一种用于断裂力学裂尖奇异场计算的扩展有限元方法

摘要

本发明涉及用于断裂力学裂尖奇异场计算的扩展有限元方法，包括如下步骤：S1：建立包含裂纹的几何模型，获得贝济尔单元，输入材料参数杨氏模量与泊松比，施加边界条件；S2：获得贝济尔单元的控制点对应在几何模型上的投影点；S3：基于投影点采用具有选择插值特性的最小二乘无网格法作为近似基函数，并获得位移场；S4：利用近似基函数对无网格法中的插值系数进行重新逼近；S5：对重新逼近后的无网格法中的插值系数进行映射，使其对应于贝济尔单元的控制点；S6：利用映射过后的插值系数对位移场进行逼近，求解获得最终位移场。本发明无需附加自由度即可高效捕捉裂尖奇异应力场，可获得良好的系统方程条件数，且模型几何精确性能够保持。

说明书

技术领域

本发明涉及计算机辅助工程领域，尤其涉及一种用于断裂力学裂尖奇异场计算的扩展有限元方法。

背景技术

基于线弹性断裂力学的有限元数值模拟是评估服役结构的疲劳寿命以及追溯结构断裂破坏原因的有效手段之一。

然而标准的有限元技术要求裂纹面与单元边界保持一致，这给裂纹扩展的模拟带来网格动态划分的困难。并且由于裂纹尖端具有应力奇异的特点，即应力在裂纹尖端处无限大，因此以多项式为基构造的单元难以近似具有奇异特点的物理场，从而造成数值精度大大丢失。扩展有限元方法的提出，为上述困难提供了统一的解决方案。但扩展有限元方法在实际应用时发现，裂纹尖端加强基函数所引入的特征函数线性相关，造成了最终求解的系统方程具有极差的条件数，并且随着模型节点数的增加，其条件数呈几何级数倍增加。这使得扩展有限元方法在复杂结构中的应用受到限制。

尽管许多学者提出了克服扩展有限元固有缺点的方法，并得到了成功的应用，但是这些方法多数基于离散后的网格，且多应用于线性单元。然而断裂失效常常由表面缺陷萌生出裂纹并扩展所造成，因此结构表面的应力计算至关重要。而离散网格由于丢失了几何精度，加之线性单元精度较低，往往无法给出可靠的表面应力结果。

因此，如何提供一种精确高效的用于断裂力学裂尖奇异场计算的扩展有限元方法是本领域技术人员亟待解决的一个技术问题。

发明内容

本发明提供一种用于断裂力学裂尖奇异场计算的扩展有限元方法，以解决上述技术问题。

为解决上述技术问题，本发明提供一种用于断裂力学裂尖奇异场计算的扩展有限元方法，包括如下步骤：

S1：建立包含裂纹的几何模型，获得贝济尔单元，输入材料参数杨氏模量与泊松比，施加边界条件；

S2：采用控制点投影法获得所述贝济尔单元的控制点对应在所述几何模型上的投影点；

S3：基于所述投影点采用具有选择插值特性的最小二乘无网格法作为近似基函数，并获得位移场；

S4：利用所获得的所述近似基函数对无网格法中的插值系数进行重新逼近；

S5：对重新逼近后的无网格法中的所述插值系数进行映射，使其对应于所述贝济尔单元的所述控制点；

S6：基于贝济尔样条基函数与所述近似基函数复合后得到基函数，利用映射过后的对应于所述控制点的所述插值系数对所述位移场进行逼近，计算有限元刚度方程并求解获得最终位移场。

较佳地，步骤S1中，所述几何模型采用有理形式贝济尔样条表示。

较佳地，步骤S2中，采用所述控制点投影法获得所述投影点的步骤包括：

S21：将单元参数区间[0，1]首尾元素重复度置为p+1，得到单元的参数区间序列，其中p为所述贝济尔样条基函数的阶数；

S22：根据投影法则计算所述投影点的参数坐标，所述投影法则为：

S23：根据所得投影点的所述参数坐标，用所述贝济尔样条基函数与所述控制点计算所述投影点的物理坐标，其计算公式为：

其中等式左侧列向量为投影点序列，右侧列向量为控制点序列；R

较佳地，步骤S3中，构造具有选择插值特性的所述近似基函数的步骤包括：

S31：建立目标投影点的支撑域及域内投影点的集合

S32：所构造的近似基函数为

其中p(x)＝[1,p

较佳地，步骤S4中，利用所获得的所述近似基函数对无网格法插值系数进行重新逼近，其表达式为

较佳地，步骤S5中，对重新逼近后的所述无网格法插值系数进行映射，使其对应于所述贝济尔单元的控制点，所述几何模型上任一点可由所述控制点与复合后的基函数进行计算，其表达式为

