多旋转激励平移振荡器系统非线性耦合自适应控制方法

摘要

一种多旋转激励平移振荡器系统非线性耦合自适应控制方法，属于欠驱动机械系统自动控制技术领域。该方法包括：充分考虑到系统存在未知参数及不确定性因素，引入耦合项构造一种新型的储能函数，设计一种非线性耦合自适应控制方法，增强了系统的暂态性能，实现了多旋转激励平移振荡器(Translational Oscillator with Rotational Actuator，TORA)系统的镇定控制问题，能够使多TORA系统在给定初始位置或受到干扰时能够快速、准确地回到平衡位置并保持稳定，同时，更新律可针对未知参数及不确定性因素对系统带来的影响进行在线补偿。实验结果证明，所提方法具有良好的控制性能。

说明书

技术领域

本发明属于欠驱动机械系统自动控制技术领域，特别是涉及一种适用于系统参数未知及受到外界干扰的欠驱动多旋转激励平移振荡器(TranslationalOscillator withRotational Actuator，TORA)系统的非线性耦合自适应控制方法。为简便起见，下文中将旋转激励平移振荡器简称为TORA。

背景技术

现如今，针对欠驱动系统的研究引起了国内外诸多学者的广泛关注^[1],[2]。欠驱动系统所具备的许多优点，比如高灵活性、低能耗、低成本、机械结构简单等，使其广泛应用于机电系统中。但是，欠驱动系统的控制量维数少于待控自由度的个数，这一特性使得欠驱动系统的控制问题难以解决并充满挑战。因此，针对欠驱动系统的研究在理论上与实际上均具有非常重要的意义。

欠驱动TORA系统是一种典型的欠驱动系统，它是用来研究双自旋航天器共振俘获现象的基准系统。单TORA系统的结构可简化为一个做平移运动的台车与一个做圆周运动的转子，其控制目标主要为实现台车位移与转子转角的镇定控制。目前，针对单TORA系统的控制问题，国内外学者提出了诸多控制方法。根据是否需要利用反馈信号，这些控制方法可分为开环控制^[3]-[7]与闭环控制^[8]-[13]两类。然而，开环控制虽然结构简单，无需额外的传感器就可实现预期的控制目标，但却无法实时地反馈系统状态信号，且对参数的不确定性及外界的扰动非常敏感。此时，闭环控制则弥补了开环控制的不足。闭环控制利用系统实时反馈的信号进行在线控制，因此在存在外界干扰的情况下，闭环控制相比于开环控制，能够取得更加良好的控制效果，同时也能够使系统的鲁棒性大幅提升。目前，针对单TORA系统的镇定控制问题，研究人员利用系统的反馈信号设计反馈控制器，提出了多种闭环控制方法。

在单TORA系统的基础上，由多个单TORA系统串联构成的多TORA系统在实际生活中也具有非常广泛的应用。一方面，多TORA系统可用来验证许多先进非线性控制策略的有效性。另一方面，多TORA系统可以用来研究一些重要的物理现象，如机电系统的自同步现象、混沌现象等。例如手持电钻等机电工具在工作时产生强烈的振动，若不进行有效的消振处理，便会对长期使用它的人造成伤害。因此，针对多TORA系统的研究也同样具有理论与实际的双重意义。但是相比于单TORA系统，多TORA系统具有更加复杂的动力学特性，其控制问题更加难以解决。在现阶段，针对多TORA系统的研究依然很少，现有研究可分为两类。一类是为分析自同步现象的产生而对多TORA系统的机械结构进行研究^[14]-[16]。另一类为设计控制策略，实现多TORA系统位移与转角的镇定控制^[17]-[19]。然而，现有的控制方法不足在于需要精确的系统模型，或是所设计的控制器不连续。一方面，在实际的工作环境中系统非常容易受到各种因素的影响，系统各参数往往存在不确定性，比如台车质量未知、转子质量未知、组件尺寸未知等。在这种情况下，现有的基于精确系统模型的方法便不适用。另一方面，控制量不连续会导致系统产生抖振，从而对设备造成损伤。

综上所述，为克服现有方法存在的诸多不足，提升TORA系统的控制效果，亟待设计出一种连续的闭环控制策略，能够在系统参数不确定的情况下，无需系统线性化，充分利用系统状态之间的耦合关系，实现欠驱动多TORA系统的高性能镇定控制。

