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一种基于分形理论的结构断裂非概率可靠性分析方法

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本发明公开了一种基于分形理论的结构断裂非概率可靠性分析方法。该方法首先考虑有限样本条件下载荷、材料特性、几何尺寸等参数的不确定性效应，将不确定性参数区间量化，并在不确定性参数的区间内配点；采用自相似网格和常规网格离散含裂纹结构，建立含裂纹结构的配点型区间应力强度因子分析模型，求解得到应力强度因子的区间范围；考虑断裂韧性的不确定性效应，建立非概率应力强度因子干涉模型，得到含裂纹结构的可靠度。本发明精确、高效的获得结构的可靠度，为结构的设计提供客观有效的数据。

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公开/公告号CN105893716A

专利类型发明专利
公开/公告日2016-08-24

原文格式PDF
申请/专利权人北京航空航天大学;
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申请/专利号CN201610390402.6
发明设计人邱志平;孙佳丽;王晓军;王磊;吕峥;
展开▼

申请日2016-06-02
分类号G06F17/50(20060101);
代理机构11251 北京科迪生专利代理有限责任公司;
代理人杨学明;顾炜
地址 100191 北京市海淀区学院路37号
入库时间 2023-06-19 00:19:23

法律信息

法律状态公告日

法律状态信息

法律状态
2023-06-09

未缴年费专利权终止 IPC(主分类):G06F17/50 专利号:ZL2016103904026 申请日:20160602 授权公告日:20180629

专利权的终止
2018-06-29

授权

授权
2016-09-21

实质审查的生效 IPC(主分类):G06F17/50 申请日:20160602

实质审查的生效
2016-08-24

公开

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说明书

技术领域

本发明适用于结构断裂的可靠性分析，具体涉及一种基于分形理论和非概率集合理论的结构断裂可靠性分析方法。

背景技术

在工程实际中，机械设备和金属结构的构件中往往存在因制造、使用或材料本身缺陷所致的宏观裂纹。这时要确定构件能否继续安全使用，最重要的就是判断裂纹是否会失稳扩展从而导致结构和设备的破坏。应力强度因子反映了裂纹尖端附近区域的应力场和位移场，是裂纹扩展趋势和裂纹扩展推动力的度量。按断裂力学的观点：裂纹尖端的应力强度因子若是小于材料的断裂韧性，则构件是安全的，否则，构件是危险的。

大量的实际工程表明：由于作用在结构上的外载荷不确定地波动和组成结构的材质、结构工艺的内在不均匀性，使得虽然是同一批制造的同一类型结构在同一工况下体现出不同的效能，结果导致结构疲劳寿命可相差数倍之多，存在着相当大的分散性。同样就一种结构群的每个结构而言，其承受的载荷—时间历程、全寿命期内所受的最大载荷、决定临界裂纹尺寸的材料断裂韧度、描述裂纹扩展速率的曲线(表达式的参数)、乃至结构产生的裂纹形态，均是不确定的。由此可见，必须要利用可靠性理论对含不确定性参数结构的安全性进行研究。

当前，国内外学者与工程技术人员对含不确定性问题的方法大致分为三种：概率理论、模糊理论及非概率凸集合理论。同样，用于处理结构可靠性分析的模型也可分为：概率可靠性模型、模糊可靠性模型及非概率可靠性模型。目前，概率可靠性模型是最成功且应用最为普遍的可靠性模型；模糊可靠性模型也使得结构的设计及可靠性分析得到了很大的提高；非概率可靠性模型近年来也得到了很大的发展，对另外两种可靠性模型起到了一定的弥补作用。从应用条件来看，前两种可靠性模型以大量的统计数据为基础，以便得到不确定参数的概率密度函数或隶属度函数。事实上，由于试件精确数据的缺乏，概率密度函数或隶属度函数不能被精确的得到。人们仅能通过经验或较少的数据对它们进行一定的数据处理及假设。这样一些人为因素将带来模型的误差，从而影响结构可靠性的确定。因此，这两种模型对结构可靠性问题的分析有一定的局限性。非概率可靠性模型所需信息较少，因此对其进行深入研究有很大的科研及实际意义。

