分析模型的结构参数，提高分析模型的计算精度。

说明书

技术领域

本发明属于非线性结构有限元模型修正领域，尤其涉及一种基于复变差分灵敏度的非线性结构有限元模型修正方法。

背景技术

有限元分析方法的成熟为工程结构的分析提供了快速有效的数值解决方法。但在有限元建模过程中的误差往往会导致初始有限元模型不能准确表征结构力学特征。有限元模型修正作为提供准确工程结构分析模型的方法，利用分析结构的测量数据来修正有限元分析模型的建模参数，使得分析响应与测量动响应残差最小，从而获得准确的分析模型。

现有模型修正技术在线性结构中的应用已经较为成熟，但在考虑结构非线性特征时的非线性结构有限元模型修正方法理论还在进一步的发展中。且目前非线性有限元模型修正技术中，一般采用结构的频域响应数据以及基于非梯度的优化算法对非线性结构的有限元模型进行修正，增加了分析耗时。如何利用结构的时域响应和基于灵敏度的修正方法，减少优化迭代次数，提高修正效率，成为亟待解决的实际工程问题。

发明内容

发明目的：针对以上问题，本发明提出一种基于复变差分灵敏度的非线性结构有限元模型修正方法，对非线性结构的待修正参数进行复变步长摄动，将非线性结构动响应的计算由实数域扩展到复数域，并通过提取计算结果的虚部数据计算非线性结构动响应的灵敏度，在此基础上实现基于复变差分灵敏度的非线性结构有限元模型修正，提高非线性有限元分析模型的计算精度。

技术方案：为实现本发明的目的，本发明所采用的技术方案是：一种基于复变差分灵敏度的非线性结构有限元模型修正方法，该方法包括以下步骤：

(1)建立具有非线性特征结构的非线性有限元初始分析模型，计算结构的初始分析动响应；

(2)对结构中的待修正参数进行复步长摄动，计算非线性动响应灵敏度；

(3)测量结构的响应数据，建立非线性模型修正的目标函数；

(4)将测量动响应与分析动响应作最小二乘优化，实现非线性有限元模型修正。

进一步的，步骤(1)中，建立结构的非线性有限元初始分析模型，计算结构的非线性响应，具体步骤如下：

(1.1)对结构进行离散建模，得到结构的非线性有限元初始分析模型；

(1.2)利用数值分析方法，对所建立的非线性有限元模型根据结构的初始值进行动响应计算，得到结构的非线性分析动响应初值r^a(θ₁,t)。

进一步的，步骤(2)中，对结构中的待修正参数进行复步长摄动，计算非线性动响应灵敏度，具体步骤如下：

(2.1)构造结构待修正参数的复步长摄动，得到结构待修正参数的复数域格式：

式(1)表示结构待修正参数的复数域格式，其中，i表示虚数单位，具有以下关系：i²＝-1；θ表示结构的待修正参数，h_θ表示结构待修正参数的复步长摄动，表示复步长摄动后的结构待修正参数；

(2.2)将复步长摄动后的待修正参数替换(1.1)所建立的非线性有限元分析模型中对应的待修正参数，并利用数值分析方法对摄动后的非线性有限元分析模型进行复数域求解，提取结构动响应的虚部数据，得到对应待修正参数的非线性动响应灵敏度：

式中，t表示时间，s_θ表示结构动响应对待修正参数的灵敏度，上标displacement，velocity，acceleration分别表示位移，速度，加速度；表示提取结构动响应的虚部数据；分别表示待修正参数摄动后的位移、速度和加速度响应，h_θ表示结构待修正参数的复步长摄动；

(2.3)对所有待修正参数计算摄动后的位移响应灵敏度矩阵S或速度响应灵敏度矩阵S或加速度响应灵敏度矩阵S。

进一步的，步骤(3)中，测量结构的响应数据，建立非线性模型修正的目标函数，具体步骤如下：

(3.1)以结构的待修正的设置的准确参数值，计算得到建立的模型在测试点的加速度或速度或位移响应作为测量动响应值r^e(t)；

(3.2)对建立的非线性有限元模型进行动力学分析，利用数值分析方法，得到的响应作为分析动响应r^a(θ,t)，将测量动响应与有限元分析模型得到的动响应共同构造非线性模型修正的目标函数，构造的目标函数为：

