临界线上的RIEMANN ZETA函数的定量估计

摘要

Riemann Zeta函数是数学学科中的一个重要函数，它在学析学科乃至整个数学学科中都扮演着重要的角色.除了自身完整的系统的知识体系，Riemann Zeta函数ζ(s）的重要性还体现在Riemann Zeta函数的知识被广泛地用于数学中许多其他重要问题中.其中最典型的例子就是关于整数中素数的分布情况及Zeta函数ζ(s）在0≤Res≤1区域中非平凡零点的分布情况.Zeta函数ζ(s）零点的非显然结果暗示着素数分布的非显然结果.Zeta函数ζ(s）的上界的估计与素数之间的间隙的大小密切相关.
　　 为了得到临界线上Zeta函数ζ(1/2+it）的估计结果，国内外众多知名数学家付出了大量的努力.在这篇文章中，我们改进了YuanyouF.Cheng的在临界线上当Res=σ=1/2的一些较小t值的上界估计结果.
　　 文章第二章中，通过运用Euler-Maclaurin求和公式，分部积分，积分估计以及比较阶数的大小，改进了Yuanyou F.Cheng的估计结果.首先得到了当t≥0和t≥2时，ζ(1/2+it）的较好的上界的定量估计结果.运用已经得到的估计结果，进一步给出了t在较小的区间0≤t≤e和e≤t≤30上时，ζ(1/2+it)的定量估计结果.这些结果可以用来估计不同素数之间的间隙大小.
　　 指数和方法经常被用来估计Riemann Zeta函数，在文章第三章中给出了两个关于指数和的估计结果.在这两个在结果中我们给出了上界估计的具体常数，改进了原有的结果，运用这些结果可以得到临界线上其他一些区间上的Zeta函数ζ(s）的新的的估计.
　　 通过本文的研究，我们给出了Riemann Zeta函数ζ(s）关于临界线Res=σ=1/2上的一些较小t值的定量估计结果，这些结果可以用来估计不同素数之间的间隙的大小.

目录

声明

摘要

符号说明

1 绪论

1．1 研究背景

1．2 国内外研究现状

1．3 研究内容

2 ζ(1／2+it)的定量估计

2．1 整函数与Euler Gammer函数

2．2 Riemann Zeta函数定义及性质

2．3 临界线上的Riemann Zeta函数的估计结果

2．4 小区间上ζ(1／2+it)的估计

2．5 本章小结

3 关于指数和估计的两个结果

3．1 预备知识

3．2 主要结果

3．3 本章小结

4 结论与展望

攻读学位期间参加的科研项目及发表的学术论文

致谢

参考文献