发明内容

本发明解决的技术问题是：克服现有技术的不足，提供一种基于分形理论和非概率集合理论的结构断裂可靠性分析方法，充分考虑实际工程问题中普遍存在的不确定性因素，结合分形理论与非概率集合理论，所得到的设计结果更加符合真实情况，工程适用性更强。

本发明采用的技术方案为：一种基于分形理论的结构断裂非概率可靠性分析方法，具体实现步骤如下：

第一步：区间不确定性参数向量是以区间形式表示的不确定性参数向量，利用区间不确定性参数向量表征贫信息、少数据条件下的结构参数和载荷的不确定性，表示为：

$α^{I} = [\underline{α}, \overline{α}] = [α^{C} - Δ α, α^{C} + Δ α] = (α_{i}^{I})$

i＝1,2,…,m

其中，和分别为区间不确定性参数向量α的上、下界，和i＝1,2,…,m分别为第i个区间不确定性参数的上、下界，m为区间不确定性参数的个数，为区间不确定性参数向量α的中心值，为区间不确定性参数向量α的半径，和△α_i，i＝1,2,…,m分别为第i个区间不确定性参数的中心值和半径；

区间不确定性参数向量还可表示为：

$(\begin{matrix} α^{I} = [\underline{α}, \overline{α}] = [α^{C} - Δ α, α^{C} + Δ α] \\ = α^{C} + Δ α [- 1, 1] \\ = α^{C} + Δ α \times e \end{matrix})$

其中，e∈Ξ^m，Ξ^m定义为所有元素包含在[-1,1]内的m维向量集合，符号“×”定义为两个向量各对应元素相乘的算子，乘积仍为维数为m的向量。

第二步：将第一步中的区间不确定性参数向量处理为一元区间不确定性参数向量，一个m维的区间不确定性参数向量变为m个一元区间不确定性参数向量，m维的区间不确定性参数向量中每一维都是区间不确定性参数，一元区间不确定性参数向量中只有其中一维是区间不确定性参数，其它m-1维是确定性参数；

一元区间不确定性参数向量表示为：

αⁱ＝α^c+△α×Xⁱ

其中，Xⁱ＝(0,…,x,…,0)^T，x处于第i行；αⁱ为一元区间不确定性参数向量，角标i表示αⁱ中第i个分量为区间不确定性参数。由此可见，一个m维的区间不确定性参数向量通过处理变为m个一元区间不确定性参数向量。

第三步：在一元区间不确定性参数向量的区间内配点，生成区间不确定性参数向量的区间配点集。配点原则是采用高斯积分点在区间内配点，区间内的Gauss积分点记为x_k，表示为：

$x_{k} = c o s \frac{2 (q - k) + 1}{2 q} π, k = 1, 2, ..., q$

其中，x_k为区间内配置的第k个高斯积分点，q为区间内配点的个数。

第四步：根据含裂纹结构的几何模型及裂纹位置，用人工边界Γ，将几何模型划分为常规区域Ω和靠近裂纹尖端的分形区域D，其中人工边界Γ是圆形边界，圆心在裂纹尖端端点，半径是r，0≤r≤a，a为裂纹长度；

根据分形理论的自相似性，在分形区域D内构造比例系数为ξ的自相似单元。自相似单元的层数为k，k为大于等于1的正整数，比例系数0＜ξ＜1；

含裂纹结构的配点型区间应力强度因子分析模型表示为：

K(α)u＝f(α)

其中，K(α)为含裂纹结构的区间不确定性结构刚度矩阵，f(α)为含裂纹结构的区间不确定性结构节点载荷向量，u为含裂纹结构的区间不确定性结构节点位移向量，也是区间不确定性参数向量α＝(α_i)的函数；

