平面单轮无边轮在空间斜面的运动行为及稳定性分析方法

摘要

本发明公开了一种平面单轮无边轮在空间斜面的运动行为及稳定性分析方法，该方法包括：建立坐标系并构造平面单轮无边轮模型；计算模型在空间斜面中的周期化转动和周期化碰撞阶段的系统动力学方程；基于步幅函数和Newton‑Raphson迭代得到系统的稳定周期解，从能量角度对系统进行稳定性分析；建立模型在空间斜面和平面斜面中的运动关系。其中平面单轮无边轮模型是车轮去掉轮框剩下内部轮辐的轮机构，无边轮在空间斜面上的运动为轮腿与斜面不断的“转动‑碰撞”的循环运动；通过计算得到系统的稳定周期解并研究其在空间斜面和平面斜面中的运动行为关系。本发明方法对于将无边轮机构应用于足式仿生机器人设计和运动分析具有重要理论价值。

说明书

技术领域

本发明涉及一种平面单轮无边轮的运动行为及稳定性的分析方法，尤其是涉及一种平面单轮无边轮在三维空间斜面上的运动行为及稳定性的分析方法。

背景技术

被动行走理论是用于足式仿生机器人研究与开发的基础理论，对于提升足式仿生机器人的内在稳定性和运动能效具有重要指导意义。无边轮机构是一种类似于马车车轮去掉外部轮框，只剩下内部轮辐的特殊的轮机构。作为双足被动行走的基础原理模型，无边轮机构能够在不依赖内部动力源条件下，实现自身轮辐末端与地形斜面的间歇性碰撞接触，以模仿足式稳定行走步态的足底节律化接触特征。

专利ZL 201710151892.9将对称平面单轮无边轮向对称空间无边轮进行了扩展，提供了一种用于双足机器人行走模拟与自动测试的无边轮机构，扩展了无边轮的应用。

申请号为CN202010890342.0的专利，提供了一种针对对称无边轮模型斜面地形下的运动行为调节方法，该方法基于对对称无边轮模型的停止运动吸引域的计算分析，构建出能够实现预期运动特征的完整的调节方法。

申请号为CN202010890340.1的专利，提供了一种非对称无边轮模型被动节律行走的稳定性调节方法及系统，该方法通过对非对称无边轮模型稳定域的计算分析，构建了通过调节可变结构参数来调整系统稳定性的完整方法。

尽管上述方法中对于无边轮模型的运动调节依赖于无边轮机构的动力学特征，但其使用的无边轮机构的动力学模型及计算方法均针对特定情形，并未针对一般平面单轮无边轮在空间斜面条件下的动力学模型和运动行为开展系统化的分析，例如申请号CN202010890342.0和申请号CN202010890340.1所涉及的无边轮动力学建模和运动行为均限定于二维空间中。而现有其它已公开的理论和方法也并未完整解决一般平面单轮无边轮模型在空间斜面上的空间运动行为特征。

平面单轮无边轮是最为基础的无边轮机构模型，构建平面单轮无边轮在三维空间中的空间斜面运动行为建模方法，并提供其在三维空间中的稳定性分析方法，对于将无边轮机构应用于三维空间中的足式仿生机器人设计和分析具有重要实际价值。

发明内容

本发明的目的在于提供针对一种平面单轮无边轮模型在空间斜面中的三维空间运动行为及稳定性分析方法，该方法基于对平面单轮无边轮模型在空间斜面“滚动—碰撞—滚动”周期循环运动规律的分析和解析，从能量角度构造系统周期运动的描述和分析方式，利用彭加莱映射方法和数值计算方法推导系统空间斜面运动的步函数和周期解，给出周期解的稳定性计算方法，并给出对模型及求解进行验证的方法。

为达到上述目的，本发明采用下述技术方案：

一种平面单轮无边轮在空间斜面的运动行为及稳定性分析方法，包括建立模型和坐标系步骤、周期化转动阶段分析步骤、周期化碰撞阶段分析步骤、稳定性分析步骤、运动行为关系分析步骤。

建立模型和坐标系步骤，用于构造和描述平面单轮无边轮模型、空间斜面，和坐标系：在固定坐标系{F}中构造并描述平面单轮无边轮模型，建立固连在平面单轮无边轮模型上的运动坐标系{W}，计算平面单轮无边轮模型相对于其自身几何中心的惯性张量，创建平面单轮无边轮模型的系统状态空间，记为q；所述平面单轮无边轮模型位于空间斜面上，所述空间斜面与水平地面间的夹角为α。

