层状横观黏弹性土中部分埋入群桩的竖向振动分析方法

摘要

本发明公开了层状横观黏弹性土中部分埋入群桩的竖向振动分析方法，属于地基工程试验分析技术领域。本方法的de Boer基于连续介质混合物公理和体积分数概念建立的多孔介质理论，利用体积分数的概念，若干的微观性质可以直接通过宏观性质来描述，并且避免了杂交混合物理论中的繁杂公式。de Boer建立的多孔介质理论不仅符合连续介质力学和热动力学原理，并且具有许多Biot理论不具备的优点。此外，已有饱和土‑群桩动力相互作用的研究大多采用Dobry和Gazetas提出的桩‑土‑桩动力相互作用因子。而该桩‑桩动力相互作用因子为单相土的，对于饱和土问题其适用性尚需进一步研究。可为更为广义和复杂的群桩动力特性问题的研究提供理论指导和参考作用。

说明书

技术领域

本发明涉及层状横观黏弹性土中部分埋入群桩的竖向振动分析方法，尤其涉及层状横观各向同性饱和黏弹性土中部分埋入群桩的竖向振动分析方法，属于地基工程试验分析技术领域。

背景技术

目前，在实际工程中，桩基多以桩群的形式出现，在这种情况下必然要考虑“群桩效应”的影响。根据检索可知，关于饱和土-桩动力相互作用的研究大多是基于Biot饱和土介质模型开展，尽管Biot理论已成功应用于诸多工程领域中，但研究表明其理论模型存在一定的局限性和不足。比如最显著的是其与材料客观性原理以及热动力学第二定律不一致，存在争议。Biot理论对多孔介质力学行为的描述是建立在直观基础上的，从本质上讲，它是一种工程描述的方法。相较而言，de Boer基于连续介质混合物公理和体积分数概念建立的多孔介质理论，利用体积分数的概念，若干的微观性质可以直接通过宏观性质来描述，并且避免了杂交混合物理论中的繁杂公式。de Boer建立的多孔介质理论不仅符合连续介质力学和热动力学原理，并且具有许多Biot理论不具备的优点。此外，除了桩与饱和土之间的动力相互作用外，还需考虑桩与桩之间的相互作用。已有饱和土-群桩动力相互作用的研究大多采用Dobry和Gazetas提出的桩-土-桩动力相互作用因子，然而该桩-桩动力相互作用因子为单相土的，对于饱和土问题其适用性尚需进一步研究。基于层状横观各向同性饱和黏弹性土中部分埋入群桩的竖向振动分析方法尚属首次运用到桩基振动研究领域。在本次检索到的国内外公开发表的专利及非专利文献中，未见有与本项目整体研发内容相同的报道。

发明内容

本发明的目的在于设计了层状横观黏弹性土中部分埋入群桩的竖向振动分析方法，通过该方法实现地基工程试验分析。

为实现上述目的，本发明采用的技术方案为层状横观黏弹性土中部分埋入群桩的竖向振动分析方法，该方法的实现步骤如下，

1.1基于Boer多孔介质模型的饱和土体动力控制方程组

根据横观各向同性饱和黏弹性运动方程描述桩周土的动力学行为。多层土中的第k层土的运动方程表示为

式1.1-1.5中所有变量中带字母k均表示该变量属于第k层土；和分别表示土骨架和孔隙流体的体积分数，且满足饱和条件和分别表示土骨架和孔隙流体的体积密度；u_sk和u_fk分别表示土骨架和孔隙流体的径向位移；w_sk和w_fk分别表示土骨架和孔隙流体的竖向位移；表示孔隙流体压力；液固耦合系数其中g为重力加速度，而和分别表示r和z方向上的Darcy渗透系数；另外，

其中和分别表示水平和竖向弹性模量，表示竖向平面的剪切模量，为由水平应力导致的竖向应变的泊松比，为竖向应力引起的水平应变的泊松比，并且为水平应力引起的正交向水平应变的泊松比；τ_εk和τ_σk为表示土体黏性的参数；为α_k阶的Riemann-Liouville分数导数，且