式中，t表示时间，r^e(t)表示测量动响应，为确定值；r^a(θ,t)为分析动响应，为计算值，θ表示由多个待修正参数组成的待修正参数向量，θ和分别表示待修正参数的下界和上界，控制修正参数的变化区间。

进一步的，步骤(4)中，将测量动响应与分析动响应作最小二乘优化，从而实现非线性有限元模型修正，具体步骤如下：

采用单目标优化方式，通过建立参数约束边界，利用灵敏度方法求得第j步迭代优化过程中的参数变化量：

式中，t表示时间，θ_j表示第j个迭代步的待修正参数向量，j＝1时，采用所设置的初始值；S_j表示第j个迭代优化步中由步骤2所得到的结构非线性加速度响应灵敏度矩阵；r^e(t)表示测量动响应，为确定值；r^a(θ_j,t)表示第j个迭代步的非线性分析得到动响应；θ_j+1表示由式(6)计算得到的第j+1迭代步待修正参数向量，利用最小二乘优化方法，对待修正参数θ进行不断修正，当分析动响应满足收敛要求时，即可实现基于复变差分灵敏度的非线性结构模型修正。

有益效果：与现有技术相比，本发明的技术方案具有以下有益技术效果：

本发明提供了一种基于复变差分灵敏度的非线性结构有限元模型修正方法，通过对待修正参数进行复变步长摄动，计算非线性结构的动响应复变差分灵敏度，实现了基于灵敏度的非线性结构的有限元模型修正，该方法针对非线性结构的动力学建模具有提高建模精度的有益效果。

附图说明

图1为本发明的算法流程图；

图2为本发明实施例的非线性弹性支承悬臂梁结构示意图；

图3为本发明修正前后结构第I点加速度动响应比较图；

图4为本发明修正前后结构第II点加速度动响应比较图；

图5为本发明修正过程中待修正参数的迭代收敛曲线图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明的技术方案作进一步的说明。

如图1所示，一种基于复变差分灵敏度的非线性结构有限元模型修正方法，包括如下步骤：

(1)建立具有非线性特征的结构的非线性有限元初始分析模型，计算结构的初始分析动响应；

(2)对结构中的待修正参数进行复步长摄动，计算非线性动响应灵敏度；

(3)测量结构的响应数据，建立非线性模型修正的目标函数；

(4)将测量动响应与分析动响应作最小二乘优化，从而实现非线性有限元模型修正。

一种基于复变差分灵敏度的非线性结构有限元模型修正方法，采用含有非线性弹性支承的悬臂梁结构来验证，结构的参数分别为：悬臂梁结构的长度l＝0.2m，横截面为圆形，其截面半径为r＝0.005m，采用铝进行建模，其材料弹性模量E＝70GPa，密度ρ＝2.7×10³kg/m³，泊松比μ＝0.3。外部激励力作用位置如图2所示，其值为F(t)＝10sin(60πt)。

待修正参数为五个非线性弹性支承的刚度系数和阻尼系数，共十个待修正参数，本算例为仿真算例，假定修正参数的准确值如表1所列。五个非线性弹性支承产生的非线性恢复力表达式为其中，和分别为第i个非线性弹性支承的刚度系数和阻尼系数，如表1所示。Δx_i和分别表示第i个非线性弹性支承的位移差和速度差。

表1非线性弹性支承的待修正参数准确值

其中，刚度单位N/m³，阻尼单位N/(m/s)³；

具体操作如下：

(1.1)本算例中，对含有非线性特征的梁结构进行建模，得到结构的非线性有限元初始分析模型。非线性有限元模型中的待修正参数的初始值如表2所列，得到的待修正参数向量为本实例中的待修正参数只是作为举例说明，有关于梁结构的其它参数也可以参照此方法进行计算。非线性特征包括：材料非线性、几何非线性和边界非线性，本算例的非线性特征为边界非线性。

表2非线性弹性支承的待修正参数初始值

其中，刚度单位N/m³，阻尼单位N/(m/s)³；

(1.2)利用数值分析方法对所建立的非线性有限元模型进行动响应计算，常用的数值分析方法包括：中心差分法、龙格库塔法、Newmark-β方法和牛顿法等，本算例中采用的方法为Newmark-β方法和牛顿法。对表2中初始参数得到的非线性有限元模型进行求解，得到结构的分析动响应，作为步骤(3)中的分析动响应初值r^a(θ₁,t)，其中，动响应初值可以为位移响应x(t)，速度响应加速度响应中的任一种。本算例中选取I、II两点的转角加速度响应作为目标响应，如图2所示。