K(α)、u、f(α)分别表示为：

$K (α) = (\begin{matrix} K_{r r}^{R} (α) & K_{r m}^{R} (α) & 0 \\ K_{m r}^{R} (α) & K_{m m}^{R} (α) + K_{m m}^{1 s t} (α) & K_{m s}^{1 s t} (α) T_{S}^{1 s t} \\ 0 & {(T_{S}^{1 s t})}^{T} K_{s m}^{1 s t} (α) & {(T_{S}^{1 s t})}^{T} K_{s s}^{1 s t} (α) T_{S}^{1 s t} + K_{S}^{i n n} + K_{S}^{i n n} (α) \end{matrix})$

$u = (\begin{matrix} u_{r} \\ u_{m} \\ a \end{matrix})$

$f (α) = (\begin{matrix} f_{r}^{R} (α) \\ f_{m}^{R} (α) + f_{m}^{1 s t} (α) \\ {(T_{S}^{1 s t})}^{T} f_{S}^{1 s t} (α) + f_{S}^{i n n} (α) \end{matrix})$

其中，u_r分别为区域Ω内节点的区间不确定性结构刚度矩阵、节点载荷向量和节点位移向量，u_m分别为边界Γ上主节点的区间不确定性结构刚度矩阵、节点载荷向量和节点位移向量，和为区域Ω和边界Γ上的区间不确定性结构耦合刚度矩阵。分别为区域D第1层单元主节点的区间不确定性结构刚度矩阵、节点载荷向量，分别为区域D第1层单元从节点的区间不确定性结构刚度矩阵、节点载荷向量，a为分形区域D内的区间不确定性广义坐标向量，和为区域D第1层单元的区间不确定性结构耦合刚度矩阵，为区域D第1层单元从节点的转换矩阵，和分别为分形区域D内的第2至k层单元的有界不确定性结构刚度矩阵、节点载荷向量。通过求解u的上下界可以直接得到应力强度因子K_Ι,ΙΙ的上界和下界，其中和分别为Ι型平面裂纹的应力强度因子的上界和下界，和分别为ΙΙ型平面裂纹的应力强度因子的上界和下界。

第五步：根据第三步得到的区间配点方案和第四步建立的配点型区间应力强度因子分析模型，求解应力强度因子的上界和下界；

具体求解时，采用最佳平方逼近多项式逼近结构响应函数，表示为：

$P_{r}^{i} (x) = \frac{1}{q} Σ_{k = 1}^{q} {\tilde{u}}_{i} (x_{k}) + Σ_{j = 1}^{r} Σ_{k = 1}^{q} {\tilde{u}}_{i} (x_{k}) T_{j} (x_{k}) T_{j} (x)$

其中，T_j(x)＝cos(jarccosx),-1≤x≤1,0≤j≤r，为正交多项式系；T_j(x_k)为正交多项式系T_j(x)在第k个高斯积分点处对应的函数值；为第k个高斯积分点对应的结构响应；为r阶第一类Chebyshev多项式，角标i表示针对第i个一元区间不确定性参数向量，采用最佳平方逼近多项式逼近结构响应函数；q为配点个数；

求解x∈[-1,1]的最小值点和最大值点，分别记为和重复上述过程，直到i遍历完1～m时，就能得到具有m个元素的最值点向量，记为和将X_min和X_max分别带入结构响应函数中，得到结构响应的近似区间估计为按下式计算：

$\underline{u} = u_{\min} = u (α^{c} + Δα \times X_{\min})$

$\overline{u} = u_{m a x} = u (α^{c} + Δ α \times X_{m a x})$

其中，为响应的下界，为响应的上界；和分别为第i个一元区间不确定性参数向量在区间[-1,1]内的最小值和最大值点，X_min和X_max分别是由最小值点和最大值点构成的最值点向量；α^c为区间不确定性参数向量的中值向量；△α为区间不确定性参数向量的区间半径向量；响应的中值由下式给出