其中为Gamma函数，0＜α_k＜1。

1.2桩-桩动力相互作用因子

半径r₀，长度L的黏弹性圆柱桩1部分埋入一厚度L₂，其中未埋入段L₁，埋入段L₂，且L＝L₁+L₂，下卧基岩的层状横观各向同性饱和黏弹性土中，同时在黏弹性圆柱桩1的桩顶处受到一竖向谐和激振力N(t)＝N₁e^iωt作用，由于黏弹性圆柱桩1受荷振动引起土中产生径向传播的剪切波，进而使得距离S处的黏弹性圆柱桩2受迫振动。黏弹性圆柱桩2和黏弹性圆柱桩1的物理几何性质相同，黏弹性圆柱桩2和黏弹性圆柱桩1的弹性模量为E_p，密度ρ_p，泊松比υ_p，阻尼系数η_p。k_s表示桩周土体的竖向动力阻抗，表示饱和土竖向位移的衰减函数，w_p1和w_p2分别表示黏弹性圆柱桩1即主动桩1和黏弹性圆柱桩2即被动桩2的竖向位移。

假设桩土体系的振动为小变形、小位移振动，且桩土在振动过程中保持紧密接触，即在桩土接触面处的位移、应力连续。采用一系列的Voigt模型模拟相邻土层间的动力相互作用，其弹簧和阻尼器沿土体径向均匀分布。引入量分别表示在k层土顶部Voigt模型的刚度系数和阻尼系数，分别表示在k层土底部Voigt模型的刚度系数和阻尼系数。所有量中的上标或者下标k表示第k层土。由于假设了相邻土层间位移和应力连续，故有