周期化转动阶段分析步骤，用于建立无量纲化的系统动力学方程并用状态空间表示：计算平面单轮无边轮模型在空间斜面中的周期化转动阶段的系统动力学方程，基于能量方程描述并分析系统的周期化转动阶段；在所述周期化转动阶段中，若此阶段支撑腿为i，则将重力势能转变为系统动能的重力势能转化量标记为Δ

周期化碰撞阶段分析步骤，用于构造平面单轮无边轮模型在空间斜面碰撞前后瞬间的运动方程，以及碰撞过程中的运动关系转换：计算平面单轮无边轮模型在空间斜面中的周期化碰撞阶段的系统动力学方程，基于能量方程描述并分析系统的周期化碰撞阶段；碰撞后与碰撞前的系统动能之比记为ξ。

稳定性分析步骤，基于步幅函数以及牛顿-拉夫逊迭代方法，对平面单轮无边轮模型进行稳定性分析，得到系统状态空间的不动点，即系统的稳定周期解。

运动行为关系分析步骤，用于进一步分析平面单轮无边轮模型在空间斜面中的运动行为：分别对空间斜面和平面斜面中的平面单轮无边轮模型进行运动行为分析，进而建立平面单轮无边轮模型在空间斜面中的运动行为关系。

优选的，平面单轮无边轮模型为一种类似马车车轮去掉外部轮框，只剩内部轮辐的特殊轮结构；轮辐绕轮轴旋转，其质量为m，相对于其自身几何中心的惯性张量为D，转动惯量为J，且有J＝D/ml

τ为时间t的无量纲化表达，且有

固定坐标系{F}为空间坐标系，其坐标轴分别为i

运动坐标系{W}固连在平面单轮无边轮模型上，表示平面单轮无边轮在空间斜面上的姿态；

固定坐标系{F}与运动坐标系{W}的关系为：固定坐标系{F}绕k

系统状态空间，定义为

优选的，周期化转动阶段，以平面单轮无边轮模型第i条腿与空间斜面发生碰撞且第i-1条腿离开空间斜面的瞬间，作为转动运动循环的开始，且将该碰撞点标记为点A；在惯性的作用下，平面单轮无边轮模型绕着点A发生转动，直到第i+1条腿与空间斜面发生碰撞；

在周期化转动阶段中，平面单轮无边轮模型无量纲化的系统动力学方程为：

该动力学方程用状态空间q表示为

优选的，周期化碰撞阶段，在碰撞过程前后，偏转运动角φ和摆转运动角ψ都保持不变，运动坐标系{W}绕j

其中

由系统对碰撞点的角动量守恒定理得到系统周期化碰撞阶段前后的角速度关系为：

其中

该动力学方程用状态空间q表示为q

优选的，周期化转动阶段，为重力势能转变为系统动能的过程，重力势能转化量为周期化转动阶段开始时刻和结束时刻的重力势能差，若此阶段支撑腿为i，则重力势能转化量标记为Δ

其中

直线

优选的，在周期化碰撞阶段中，平面单轮无边轮模型在第i次碰撞阶段开始时刻的系统动能

碰撞后与碰撞前的系统动能之比ξ＝

优选的，所述步幅函数标记为F，从第i次碰撞后瞬间映射到第i+1次碰撞后瞬间的完整步幅函数表达为：

其解q

利用步幅函数和POINCARE映射不动点的方法来分析平面单轮无边轮空间斜面三维运动的周期运动；根据步幅函数F构造一个新的函数S(q)为：

合理猜测q

S(q

其中，DS(q

Δq

Δq

q

其中I为单位矩阵；将最新迭代值q

优选的，对于稳定性分析，为从能量的角度分析所述平面单轮无边轮模型11在所述空间斜面上的三维稳定运动；

所述q

ψ

平面单轮无边轮模型在所述空间斜面上达到最终稳定运动状态的等效斜面倾角为

γ≡γ(φ

平面单轮无边轮模型在空间斜面三维运动的最终稳定运动不动点p

平面单轮无边轮模型在空间斜面三维运动的最终稳定运动无量纲周期为：

优选的，所述运动行为关系分析步骤，将一般平面二维运动与平面单轮无边轮模型在空间斜面三维运动作比较，所述一般平面二维运动指平面单轮无边轮模型在二维空间中斜面上的运动，其偏转运动角φ和摆转运动角ψ恒等于零；一般平面二维运动不动点p