第六步：根据断裂韧性的不确定性效应和结构断裂可靠性的功能函数，建立非概率应力强度因子干涉模型，基于断裂准则和非概率应力强度因子干涉模型，对结构断裂非概率可靠性进行度量，得到结构断裂的可靠度；

结构断裂可靠性的功能函数表示为：

M(K_Ι,ΙΙ,K_c)＝K_c-K_Ι,ΙΙ

其中，应力强度因子K_Ι，ΙΙ和断裂韧性K_c均为区间变量，即和和分别为应力强度因子的下界和上界，和分别为断裂韧性的下界和上界。当M(K_Ι,ΙΙ,K_c)＞0时，结构安全，裂纹稳定不扩展；当M(K_Ι,ΙΙ,K_c)＜0时，结构失效，裂纹将发生不稳定扩展；当M(K_Ι,ΙΙ,K_c)＝0时，为临界状态。

本发明与现有技术相比的优点在于：

(1)本发明提出了一种基于分形理论的区间应力强度因子求解方法，该方法根据分形理论的自相似性，在裂纹尖端形成无限细化的网格，可无限逼近裂纹尖端，提高了计算的精确性，克服现有方法精度不高的缺点。

(2)本发明可以处理贫数据、少信息条件下的结构可靠性问题，无需知道不确定性参数的概率分布，只要知道不确定性参数的上下界就可以预测结构的可靠度，有更强的工程适用性。

附图说明

图1是本发明方法实现流程图；

图2是本发明中含裂纹结构的分区示意图；

图3是本发明中含裂纹结构常规区域的离散示意图；

图4是本发明中含裂纹结构分形区域的离散示意图；

图5是本发明中非概率应力强度因子干涉模型示意图；

图6是本发明二维区间变量的断裂韧性和应力强度因子干涉模型示意图；

图7是本发明实施例中带一条单边裂纹的弹性板几何模型示意图；

图8是本发明实施例中不同变异系数下弹性板的非概率可靠度。

具体实施方式

下面结合附图以及具体实施方式进一步说明本发明。

如图1所示，本发明提出了一种基于分形理论的结构断裂非概率可靠性分析方法，其具体实现步骤是：

(1)区间不确定性参数向量是以区间形式表示的不确定性参数向量，利用区间不确定性参数向量表征贫信息、少数据条件下的结构参数和载荷的不确定性，表示为：

$α^{I} = [\underline{α}, \overline{α}] = [α^{C} - Δ α, α^{C} + Δ α] = (α_{i}^{I}) - - - (1)$

i＝1,2,…,m

其中，和分别为区间不确定性参数向量α的上、下界，和，i＝1,2,…,m分别为第i个区间不确定性参数的上、下界，m为区间不确定性参数的个数，为区间不确定性参数向量α的中心值，为区间不确定性参数向量α的半径，和△α_i，i＝1,2,…,m分别为第i个区间不确定性参数的中心值和半径；

区间不确定性参数向量还可表示为：

$\begin{matrix} α^{I} = [\underline{α}, \overline{α}] = [α^{C} - Δ α, α^{C} + Δ α] \\ = α^{C} + Δ α [- 1, 1] \\ = α^{C} + Δ α \times e \end{matrix} - - - (2)$

其中，e∈Ξ^m，Ξ^m定义为所有元素包含在[-1,1]内的m维向量集合，符号“×”定义为两个向量各对应元素相乘的算子，乘积仍为维数为m的向量。

(2)将(1)中的区间不确定性参数向量处理为一元区间不确定性参数向量。取(2)式中e的第i(1≤i≤m)个元素为x，其他元素为0，记为：

Xⁱ＝(0,…,x,…,0)^T>

1 i m

其中，x∈[-1,1]。由式(2)和(3)得到一元区间不确定性参数向量为：

αⁱ＝α^c+△α×Xⁱ>

其中，αⁱ为一元区间不确定性参数向量，角标i表示αⁱ中第i个分量为区间不确定性参数。由此可见，一个m维的区间不确定性参数向量通过处理变成m个一元区间不确定性参数向量。m维的区间不确定性参数向量中每一维都是区间不确定性参数，一元区间不确定性参数向量中只有其中一维是区间不确定性参数，其它m-1维是确定性参数。