发明内容

本发明的目的是解决目前欠驱动多TORA系统自动控制方法存在的上述不足之处，提供一种欠驱动多TORA系统非线性耦合自适应控制方法。

本发明致力于提出一种新型的非线性耦合自适应控制方法，充分考虑到系统存在未知参数及不确定性因素，引入非线性耦合项构造一种新型的储能函数，增强了系统的暂态性，同时考虑到未知参数及不确定性因素对系统带来的影响，利用更新律进行在线补偿。所提方法首次提出了一种能够使参数未知的多TORA系统全局渐近稳定的光滑的控制器，实现了多TORA系统的镇定控制问题，能够使多TORA系统在给定初始位置或受到干扰时能够快速、准确地回到平衡位置，并保持稳定，控制效果显著且对外界干扰具有良好的鲁棒性。最后，利用双TORA(由2个单TORA组成)硬件实验平台验证了所提方法的有效性与良好的控制性能。

本发明提供的欠驱动多TORA系统非线性耦合自适应控制方法包括：

第1、确定控制目标

选定每个TORA的位置向量为目标位置向量为其中，针对多TORA系统中的第i个TORA，x_i为台车位移，为台车速度，θ_i为转子旋转角度，为转子旋转角速度，θ_di为转子的目标角度，系统中单TORA的总数为N，则i＝1,2,...,N。

第2、定义误差信号、参数向量与可测向量

定义多TORA系统中每个TORA的转子摆角误差e_θi(t)为

e_θi＝θ_di-θ_i(4)

其中，θ_i为转子旋转角度，θ_di为转子的目标角度。定义未知参数向量可测向量其中，符号“”表示矩阵/向量转置，向量中元素ω_i1,ω_i2,ω_i3,y_i1,y_i2,y_i3表示为：

y_i1＝x_i>i,y_i2＝-x_i-1cosθ_i,y_i3＝-x_i+1cosθ_i

其中，x_i表示第i个TORA的台车位移，x_i-1表示第i-1个TORA的台车位移，x_i+1表示第i+1个TORA的台车位移，θ_i表示第i个TORA的转子摆角，cos表示余弦函数，M_i,m_i,L_i,k_i,k_i+1分别表示第i个TORA的台车质量、转子质量、转子旋转半径、第i条弹簧的劲度系数及第i+1条弹簧的劲度系数；x₀＝x_N+1＝0。

第3、控制器设计

设计非线性耦合自适应控制器τ_i如下：

其中，k_E,k_pi,k_di是正的控制增益，表示ω_i的在线估计，其更新律为

其中，Γ_i＝diag{r_i1,r_i2,r_i3}表示正定对角更新增益矩阵，r_ij表示正定对角更新增益矩阵Γ_i中对角线上的第j个元素，满足r_ij>0,i＝1,2,...,N,j＝1,2,3。

第4、控制方法实现

利用台车上安装的传感器，实时测量由N个单TORA组成的多TORA系统中每个TORA的台车位移x_i，台车速度转子摆角θ_i，转子角速度i＝1,2,...,N，利用式(16)与式(17)，计算得到控制信号，实现对欠驱动多TORA系统的控制。

本发明方法的理论依据及推导过程：

第1、系统模型与变换

欠驱动多TORA系统的动力学模型为：

其中，对于由N个单TORA系统组成的多TORA系统而言，x_i(t),θ_i(t),分别表示第i个TORA的台车位移、台车速度、台车加速度、转子转角、转子角速度及转子角加速度，x_i-1(t)表示第i-1个TORA的台车位移，x_i+1(t)表示第i+1个TORA的台车位移；t表示时间，变量后面(t)表示该变量为关于时间的函数，为简明起见，在公式中略去大部分变量后面的(t)；M_i,m_i,L_i,J_i分别表示第i个TORA的台车质量、转子质量、转子转动半径、转子关于旋转中心的转动惯量；τ_i(t)为搭载在第i个TORA上的电机转矩，为系统的控制输入；k_i表示第i根弹簧的劲度系数，k_i+1表示第i+1根弹簧的劲度系数；其中，i＝1,2,...,N；此外，x₀(t)＝x_N+1(t)＝0。

本发明的目标是设计合适的控制方法，实现对多TORA系统的镇定控制，使多TORA系统在给定初始位置或受到干扰时能够快速、准确地回到平衡位置并保持稳定。该目标可描述如下：

其中，i＝1,2,...,N，θ_di表示转子转角的目标位置。

为了方便控制器设计与稳定性分析，首先将式(1)所示动力学模型改写为如下形式：

其中，为方便运算，引入了辅助变量和

第2、控制器设计

为实现式(2)中描述的控制目标，定义如下误差信号：

e_θi＝θ_di-θ_i(4)

