具有齐次势能的三个自由度的哈密顿系统的多项式可积性

摘要

本文主要研究具有齐次势能的三个自由度的哈密顿系统的多项式可积性。具有齐次势能的自由度的哈密顿系统是由哈密顿函数=1确定的，其中势能函数(1,...,)是次齐次多项式或一个次齐次多项式的逆。
　　因为哈密顿函数本身就是哈密顿系统的一个首次积分，在个自由度情形下，根据刘维尔完全可积定理可知，若存在另外(?1)个与哈密顿函数相互独立的且对合的首次积分，那么哈密顿方程是完全可积的。原方程可以通过这个首次积分求解。在过去研究中，对于两个自由度下的齐次多项式势能(1,2)，在势能次数=?3,?2,?1,0,1,2,3,4的情形，关于求解另一个独立的多项式首次积分的研究都有了十分完整的结果，甚至针对更高次数的情形也有过一些特例的讨论，但是对于高维自由度的讨论还很少。
　　两个自由度的哈密顿系统，势能次数=?1,0,1时，哈密顿系统完全可积的结论可以比较直接的得到。当势能次数2≤5时，Hietarinta[Phys. Lett. A96(1983),273–278]最初有过较为完整的讨论，并证明了势能次数=2时，哈密顿系统完全可积的结论。随后由 Maciejewski及 Przybylska[Phys. Lett. A,327(5-6)(2004),461–473]给出了所有次数=3时的势能形式满足哈密顿系统完全可积。之后再次由 Maciejewski及 Przybylska[J. Math. Phys.46(6)(2005)062901]给出了除了=1221(1+2)2+14(21+22)2这一类，所有次数=4时的势能形式满足哈密顿系统完全可积，并且由Llibre，Mahdi和Valls[J. Math. Phys.52(2011),012702,9 pp]补充证明了次数=4时未解决的这类势能形式中，只有个别形式的势能满足哈密顿系统完全可积。势能次数=?2时，在十分强的限制条件下，哈密顿系统才完全可积的结论由 Llibre，Mahdi和Valls[J. Math. Phys. Lett. A375(2011),1845–1849]得到。同样由Llibre，Mahdi和Valls[Phys. D240(2011)1928–-1935]解决了势能次数=?3时，哈密顿系统仅在几种特殊的是势能形式下完全可积。
　　本文中我们主要研究在三个自由度下具有齐次势能的哈密顿系统的多项式可积性，由于问题复杂性所限，这里着重研究了=?2,?1,0,1,2的情形，并完全解决了这几个次数势能情形下的多项式可积性。对于次数=?1,0,1,2的势能情形下，我们证明了哈密顿系统均完全可积，并可以找到除哈密顿函数以外的两个函数独立的多项式首次积分。在=?2的势能情形下，我们给出了相应的哈密顿系统可积的充要条件，并给出了另两个函数独立的多项式首次积分的具体的表示。

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第一章 绪论

S1.1 问题背景

S1.2 相关的已知结果

S1.3 主要研究内容和结果叙述

第二章 定理 1.11的证明

第三章 定理 1.12的证明

第四章 定理 1.13的证明

第五章 定理 1.14的证明

第六章 引理 1.15及定理 1.16的证明

S6.1 证明的准备：引理 1.15 的证明

S6.2 定理 1.16 的证明

第七章 定理 1.17的证明

参考文献

致谢