(3)在一元区间不确定性参数向量的区间内配点，生成区间不确定性参数向量的区间配点集，配点原则是采用高斯积分点在区间内配点，在[-1,1]上配置q个Gauss积分点记为x_k，表示为：

$x_{k} = c o s \frac{2 (q - k) + 1}{2 q} π, k = 1, 2, ..., q$

其中，x_k为区间内配置的第k个高斯积分点，q为区间内配点的个数。

(4)根据含裂纹结构的几何模型及裂纹位置，用人工边界Γ，将几何模型划分为常规区域Ω和靠近裂纹尖端的分形区域D，见图2。对常规区域Ω的几何模型进行离散，见图3(仅表示了一半模型)。建立常规区域Ω内的区间不确定性结构响应求解模型，表示为：

K_R(α)u_R＝f_R(α)>

其中，K_R(α)为常规区域Ω内的区间不确定性结构刚度矩阵，表示为：

$K_{R} (α) = (\begin{matrix} K_{r r}^{R} (α) & K_{r m}^{R} (α) \\ K_{m r}^{R} (α) & K_{m m}^{R} (α) \end{matrix}) - - - (6)$

其中，为区域Ω内节点的区间不确定性结构刚度矩阵，为边界Γ上主节点的区间不确定性结构刚度矩阵，和为区域Ω和边界Γ上的区间不确定性结构耦合刚度矩阵；

f_R(α)为常规区域Ω内的区间不确定性结构节点载荷向量，表示为：

$f_{R} (α) = (\begin{matrix} f_{r}^{R} (α) \\ f_{m}^{R} (α) \end{matrix}) - - - (7)$

其中，为区域Ω内节点的区间不确定性结构节点载荷向量，为边界Γ上主节点的区间不确定性结构节点载荷向量；

u_R为区域Ω内的区间不确定性结构节点位移向量，也是区间不确定性参数向量α＝(α_i)的函数。表示为：

$u_{R} = (\begin{matrix} u_{r} \\ u_{m} \end{matrix}) - - - (8)$

其中，u_r为区域Ω内节点的区间不确定性结构节点位移向量，u_m为边界Γ上主节点的区间不确定性结构节点位移向量；

在分形区域D内，采用比例系数为ξ的自相似网格进行离散，建立k层自相似单元。其中，0＜ξ＜1，k为大于等于1的正整数。如图4所示；

以裂纹尖端端点为原点构造极坐标系，裂纹尖端位移场的William’s一般解具体表示为：

$u = Σ_{n = 0}^{\infty} \frac{r^{n / 2}}{2 G} (a_{n}^{I} f_{n, 11} + a_{n}^{I I} f_{n, 12}) - - - (9)$

$v = Σ_{n = 0}^{\infty} \frac{r^{n / 2}}{2 G} (a_{n}^{I} f_{n, 21} + a_{n}^{I I} f_{n, 22}) - - - (10)$

其中，u,v分别为直角坐标系下裂纹尖端沿x和y方向的位移分量，G为剪切模量，r为极坐标系下节点的极径，n为William’s级数的项数。和n＝1,2,…，为广义坐标，f_n,ij(n,θ),i,j＝1,2，具体表达式为：

$f_{n, 11} = \frac{1}{2 G} [(κ + \frac{n}{2} + {(- 1)}^{n}) c o s \frac{n}{2} θ - \frac{n}{2} c o s (\frac{n}{2} - 2) θ] - - - (11)$

$f_{n, 12} = \frac{1}{2 G} [(- κ - \frac{n}{2} + {(- 1)}^{n}) s i n \frac{n}{2} θ + \frac{n}{2} s i n (\frac{n}{2} - 2) θ] - - - (12)$