忽略土体的径向位移，仅考虑其竖向波动效应，即设u_sk＝u_fk＝0，则式(1.1)～(1.5)被简化为

在稳态振动问题中设w_sk＝W_ske^iωt，w_fk＝W_fke^iωt，w_pk＝W_pke^iωt，将上述变量代入式(1.6)～(1.8)得

为分析方便，引入如下无量纲参数和变量：

其中取G＝G_s1，分别表示第一层土的剪切模量和密度。

将无量纲参数和变量代入式(1.9)～(1.11)后整理得

联立式(1.12)和(1.13)有

式中

由式(1.14)得

令式(1.15)改写为

根据变量分离法设并将其代入式(1.17)中得

式中Real(q_k)＞0，Real(g_k)＞0。

求解式(1.18)和(1.19)后得

则

在r方向无穷远处土体位移应衰减为零，考虑到修正Bessel函数的特性，有

式中A_k＝C_kE_k，B_k＝D_kE_k。

根据前述变量及的关系，并再次考虑上述边界条件得

则相应的剪应力为

桩周土体反力f_sk为剪应力沿桩周长的积分，即

定义桩周土竖向复刚度为

以及k层土的位移衰减函数为

式中为两桩的无量纲间距。

根据Rayleigh-Love杆理论，建立主动桩1未嵌入段的振动方程为

及其轴力为

将式(1.30)无量纲化为

式中

式(1.29)的无量纲形式为

式中Real(λ₁)＞0。

式(1.32)的通解为

式中a₁和a₂为待定系数。

由式(1.31)得轴力为

式中

联立式(1.33)和(1.34)，将主动桩1未嵌入段两端的位移及轴力以矩阵形式统一写为

式中

建立第k层土中主动桩1的振动方程为

将其无量纲化为

式(1.37)的通解为

式中

采用矩阵写法，第k层土桩段两端的位移及轴力关系为

式中且l_k为第k层土桩段的长度。

根据式(1.35)和(1.39)，主动桩1两端的位移及轴力关系为

式中[T¹]＝[T_1n]…[T_1k]…[T₁₁][T₀]，元素形式为

主动桩1底部满足边界条件则

此为主动桩1顶部位移和轴力之间的关系。为单桩桩顶的竖向动力阻抗。

被动桩2未嵌入段的振动方程与主动桩1未嵌入段的一致，则被动桩2未嵌入段两端的位移和轴力关系表达为

继而建立被动桩2嵌入段的振动方程为

将其无量纲化为

式中

式(1.45)的通解为

式中

将式(1.38)代入式(1.46)中得

桩2的轴力为

联立式(1.47)和(1.48)，被动桩2的第k段两端的位移和轴力关系为

式中D_42k＝πζλ_3k，D_41k＝πζλ_2k。

考虑式(1.43)和(1.49)，被动桩2整体两端的位移和轴力关系为

式中[T²]＝[T_2n]…[T_2k]…[T₂₁][T₀]，[T³]＝[T_3n]…[T_3k]…[T₃₁][T₀]。

被动桩2满足在桩顶在桩底即

将主动桩1顶部的动力阻抗代入式(1.51)中并定义桩-桩动力相互作用因子为

式中a₂₁即表示所研究饱和土-群桩振动问题的桩-桩动力相互作用因子。

至此，仅剩未知参数g_k，根据相邻土层间的平衡条件求得。在k层土顶面满足

在该k层土底面满足

将式(1.53)及(1.54)无量纲化为

式中

将式(1.24)代入式(1.55)及(1.56)中得

当2≤k≤n-1时，g_k满足

式中

当k＝1时，由于β_2k＝0，则g_k满足

当k＝n时，由于β_1k＝∞，则g_k满足

1.3群桩动力阻抗

假设一i×j形式的群桩桩顶整体被刚性连接，且在中心处受到竖向激振力N(t)＝N₀e^iωt作用，采用所得桩-桩动力相互作用因子，则该群桩满足如下连续性条件：

式中W₀为群桩顶竖向位移幅值，W_i为桩i的竖向位移幅值。N_j为桩j顶的轴力幅值。a_ij为桩j对桩i的动力相互作用因子，且当i＝j时a_ij＝1。为表示方便，上式(1.60)及(1.61)中的时间项e^iωt已被省略。

将式(1.60)和(1.61)写成矩阵形式为

定义群桩竖向动力阻抗为

式中K_V表示群桩刚度，C_V表示群桩阻尼。

联立式(1.62)和(1.63)求得K_G。

为方便分析，将K_G标准化为

式中m表示单桩数量，表示单桩顶部的静阻抗。

基于桩顶频域响应函数，探讨桩基非嵌入长度、土体各向异性及其液固耦合系数等因素对群桩动力特性的影响规律。

基于层状横观各向同性饱和黏弹性土中部分埋入群桩的竖向振动分析方法，其deBoer基于连续介质混合物公理和体积分数概念建立的多孔介质理论，利用体积分数的概念，若干的微观性质可以直接通过宏观性质来描述，并且避免了杂交混合物理论中的繁杂公式。de Boer建立的多孔介质理论不仅符合连续介质力学和热动力学原理，并且具有许多Biot理论不具备的优点。此外，已有饱和土-群桩动力相互作用的研究大多采用Dobry和Gazetas提出的桩-土-桩动力相互作用因子。而该桩-桩动力相互作用因子为单相土的，对于饱和土问题其适用性尚需进一步研究。可为更为广义和复杂的群桩动力特性问题的研究提供理论指导和参考作用。

附图说明

图1是桩-桩动力相互作用的示意图。

具体实施方式

以下结合附图和实施例，对本发明进行进一步详细说明。

层状横观黏弹性土中部分埋入群桩的竖向振动分析方法，该方法的实现步骤如下，

1.1基于Boer多孔介质模型的饱和土体动力控制方程组

根据横观各向同性饱和黏弹性运动方程描述桩周土的动力学行为。由于所研究问题为多层土，第k层土的运动方程表示为

式中所有变量中的字母k均表示该量属于第k土层；和分别表示土骨架和孔隙流体的体积分数，且满足饱和条件和分别表示土骨架和孔隙流体的体积密度；u_sk和u_fk分别表示土骨架和孔隙流体的径向位移；w_sk和w_fk分别表示土骨架和孔隙流体的竖向位移；表示孔隙流体压力；液固耦合系数其中g为重力加速度，而和分别表示r和z方向上的Darcy渗透系数；另外，