式中，e_θi(t)表示第i个TORA的转角误差，即转子当前转角θ_i(t)与目标角度θ_di间的误差。对其关于时间求一阶导数，有如下结论：

为方便控制器设计与稳定性分析，式(2)所示控制目标可等效为如下形式：

多TORA系统能量函数E可表示如下：

其中i＝1,2,...,N。

对能量函数E求一阶导数，并将动力学方程(1)代入，可推导得出：

进一步，在能量函数(7)中引入非线性耦合项构造非负储能函数V(t)，表达式如下：

其中i＝1,2,...,N，V(t)为新型的储能函数，k_E,k_pi∈R⁺表示控制增益，Γ_i为正定更新矩阵定义为Γ_i＝diag{r_i1,r_i2,r_i3},r_ij∈R⁺,j＝1,2,3，r_ij表示正定对角更新增益矩阵Γ_i中对角线上的第j个元素。ω_i(t)∈R³为系统未知参数向量，其具体表达式为：

分别为系统未知参数向量，未知参数向量的估计及参数向量估计的误差，满足如下关系式：

将式(10)关于时间求导，可得：

对式(9)关于时间求导，并利用式(8)和(11)进行化简，可得如下结果：

其中，是V(t)关于时间的导数。为简化计算，定义辅助函数ψ_i(t)，表达式如下：

可测向量未知参数向量向量中元素ω_i1,ω_i2,ω_i3,y_i1,y_i2,y_i3为：

因此，由式(11)和式(13)，可将式(12)改写为如下形式：

为使式(15)中非正，设计如下非线性耦合控制器：

其中，k_E，k_pi和k_di是正的控制增益，表示对未知参数ω_i(t)的在线估计，其更新律的表达式如下：

将式(16)和(17)代入式(15)，整理后可得：

第3、稳定性分析

这部分将通过理论分析说明，本发明提出的控制器(16)及参数更新律(17)，可使得多TORA系统在给定初始位置或受到干扰时能够快速、准确地回到平衡位置并保持稳定，即系统状态能够渐近稳定于平衡点处，同时充分抑制并消除转子的残余振荡，即

为证明该结论，首先引入如下扩展的芭芭拉特引理(extended Barbalat’slemma)^[20],[21]：

引理1(扩展的芭芭拉特引理)：如果函数f(t):R⁺→R有极限其中，c∈R表示常数，并且它关于时间的导数可以表达成其中函数f₁(t)一致连续，而函数f₂(t)满足则有

选取式(9)中的V(t)作为李雅普诺夫备选函数，由式(18)中的结论可知V(t)是非增的，且闭环系统的平衡点在李雅普诺夫意义下稳定，因此，下列信号均有界：

定义式(18)中利用式(20)中的结论，可推导知因此，由引理1可知由f(t)的定义可得如下结论：

接下来，将式(16)所示控制器代入式(3)的第1个方程，经过整理可得：

其中，g₁(t),g₂(t)有如下定义：

其中，辅助变量由式(23)知且因此，由引理1可得如下结论：

相似地，将式(16)所示控制器代入式(3)的第2个方程，可得：

其中，g₃(t)和g₄(t)有定义如下：

由式(26)可知因此，由引理1可推知：

联立式(23)和式(26)，利用式(24)和式(27)中的结论，整理可得：

为便于计算，利用x₀(t)＝0,x_N+1(t)＝0，式(28)中的第2个方程可改写为如下形式：

其中矩阵Λ∈R^N×N与向量x∈R^N的定义如下：

其中，λ_i＝k_i+k_i+1,i＝1,2,...,N。不难求得，式(30)中矩阵Λ是满秩的，即表明式(29)存在如下唯一解：

将改写成如下形式：

其中可知(即式(20)中的)。g₆(t)＝0，可知利用引理1可得如下结论：

由式(4)，式(28)和式(31)，与可知：

其中i＝1,2,...,N。因此，结合式(21)、(24)、(27)、(31)、(33)与(34)，可知式(16)所示控制器能够实现期望的控制目标。

本发明的优点和有益效果：

针对欠驱动多旋转激励平移振荡器系统，本发明提出了一种非线性耦合自适应控制方法。它能够在系统参数未知或存在不确定性因素的情况下，实现对多旋转激励平移振荡器系统的镇定控制，有着良好的实际应用的前景。

附图说明：

图1为本发明所提方法在实验情形1中的实验结果；

图2为本发明所提方法在实验情形2中的实验结果；

图3为本发明所提方法在实验情形3中的实验结果；

图4为本发明所提方法在实验情形4中的实验结果。

具体实施方式：

实施例1：

第1、实验步骤描述

第1.1、确定控制目标

选定每个TORA的位置向量为目标位置向量为其中，针对多TORA系统中的第i个TORA，x_i为台车位移，为台车速度，θ_i为转子旋转角度，为转子旋转角速度，θ_di为转子的目标角度，系统中单TORA的总数为N，则i＝1,2,...,N。