$f_{n, 21} = \frac{1}{2 G} [(κ - \frac{n}{2} - {(- 1)}^{n}) \sin \frac{n}{2} θ + \frac{n}{2} \sin (\frac{n}{2} - 2) θ] - - - (13)$

$f_{n, 22} = \frac{1}{2 G} [(κ - \frac{n}{2} + {(- 1)}^{n}) c o s \frac{n}{2} θ + \frac{n}{2} c o s (\frac{n}{2} - 2) θ] - - - (14)$

其中，θ为极坐标系下节点的极角，κ为常数，对于平面应变问题，κ＝3-4ν，平面应力问题，κ＝(3-ν)/(1+ν)，其中ν为泊松比；

利用裂纹尖端位移场的William’s一般解作为整体插值函数，将分形区域D内的区间不确定性结构节点位移向量表示为：

u_S＝T_Sa>

$a = {a_{1}^{I}, a_{1}^{I I}, a_{2}^{I}, a_{2}^{I I}, ..., a_{n}^{I}, a_{n}^{I I}}^{T} - - - (16)$

其中，u_S为分形区域D内的区间不确定性结构节点位移向量，也是区间不确定性参数向量α＝(α_i)的函数，T_S为分形区域D内的转换矩阵，a为分形区域D内的区间不确定性广义坐标向量，也是区间不确定性参数向量α＝(α_i)的函数，均为分形区域D内的区间不确定性广义坐标；

根据(9)、(10)式，区间不确定性平面裂纹应力强度因子K_Ι,ΙΙ与区间不确定性广义坐标有关，表示为：

$\begin{matrix} K_{I} = \sqrt{(2 π)} a_{1}^{I} \\ K_{I I} = \sqrt{(2 π)} a_{1}^{I I} \end{matrix} - - - (17)$

其中，K_I为Ι型平面裂纹的区间不确定性应力强度因子，K_ΙΙ为ΙΙ型平面裂纹的区间不确定性应力强度因子，二者均是区间不确定性参数向量α＝(α_i)的函数。由此可见，区间不确定性应力强度因子可由区间不确定性广义坐标得到；

在区间不确定性参数约束的条件下，建立分形区域D内第1层单元的区间不确定性结构响应求解模型，表示为：

$(\begin{matrix} K_{m m}^{1 s t} (α) & K_{m s}^{1 s t} (α) \\ K_{s m}^{1 s t} (α) & K_{s s}^{1 s t} (α) \end{matrix}) (\begin{matrix} u_{m} \\ u_{S}^{1 s t} \end{matrix}) = (\begin{matrix} f_{m}^{1 s t} (α) \\ f_{S}^{1 s t} (α) \end{matrix}) - - - (18)$

其中，分别为区域D第1层单元主节点的区间不确定性结构刚度矩阵、节点载荷向量，u_m为边界Γ上主节点的区间不确定性节点位移向量，分别为区域D第1层单元从节点的区间不确定性结构刚度矩阵、节点载荷向量和节点位移向量，和为区域D第1层单元的区间不确定性结构耦合刚度矩阵；

利用分形区域D内的转换矩阵T_S和区间不确定性广义坐标向量a，将表示为：

$u_{S}^{1 s t} = T_{S}^{1 s t} a - - - (19)$

其中，为区域D第1层单元从节点的转换矩阵。进而，将分形区域D内第1层单元的区间不确定性结构响应求解模型表示为：

${(\begin{matrix} I & 0 \\ 0 & T_{S}^{1 s t} \end{matrix})}^{T} (\begin{matrix} K_{m m}^{1 s t} (α) & K_{m s}^{1 s t} (α) \\ K_{s m}^{1 s t} (α) & K_{s s}^{1 s t} (α) \end{matrix}) (\begin{matrix} I & 0 \\ 0 & T_{S}^{1 s t} \end{matrix}) (\begin{matrix} u_{m} \\ a \end{matrix}) = {(\begin{matrix} I & 0 \\ 0 & T_{S}^{1 s t} \end{matrix})}^{T} (\begin{matrix} f_{m}^{1 s t} (α) \\ f_{S}^{1 s t} (α) \end{matrix}) - - - (20)$