其中，碰撞系数μ的计算方法为

一般平面二维运动在稳定时的无量纲运动周期为

当平面单轮无边轮模型的腿数n→∞时，平面单轮无边轮模型的形状趋近等价于一个圆形实心盘，此时，所述碰撞系数μ的计算方法为

即平面单轮无边轮模型碰撞前后速度比趋近于1；无量纲运动周期的计算方法为

即平面单轮无边轮模型在稳定时的运动周期趋近于0；稳定运动的平均速度为

即平面单轮无边轮模型在稳定时的平均速度趋近于无穷大；稳定运动时的平均速度变化率的计算方法为

即平面单轮无边轮模型在稳定时的加速度趋近恒定。

综上，本发明取得的有益技术效果如下：

(1)给出了一种平面单轮无边轮模型的组成方案，建立了固连在平面单轮无边轮上的运动坐标系，创建平面单轮无边轮的系统状态空间，构建了该平面单轮无边轮模型在空间斜面上的三维运动形态的描述方法；给出了平面单轮无边轮相对于其自身几何中心的惯性张量的计算方法。该模型能够对三维空间中的被动行走机制进行有效模拟。

(2)依照平面单轮无边轮模型在三维空间斜面运动的“周期化转动”和“周期化碰撞”两种运动状态，分别计算了平面单轮无边轮模型在空间斜面中的周期化转动阶段和周期化碰撞阶段的系统动力学方程，并以此作为描述平面单轮无边轮模型运动行为的基础模型。

(3)基于平面单轮无边轮模型的系统动力学方程，通过构造系统运动的步函数和周期解，给出了其在空间斜面运动行为以及运动稳定性的分析方法。

(4)本发明所提出的包含建立模型和坐标系步骤、周期化转动阶段分析步骤、周期化碰撞阶段分析步骤、稳定性分析步骤、运动行为关系分析步骤在内的平面单轮无边轮在空间斜面的运动行为及稳定性分析方法，既能够模仿足式稳定行走步态的节律化特征，对于提升足式仿生机器人的内在稳定性和运动能效也具有重要指导意义。

附图说明

为了更清楚地说明本发明实施例或现有技术中的技术方案，下面将对实施例中的附图作简单地介绍，下面描述中的附图仅仅是本发明的一些实施例，对于本领域普通技术人员来讲，在不付出创造性劳动的前提下，还可以根据这些附图获得其它的附图。

图1是本发明所涉及的平面单轮无边轮模型的结构示意图，其中图1(a)表示具体的结构特征，图1(b)表示与其关联的坐标系的设定。

图2是本发明所涉及的平面单轮无边轮在空间斜面的运动行为及稳定性分析方法的流程示意图。

图3是本发明所述的平面单轮无边轮模型的周期化转动阶段的示意图。

图4是本发明所述的平面单轮无边轮模型的周期化碰撞阶段的示意图，其中图4(a)表示平面单轮无边轮模型与空间斜面第i+1次碰撞前瞬间位置，图4(b)表示平面单轮无边轮模型与空间斜面第i+1次碰撞瞬间位置状态，图4(c)表示平面单轮无边轮模型与空间斜面第i+1次碰撞后瞬间位置和碰撞后运动状态。

图5是本发明所述的Newton-Raphson迭代方法步骤流程图。

图6是本发明所述的平面单轮无边轮在空间斜面中进行周期化运动的运动方程计算实例图，其中图6(a)展示平面单轮无边轮模型的动能变化，图6(b)展示平面单轮无边轮模型的势能变化，图6(c)展示平面单轮无边轮模型每次碰撞后与碰撞前的系统动能比值的变化。

图7是本发明所述的平面单轮无边轮模型在空间斜面中的最终稳定运动示意。

具体实施方式

下面结合附图和具体的实施例对本发明作进一步的详细说明，对本发明实施例中的技术方案进行清楚、完整地描述，所描述的实施例仅仅是本发明一部分实施例，而不是全部的实施例。基于本发明中的实施例，本领域普通技术人员在没有做出创造性劳动前提下所获得的所有其他实施例均属于本发明保护范围。

如图1所示，所述平面单轮无边轮模型11，为一种类似马车车轮去掉外部轮框，只剩内部轮辐的特殊轮结构，轮辐绕轮轴旋转，其质量为m，相对于其自身几何中心的惯性张量为D，转动惯量为J，且有J＝D/ml

