一维热传导问题时变边界上热通量重构问题

摘要

具有Neumann边界条件的抛物型方程的初边值问题是偏微分方程研究领域的一类经典的问题。正问题是由已知的边界条件和初始条件来求区域温度场的问题。如果定解条件(例如边界条件)不足，但可以给出区域内部的一些额外信息，这样便构成了一类热通量重构的反问题，这是一类典型的不适定问题。在一般情况下，此类问题的古典解是不存在的，并且解也有可能不连续依赖于输入数据。因此需要引入正则化方法。 文章的工作分为四部分：首先，利用位势理论方法，通过引入密度函数，将反问题本质上转化成一类关于密度函数的具有弱奇性核的第一类Volterra积分方程；该类方程可以通过Tikhonov正则化方法来求解。其次，本文讨论了利用Morozov相容性原理来确定Tikhonov正则化参数时，近似求解Morozov方程的模型函数方法，该方法利用较少的计算量，可以以很高的精度确定正则化参数，这是近年来发展起来的利用相容性原理近似求解正则化参数的新方法在热传导反问题中的应用；第三，注意到所考虑区域具有时动左边界和无穷右边界的特点，没有标准的数值方法来处理这样的问题，为了检验提出的反演方案的数值效果，本文讨论了此问题模拟产生正演数据的方法；最后，我们给出了有关的数值结果，验证了提出的反演方法的有效性。

目录

文摘

英文文摘

声明

第一章引言

§1.1热传导方程反问题的背景

§1.2热传导问题反及动边界反问题的已有工作

§1.3本文的工作

第二章热通量重构问题及解的唯一性

§2.1问题的描述

§2.2问题的转化及不适定性

§2.3解的唯一性

第三章正则化参数的选取

§3.1一般的正则化理论

§3.2 Tikhonov正则化

§3.3模型函数方法

第四章正问题的数值模拟

§4.1位势理论方法

§4.2差分方法

§4.3正问题解的数值检验

第五章数值实现

致谢

参考文献