第1.2、定义误差信号、参数向量与可测向量

定义多TORA系统中每个TORA的转子摆角误差e_θi(t)为

e_θi＝θ_di-θ_i(4)

其中，θ_i为转子旋转角度，θ_di为转子的目标角度。定义未知参数向量可测向量其中，符号“”表示矩阵/向量转置，向量中元素ω_i1,ω_i2,ω_i3,y_i1,y_i2,y_i3表示为：

y_i1＝x_i>i,y_i2＝-x_i-1cosθ_i,y_i3＝-x_i+1cosθ_i

其中，x_i表示第i个TORA的台车位移，x_i-1表示第i-1个TORA的台车位移，x_i+1表示第i+1个TORA的台车位移，θ_i表示第i个TORA的转子摆角，cos表示余弦函数，M_i,m_i,L_i,k_i,k_i+1分别表示第i个TORA的台车质量、转子质量、转子旋转半径、第i条弹簧的劲度系数及第i+1条弹簧的劲度系数；x₀＝x_N+1＝0。

第1.3、控制器设计

设计非线性耦合自适应控制器τ_i如下：

其中，k_E,k_pi,k_di是正的控制增益，表示ω_i的在线估计，其更新律为

其中，Γ_i＝diag{r_i1,r_i2,r_i3}表示正定对角更新增益矩阵，r_ij表示正定对角更新增益矩阵Γ_i中对角线上的第j个元素，满足r_ij>0,i＝1,2,...,N,j＝1,2,3。

第1.4、控制方法实现

利用台车上安装的传感器，实时测量由N个单TORA组成的多TORA系统中每个TORA的台车位移x_i，台车速度转子摆角θ_i，转子角速度i＝1,2,...,N，利用式(16)与式(17)，计算得到控制信号，实现对欠驱动多TORA系统的控制。

第2、实验结果描述

为了验证本发明所提出方法的有效性，按照上述步骤，在双TORA实验平台上进行实验。实验中，2个TORA的台车质量、转子质量、旋转半径、转动惯量、三只弹簧的劲度系数及重力加速度具体选取如下：

M₁＝2.70kg,m₁＝0.31kg,L₁＝0.12m,M₂＝3.84kg,

m₂＝0.50kg,L₂＝0.12m,J₁＝0.00446kg·m²,J₂＝0.00720kg·m,

k₁＝602.6N·m,k₂＝150.7N·m,k₃＝133.9N·m,g＝9.8m/s²

实验分为4种情形，通过施加外部干扰与参数不确定性，验证本发明方法的有效性与鲁棒性。

情形1、非零初始条件干扰：将双TORA平台中的两个TORA的台车初始位移与转子初始角度分别设置为：x₁(0)＝-0.14m,x₂(0)＝-0.03m,θ₁(0)＝-30deg,θ₂(0)＝45deg；

情形2、对台车平移运动施加外部扰动：在1.5s、3.1s、5.2s左右人为地对两个TORA台车的平移运动施加3次扰动；

情形3、对转子旋转运动施加外部扰动：在2.2s、3.3s、4.9s、6.7s左右人为地对两个TORA转子的旋转运动施加4次扰动；

情形4、系统参数的不确定性：在情形1的条件下，改变双TORA平台的系统参数，两个TORA的台车质量由m₁＝0.31kg,m₂＝0.5kg分别改为m₁＝0.314kg,m₂＝0.317kg。

本发明所提方法在4种情形中的控制增益取值如下：

附图1至4给出了相应的实验结果，附图1至4的前3幅子图中，实线从上到下依次刻画了第1个TORA的台车位移、转子转角、电机转矩，虚线从上到下依次刻画了第2个TORA的台车位移、转子转角、电机转矩；附图1至图4的第4幅子图中，实线、虚线、点画线、点线分别描绘的是对系统未知参数的估计值值得说明的是，本发明所提方法在4种情形下的实验结果中，对未知参数ω₁₂,ω₂₃估计均为0，于是，为使实验结果更加简明清晰，未在图中画出。

通过比较图1与图4可知，本发明所提出方法的控制效果在这两种情况下保持基本一致，证明了其良好的适应能力。从图2与图3中可看出，所提方法能快速消除施加于台车位移与转子转角上的外界干扰对系统造成的不利影响，具有良好的鲁棒性。实验结果与理论分析相符。

这一系列实验结果均验证了本发明所提方法的有效性与可行性。

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