固定坐标系{F}12为空间坐标系，其坐标轴分别为i

运动坐标系{W}13，固连在所述平面单轮无边轮模型11上，表示所述平面单轮无边轮在空间斜面上的姿态；

固定坐标系{F}12与运动坐标系{W}13的关系为：固定坐标系{F}12绕k

如图2所示，为平面单轮无边轮模型11在空间斜面的运动行为及稳定性分析方法的流程示意图，其中包括五个步骤，分别为建立模型和坐标系步骤、周期化转动阶段分析步骤、周期化碰撞阶段分析步骤、稳定性分析步骤和运动行为关系分析步骤。

如图3所示，周期化转动阶段21，以平面单轮无边轮模型11第i条腿与空间斜面发生碰撞且第i-1条腿离开空间斜面的瞬间，作为转动运动循环的开始，且将该碰撞点标记为点A；在惯性的作用下，平面单轮无边轮模型11绕着所述点A发生转动，直到第i+1条腿与所述空间斜面发生碰撞；

重力势能转化量为周期化转动阶段21开始时刻和结束时刻的重力势能差，若此阶段支撑腿为i，则所述重力势能转化量标记为Δ

如图4所示，周期化碰撞阶段31，碰撞过程前后，偏转运动角φ和摆转运动角ψ都保持不变，运动坐标系{W}13绕j

碰撞前后无边轮系统角速度的关系为：

其中

系统碰撞阶段用状态空间q可以表示为：

q

其中

由于碰撞阶段前后意味着系统动能的损失，同时碰撞发生前后系统满足一定的几何位置特点，即θ

ξ＝

如图5所示，为Newton-Raphson迭代方法步骤流程图，利用步幅函数和POINCARE映射不动点的概念来分析平面单轮无边轮模型在空间斜面三维运动的周期运动，求得该周期的解并且进行稳定性分析41；

第一步：根据步幅函数

构造一个新的函数：

S(q)＝F(q)-q

记q

第二步：计算在迭代值q

S(q

其中，DS(q

Δq

于是Δq

q

第三步：利用新算出的迭代值q

如图6所示，应用本发明所构造的运动方程计算得到平面单轮无边轮模型在空间斜面中的运动行为，包括系统动能、势能、能量转换等，其中6(a)表示计算得到的平面单轮无边轮模型在POINCARE截面处的动能，6(b)图展示了系统的势能并可进一步获得每个周期中系统损失的势能值；6(c)图展示了每个周期中系统损失的相对动能值；当系统每个周期损失的势能增加，体现为6(b)图出现波峰值时，之后的若干个运动周期下，系统损失的动能值也随之升高，体现为6(c)图出现波谷；这样导致系统损失的动能值持续升高，总能量值减少，无边轮用以维持“站立”的能量不足，无边轮摆转运动角ψ增加；转动阶段转化为动能的势能值增加，系统每个周期损失的势能增加，回到了之前分析过程并且如此反复，直到动能的碰撞损失与势能的转化达到平衡，系统进入稳定周期运动。经过进一步仿真和实验可知，运用本发明所构造的运动方程所得到的计算结果与实际情况相符。

如图7所示，为平面单轮无边轮空间斜面三维运动的最终稳定运动示意，该竖直平面由偏转运动角φ唯一确定，且代表处于2D极限环运动的平面无边轮所在平面，则系统斜面最终稳定运动时，其状态空间q

ψ

系统斜面运动最终稳定运动的等效斜面倾角为：

γ≡γ(φ

在确定的偏转运动角φ

面单轮无边轮空间斜面三维运动的最终稳定运动不动点p

由于传统平面无边轮的二维平面稳定运动无量纲周期为：

碰撞μ系数演化为：

即平面单轮无边轮模型11碰撞前后速度比趋近于1；无量纲运动周期的计算方法为

即平面单轮无边轮模型11在稳定时的运动周期趋近于0；稳定运动的平均速度为

即平面单轮无边轮模型11在稳定时的平均速度趋近于无穷大；稳定运动时的平均速度变化率的计算方法为

图中θ

即平面单轮无边轮模型11在稳定时的加速度趋近一常量；

由上述分析可知，平面单轮无边轮斜面上的三维运动的最终稳定运动是一类2D极限环运动，其在稳定运动时，无边轮处在一平面上，当受到微小干扰后，系统会在一个新平面上重新回到2D极限环运动。

本说明书中应用了具体个例对本发明的原理及实施方式进行了阐述，以上实施例的说明只是用于帮助理解本发明的方法及其核心思想，本说明书内容不应理解为对本发明的限制。