其中顶部短划线表明控制点系数为贝济尔单元控制点所对应的投影点的支撑域所有点的并集；R为贝济尔样条基函数。

较佳地，步骤S6中，基于所述贝济尔样条基函数与所述近似基函数复合后的基函数，利用映射过后的对应于所述控制点的系数对所述位移场进行逼近，其表达式为

与现有技术相比，本发明提供的用于断裂力学裂尖奇异场计算的扩展有限元方法具有如下优点：

1、本发明不同于需要引入附加自由度的扩展有限元法，本方法无需附加自由度即可高效捕捉裂尖奇异应力场；

2、本发明中的奇异函数包含在无网格基函数中，可获得良好的系统方程条件数；

3、本发明中的几何模型的精确性能够保持，保证了几何模型的精确性。

附图说明

图1为本发明一具体实施方式中用于断裂力学裂尖奇异场计算的扩展有限元方法的流程图；

图2为本发明一具体实施方式中几何模型的示意图；

图3为图2中裂纹的示意图；

图4为本发明一具体实施方式中用于描述支撑点范围的示意图；

图5为本发明一具体实施方式中所得到的位移L

图6为本发明一具体实施方式中所得到的能量范数误差对比示意图。

图中：1-方形区域、2-裂纹。

具体实施方式

为了更详尽的表述上述发明的技术方案，以下列举出具体的实施例来证明技术效果；需要强调的是，这些实施例用于说明本发明而不限于限制本发明的范围。

本发明提供的用于断裂力学裂尖奇异场计算的扩展有限元方法，如图1所示，包括如下步骤：

S1：建立包含裂纹的几何模型，获得贝济尔单元，输入材料参数杨氏模量与泊松比，施加边界条件。

较佳地，步骤S1中，所述几何模型采用有理形式贝济尔样条表示，其几何图形的精确性能够得到保持。如图2和图3所示，本实施例对象为无限大平板包含的裂纹问题，选取包含裂纹尖端的边长L＝2a的方形区域1，a为方形区域1所包含的裂纹2的长度。裂纹2位于方形区域1的中心。

请继续参考图3，裂纹2由重合的两个边界构成，为零面力边界。方形区域1的四周施加第一类边界条件，具体位移值由下式给出：

其中，K

S2：采用控制点投影法获得所述贝济尔单元的控制点对应在所述几何模型上的投影点。

较佳地，步骤S2中，采用所述控制点投影法获得所述投影点的步骤包括：

S21：将单元参数区间[0，1]首尾元素重复度置为p+1，得到单元的参数区间序列，其中p为所述贝济尔样条基函数的阶数；本实施例中，取p＝2，得到单元的参数区间序列为[0，0，0，1，1，1]。

S22：根据投影法则计算所述投影点的参数坐标，所述投影法则为：

S23：根据所得投影点的所述参数坐标，用所述贝济尔样条基函数与所述控制点计算所述投影点的物理坐标，其计算公式为：

其中等式左侧列向量为投影点序列，右侧列向量为控制点序列；R

S3：基于所述投影点采用具有选择插值特性的最小二乘无网格法作为近似基函数，并获得位移场。

较佳地，步骤S3中，构造具有选择插值特性的所述近似基函数的步骤包括：

S31：建立目标投影点的支撑域及域内投影点的集合

S32：所构造的近似基函数为

其中p(x)＝[1，p

本实施例中，选取向量：

以反映裂尖奇异性与三角分布。

S4：利用所获得的所述近似基函数对无网格法中的插值系数进行重新逼近。

较佳地，步骤S4中，利用所获得的所述近似基函数对无网格法插值系数进行重新逼近，其表达式为

S5：对重新逼近后的无网格法中的所述插值系数进行映射，使其对应于所述贝济尔单元的所述控制点。

较佳地，步骤S5中，对重新逼近后的所述无网格法插值系数进行映射，使其对应于所述贝济尔单元的控制点，所述几何模型上任一点可由所述控制点与复合后的基函数进行计算，其表达式为

其中顶部短划线表明控制点系数相比较于贝济尔单元控制点数有增加，为贝济尔单元控制点所对应的投影点的支撑域所有点的并集；R为贝济尔样条基函数。

S6：基于贝济尔样条基函数与所述近似基函数复合后得到基函数，利用映射过后的对应于所述控制点的所述插值系数对所述位移场进行逼近，计算有限元刚度方程并求解获得最终位移场。

较佳地，步骤S6中，基于所述贝济尔样条基函数与所述近似基函数复合后的基函数，利用映射过后的对应于所述控制点的系数对所述位移场进行逼近，其表达式为

图5与图6分别展示了本实施例随着网格细分、单元尺寸h减小，其L

表1展示了所有网格所得的迭代求解器在求解系统方程时，所需要的迭代次数，该迭代次数与系统方程的条件数正相关，因此可以反映条件数的差异。

表1

观察表1可知，本发明所提出的扩展贝济尔样条有限元法与常规有限元法迭代次数相近，表明其对应的系统方程的条件数也与同等网格与自由度下的常规有限元条件数相近，并且随着网格细分，其条件数增长速率也相近。因此，本发明中的奇异函数包含在无网格基函数中，可获得良好的系统方程条件数。

综上所述，本发明提供的用于断裂力学裂尖奇异场计算的扩展有限元方法，包括如下步骤：S1：建立包含裂纹的几何模型，获得贝济尔单元，输入材料参数杨氏模量与泊松比，施加边界条件；S2：采用控制点投影法获得所述贝济尔单元的控制点对应在所述几何模型上的投影点；S3：基于所述投影点采用具有选择插值特性的最小二乘无网格法作为近似基函数，并获得位移场；S4：利用所获得的所述近似基函数对无网格法中的插值系数进行重新逼近；S5：对重新逼近后的无网格法中的所述插值系数进行映射，使其对应于所述贝济尔单元的所述控制点；S6：基于贝济尔样条基函数与所述近似基函数复合后得到基函数，利用映射过后的对应于所述控制点的所述插值系数对所述位移场进行逼近，计算有限元刚度方程并求解获得最终位移场。本发明无需附加自由度即可高效捕捉裂尖奇异应力场；本发明中的奇异函数包含在无网格基函数中，可获得良好的系统方程条件数；本发明中的几何模型的精确性能够保持，保证了几何模型的精确性。

显然，本领域的技术人员可以对发明进行各种改动和变型而不脱离本发明的精神和范围。这样，倘若本发明的这些修改和变型属于本发明权利要求及其等同技术的范围之内，则本发明也意图包括这些改动和变型在内。