其中和分别表示水平和竖向弹性模量，表示竖向平面的剪切模量，为由水平应力导致的竖向应变的泊松比，为竖向应力引起的水平应变的泊松比，并且为水平应力引起的正交向水平应变的泊松比；τ_εk和τ_σk为表示土体黏性的参数；为α_k阶的Riemann-Liouville分数导数(0＜α_k＜1)，且有其中为Gamma函数。

1.2桩-桩动力相互作用因子

如图1所示，一半径r₀，长度L(其中未埋入段L₁，埋入段L₂，且L＝L₁+L₂)的黏弹性圆柱桩1部分埋入一厚度L₂，下卧基岩的层状横观各向同性饱和黏弹性土中，同时在桩顶处受到一竖向谐和激振力作用。由于桩1受荷振动引起土中产生径向传播的剪切波，进而使得距离S处的桩2受迫振动。两桩的物理几何性质相同，桩的弹性模量为E_p，密度ρ_p，泊松比υ_p，阻尼系数η_p。图中的符号k_s表示桩周土体的竖向动力阻抗，表示饱和土竖向位移的衰减函数，w_p1和w_p2分别表示主动桩1和被动桩2的竖向位移。

假设桩土体系的振动为小变形、小位移振动，且桩土在振动过程中保持紧密接触，即在桩土接触面处的位移、应力连续。此外，根据学者研究的建议，采用一系列的Voigt模型模拟相邻土层间的动力相互作用，其弹簧和阻尼器沿土体径向均匀分布。引入量分别表示在土层k顶部Voigt模型的刚度系数和阻尼系数，分别表示在土层k底部Voigt模型的刚度系数和阻尼系数。规定本章所有量中的上标或者下标k表示第k层土。由于假设了相邻土层间位移和应力连续，故有

显而易见，式(1.1)～(1.5)非常复杂，难以得到其完全解析解。但对于竖向振动问题，许多研究已经证明了土体径向位移的影响可忽略不计。因此，采用相同的思想，本章亦忽略土体的径向位移，仅考虑其竖向波动效应，即设u_sk＝u_fk＝0，则式(1.1)～(1.5)可被简化为

