RLC电路弹簧耦合系统非线性动力学研究

摘要

随着电子技术的发展，大量的电、磁、机械耦合系统得到广泛应用，这类机电耦合系统存在着丰富的非线性动力学现象，对其进行深入地研究，掌握系统中电路子系统和机械子系统及全系统的动力学规律，可以提高系统运行的稳定性及安全性。 本文应用Lagrange-Maxwell方程建立了一个RLC电路与弹簧耦合系统的多自由度动力学模型，充分考虑了系统的动能、势能、磁能和电场能，记入了系统的耗散做功和非保守的广义力的影响。运用非线性振动理论对该系统的单自由度模型、双自由度模型和三自由度模型分别进行动力学分析。发现在单自由度系统中，系统的固有频率随极板间距增大而增大，随极板面积和线性电感系数的增大而减小；系统的响应曲线存在着“跳跃”现象，电阻和电感的非线性，能改变系统响应曲线的软硬特性；用级数法得到的结果与龙格库塔法得到的结论相吻合；采用Lindstedt-Poincare方法可以迅速而准确地分析系统的稳定边界，极板间距的取值决定了阻尼和弹簧刚度的取值范围。对于具有2：1内共振关系的双自由度系统，两个模态之间出现了能量传递，在满足系统的双重共振ω2≈2ω1且Ω≈ω2的情况下，幅频响应曲线出现了“饱和”现象；电感的非线性，在双重共振ω2≈2ω1且Ω≈ω1的情况下，能在共振区的一侧激起新的振动，在双重共振ω2≈2ω1且Ω≈ω2的情况下，改变了响应曲线的拓扑结构；无论是电阻非线性还是电感非线性，都会抑制两个模态的振动；改变系统参数，振幅和共振区的大小会发生相应的变化，但两个模态对参数变化的响应程度是不一样的，可以通过一个模态控制另一个模态。对于三自由度系统，改变外激励和系统参数，能使三个模态的振幅发生变化。电路系统的固有频率随极板间距的增大而增大，随极板面积和电感的增大而减小。机械系统的固有频率随极板重量的增大而减小，随弹簧刚度的增大而增大。改变调谐值，能使系统响应的拓扑结构发生变化，在一些情况下，三自由度系统出现了与二自由度系统相近的动力学现象。 在系统中，电极板的振幅和电量的大小都可以被控制在安全的范围之内，从而保证了系统的安全性，也可利用其特有的“饱和”现象，开发出新型的减振器。