或

$(\begin{matrix} K_{m m}^{1 s t} (α) & K_{m s}^{1 s t} (α) T_{S}^{1 s t} \\ {(T_{S}^{1 s t})}^{T} K_{s m}^{1 s t} (α) & {(T_{S}^{1 s t})}^{T} K_{s s}^{1 s t} (α) T_{S}^{1 s t} \end{matrix}) (\begin{matrix} u_{m} \\ a \end{matrix}) = (\begin{matrix} f_{m}^{1 s t (α)} \\ {(T_{S}^{1 s t})}^{T} f_{S}^{1 s t} (α) \end{matrix}) - - - (21)$

其中，I为单位矩阵；

分形区域D内的第k₁层单元，其中2≤k₁≤k，k为分形区域D内自相似单元的总层数，其区间不确定性结构响应求解模型表示为：

$K_{S}^{k_{1} - t h} (α) u_{S}^{k_{1} - t h} = f_{S}^{k_{1} - t h} (α) - - - (22)$

其中，为分形区域D内第k₁层单元的区间不确定性结构刚度矩阵，为分形区域D内第k₁层单元的区间不确定性结构节点载荷向量，为分形区域D内第k₁层单元的区间不确定性结构节点位移向量，也是区间不确定性参数向量α＝(α_i)的函数；

将上式表示成广义坐标的形式：

${(T_{S}^{k_{1} - t h})}^{T} K_{S}^{k_{1} - t h} (α) T_{S}^{k_{1} - t h} a = {(T_{S}^{k_{1} - t h})}^{T} f_{S}^{k_{1} - t h} (α) - - - (23)$

其中，为分形区域D内第k₁层单元的转换矩阵。根据分形区域D内单元的自相似性，每一层单元的刚度矩阵相等，即：

$K_{S}^{k_{1} - t h} (α) = K_{S}^{2 n d} (α) - - - (24)$

其中，为分形区域D内第2层单元的区间不确定性结构刚度矩阵；

根据自相似性，将(23)式中的表示为：

$T_{S}^{k_{1} - t h} = T_{S}^{2 n d} D i a g [η_{i}] - - - (25)$

其中，为分形区域D内第2层单元的转换矩阵。Diag[η_i]为对角元素为η_i的对角矩阵，η_i具体表示为：

$η_{i} = ξ^{n_{i} (k_{1} - 2) / 2} - - - (26)$

其中，ξ为比例系数，n_i具体表示为：

$n_{i} = (\begin{matrix} (i - 1) / 2, i = 1, 3, ... \\ (i - 2) / 2, i = 2, 4, ... \end{matrix}) - - - (27)$

其中，1≤i≤2n，n为William’s级数的项数。结合(22)、(23)、(24)、(25)四式，将分形区域D内的第2至k层的区间不确定性结构刚度矩阵叠加，表示为：

$\begin{matrix} K_{S}^{i n n} (α) Σ_{k_{1} = 2}^{k} {(T_{S}^{k_{1} - t h})}^{T} K_{S}^{k_{1} - t h} (α) T_{S}^{k_{1} - t h} \\ = Σ_{k_{1} = 2}^{k} D i a g {[η_{i}]}^{T} {(T_{S}^{2 n d})}^{T} K_{S}^{2 n d} (α) T_{S}^{2 n d} D i a g [η_{j}] \\ = [α_{i j} k_{i j} (α)] \end{matrix} - - - (28)$

其中，1≤j≤2n，n为William’s级数的项数，为分形区域D内的第2至k层的区间不确定性结构刚度矩阵，α_ij和[k_ij(α)]具体表示为：

$α_{i j} = Σ_{k_{1} = 2}^{k} ξ^{(n_{i} (k_{1} - 2)) / 2} ξ^{(n_{j} (k_{1} - 2)) / 2} = {[ξ^{- (n_{i} + n_{j}) / 2} - 1]}^{- 1} - - - (29)$