在稳态振动问题中可设w_sk＝W_ske^iωt，w_fk＝W_fke^iωt，w_pk＝W_pke^iωt，等等。将上述变量代入式(1.6)～(1.8)可得

为后文分析方便，引入如下无量纲参数和变量：

其中本章取G＝G_s1，分别表示土层1的剪切模量和密度。

将上述无量纲参数和变量代入式(1.9)～(1.11)后整理可得

联立式(1.12)和(1.13)有

式中

由式(1.14)可得

令式(1.15)可改写为

根据变量分离法设并将其代入式(1.17)中可得

式中Real(q_k)＞0，Real(g_k)＞0。

求解式(1.18)和(1.19)后得

则

在r方向无穷远处土体位移应衰减为零，考虑到修正Bessel函数的特性，有

式中A_k＝C_kE_k，B_k＝D_kE_k。

根据前述变量及的关系，并再次考虑上述边界条件可得

则相应的剪应力为

桩周土体反力f_sk为剪应力沿桩周长的积分，即

定义桩周土竖向复刚度为

以及土层k的位移衰减函数为

式中为图1所示两桩的无量纲间距。

根据Rayleigh-Love杆理论，建立主动桩1未嵌入段的振动方程为

及其轴力为

将式(1.30)无量纲化为

式中

式(1.29)的无量纲形式为

式中

式(1.32)的通解为

式中a₁和a₂为待定系数。

由式(1.31)可得轴力为

式中

联立式(1.33)和(1.34)，将桩1未嵌入段两端的位移及轴力以矩阵形式统一写为

式中

建立第k层土中桩1的振动方程为

将其无量纲化为

式(1.37)的通解为

式中

采用与之前相同的矩阵写法，第k桩段两端的位移及轴力关系为

式中且l_k为第k桩段的长度。

根据式(1.35)和(1.39)，全长桩1两端的位移及轴力关系为

式中[T¹]＝[T_1n]…[T_1k]…[T₁₁][T₀]，元素形式为

桩1底部满足边界条件则

此为桩1顶部位移和轴力之间的关系。为单桩桩顶的竖向动力阻抗。

由图1所示，被动桩2未嵌入段的振动方程与主动桩1未嵌入段的一致，则桩2未嵌入段两端的位移和轴力关系可表达为

继而建立被动桩2嵌入段的振动方程为

将其无量纲化为

式中

式(1.45)的通解为

式中

将式(1.38)代入式(1.46)中可得

桩2的轴力为

联立式(1.47)和(1.48)，被动桩2的第k段两端的位移和轴力关系为

式中D_42k＝πζλ_3k，D_41k＝πζλ_2k。

考虑式(1.43)和(1.49)，桩2整体两端的位移和轴力关系为

式中[T²]＝[T_2n]…[T_2k]…[T₂₁][T₀]，[T³]＝[T_3n]…[T_3k]…[T₃₁][T₀]。

被动桩2满足在桩顶在桩底即

将主动桩1顶部的动力阻抗代入式(1.51)中并定义桩-桩动力相互作用因子为

式中a₂₁即表示本章所研究饱和土-群桩振动问题的桩-桩动力相互作用因子。

至此，仅剩未知参数g_k，可根据相邻土层间的平衡条件求得。在土层k顶面满足

在该层土底面满足

将式(1.53)及(1.54)无量纲化为

式中

将式(1.24)代入式(1.55)及(1.56)中可得

当2≤k≤n-1时，g_k满足

式中

当k＝1时，由于β_2k＝0，则g_k满足

当k＝n时，由于β_1k＝∞，则g_k满足

1.3群桩动力阻抗

假设一i×j形式的群桩桩顶整体被刚性连接，且在中心处受到竖向激振力N(t)＝N₀e^iωt作用，采用前述所得桩-桩动力相互作用因子，则该群桩满足如下连续性条件：

式中W₀为群桩顶竖向位移幅值，W_i为桩i的竖向位移幅值。N_j为桩j顶的轴力幅值。a_ij为桩j对桩i的动力相互作用因子，且当i＝j时a_ij＝1。为表示方便，上式(1.60)及(1.61)中的时间项e^iωt已被省略。

将式(1.60)和(1.61)写成矩阵形式为

定义群桩竖向动力阻抗为

式中K_V表示群桩刚度，C_V表示群桩阻尼。

联立式(1.62)和(1.63)可求得K_G。

为方便分析，将K_G标准化为

式中m表示单桩数量，表示单桩顶部的静阻抗。

进一步的，基于桩顶频域响应函数，可以探讨桩基非嵌入长度、土体各向异性及其液固耦合系数等因素对群桩动力特性的影响规律。

基于层状横观各向同性饱和黏弹性土中部分埋入群桩的竖向振动分析方法，其deBoer基于连续介质混合物公理和体积分数概念建立的多孔介质理论，利用体积分数的概念，若干的微观性质可以直接通过宏观性质来描述，并且避免了杂交混合物理论中的繁杂公式。de Boer建立的多孔介质理论不仅符合连续介质力学和热动力学原理，并且具有许多Biot理论不具备的优点。此外，已有饱和土-群桩动力相互作用的研究大多采用Dobry和Gazetas提出的桩-土-桩动力相互作用因子。而该桩-桩动力相互作用因子为单相土的，对于饱和土问题其适用性尚需进一步研究。可为更为广义和复杂的群桩动力特性问题的研究提供理论指导和参考作用。