步骤(2)中，对非线性有限元分析模型中的参数进行复变差分摄动，计算非线性响应灵敏度，具体步骤如下：

(2.1)构造结构待修正参数的复步长摄动，得到结构待修正参数的复数域格式，以参数为例，复步长摄动后的待修正参数复数域格式为：

式(1)表示结构待修正参数的复数域格式，其中，i表示虚数单位，具有以下关系：i²＝-1；表示结构的待修正参数，表示结构待修正参数的复步长摄动，取为即8.5×10²，表示复步长摄动后的结构待修正参数。阻尼系数采用本步骤同样的计算方法进行计算。

(2.2)将复步长摄动后的待修正参数替换(1.1)所建立的非线性有限元分析模型中对应的参数，利用数值分析方法对摄动后的非线性有限元模型进行动响应计算，常用的数值分析方法包括：中心差分法、龙格库塔法、Newmark-β方法和牛顿法等，本算例中采用的方法为Newmark-β方法和牛顿法。计算得到的摄动后的非线性动响应仅用于本步骤的非线性动响应灵敏度分析。提取摄动后模型的动响应虚部数据，得到对应待修正参数的非线性动响应灵敏度。本算例以加速度动响应灵敏度求解为例，得到待修正参数的加速度动响应灵敏度为：

式中，表示结构加速度动响应对待修正参数的灵敏度，上标acceleration表示加速度；表示提取结构动响应的虚部数据；表示待修正参数摄动后的加速度响应，利用数值方法对摄动后的模型进行求解得到；表示结构待修正参数的复步长摄动；利用步骤(2)的相同方法对待修正参数向量θ中的其余9个参数进行非线性动响应灵敏度求解，最终得到非线性加速度响应灵敏度矩阵S。

步骤(3)中，测量结构的响应数据，建立非线性模型修正的目标函数，具体步骤如下：

本算例为仿真算例，以表1所列准确参数建立的模型得到的I、II两点的加速度响应作为测量动响应值r^e(t)。对建立的非线性有限元模型进行动力学分析，利用数值分析方法，常用的数值分析方法包括：中心差分法、龙格库塔法、Newmark-β方法和牛顿法等，本算例中采用的方法为Newmark-β方法和牛顿法。得到的响应作为分析动响应r^a(θ,t)，将测量动响应与有限元分析模型得到的动响应共同构造非线性模型修正的目标函数，构造的目标函数为：

式中，r^e(t)表示测量动响应，为确定值；r^a(θ,t)为分析动响应，为计算值。本算例中采用加速度测量动响应和加速度分析动响应，可推广采用位移分析动响应和速度分析动响应，相应的测量动响应为位移测量动响应和速度测量动响应。θ表示由多个待修正参数组成的待修正参数向量，θ和分别表示待修正参数的下界和上界，控制修正参数的变化区间。

步骤(4)中，将测量动响应与分析动响应作最小二乘优化，从而实现非线性有限元模型修正，具体步骤如下：

采用单目标优化方式，通过建立参数约束边界，利用灵敏度方法对第j步迭代优化过程中的参数变化量进行求解，得到第j步迭代后的优化参数θ_j+1：

式中，θ_j表示第j个迭代步的待修正参数向量；j＝1时，采用表2所列初始值；S_j表示第j个迭代优化步中由步骤2所得到的结构非线性加速度响应灵敏度矩阵；r^e(t)表示测量动响应，为确定值；r^a(θ_j,t)表示第j个迭代步的非线性分析加速度动响应。θ_j+1表示由式(4)计算得到的第j+1迭代步待修正参数向量。待修正参数初始值如表2所列，利用最小二乘优化方法，对待修正参数θ进行不断修正，当分析动响应满足收敛要求时，即可实现基于复变差分灵敏度的非线性结构模型修正。图3和图4分别表示修正前后的非线性结构有限元模型得到的加速度动响应和10个待修正参数的迭代收敛曲线。表3为待修正参数修正前后的误差分析。

表3待修正参数修正前后误差

其中，刚度系数单位N/m³，阻尼系数单位N/(m/s)³。