$[k_{i j} (α)] = {(T_{S}^{2 n d})}^{T} K_{S}^{2 n d} (α) T_{S}^{2 n d} - - - (30)$

同样，分形区域D内第2至k层的区间不确定性结构节点载荷向量表示为：

$f_{S}^{i n n} (α) = [α_{i j} f_{i j} (α)] - - - (31)$

其中，为分形区域D内第2至k层的区间不确定性结构节点载荷向量，[f_ij(α)]具体表示为：

$[f_{i j} (α)] = {(T_{S}^{2 n d})}^{T} f_{S}^{2 n d} (α) - - - (32)$

其中，为分形区域D内第2层单元的区间不确定性结构节点载荷向量；

叠加式(21)、(28)、(31)建立整个分形区域D内的区间不确定性结构响应求解模型，表示为：

K_S(α)u_S＝f_S(α)>

其中，K_S(α)为分形区域D内的区间不确定性结构刚度矩阵，f_S(α)为分形区域D内的区间不确定性结构节点载荷向量，u_S为分形区域D内的区间不确定性结构节点位移向量，也是区间不确定性参数向量α＝(α_i)的函数；

K_S(α)、u_S、f_S(α)分别表示为：

$K_{S} (α) = (\begin{matrix} K_{m m}^{1 s t} (α) & K_{m s}^{1 s t} (α) T_{S}^{1 s t} \\ {(T_{S}^{1 s t})}^{T} K_{s m}^{1 s t} (α) & {(T_{S}^{1 s t})}^{T} K_{s s}^{1 s t} (α) T_{S}^{1 s t} + K_{S}^{i n n} (α) \end{matrix}) - - - (34)$

$u_{S} = (\begin{matrix} u_{m} \\ a \end{matrix}) - - - (35)$

$f_{S} (α) = (\begin{matrix} f_{m}^{1 s t} (α) \\ {(T_{S}^{1 s t})}^{T} f_{S}^{1 s t} (α) + f_{S}^{i n n} (α) \end{matrix}) - - - (36)$

组合(5)和(33)的区间不确定性结构响应求解模型，建立含裂纹结构的区间不确定性结构响应求解模型，表示为：

K(α)u＝f(α) (37)

K(α)、u、f(α)分别表示为：

$u = (\begin{matrix} u_{r} \\ u_{m} \\ a \end{matrix}) - - - (39)$

$f (α) = (\begin{matrix} f_{r}^{R} (α) \\ f_{m}^{R} (α) + f_{m}^{1 s t} (α) \\ {(T_{S}^{1 s t})}^{T} f_{S}^{1 s t} (α) + f_{S}^{i n n} (α) \end{matrix}) . - - - (40)$

(5)根据第(3)步得到的区间配点方案采用最佳平方逼近多项式逼近结构响应函数的方法求解(37)式，得到区间不确定性节点位移向量u的上界和下界；

引入r阶第一类Chebyshev多项式，其正交多项式系{T_j(x)}和最佳平方逼近函数P_r(x)为：

T_j(x)＝cos(jarccosx),-1≤x≤1,0≤j≤r>

$P_{r} (x) = \frac{a_{0}}{2} + Σ_{j = 1}^{r} a_{j} T_{j} (x) - - - (42)$

其中，j为非负整数，a_j为逼近函数展开式系数。P_r(x)为r阶第一类Chebyshev多项式；

由Gauss积分点求出多项式系数并代入(42)，可进一步得到：

$P_{r}^{i} (x) = \frac{1}{q} Σ_{k = 1}^{q} {\tilde{u}}_{i} (x_{k}) + Σ_{j = 1}^{r} Σ_{k = 1}^{q} {\tilde{u}}_{i} (x_{k}) T_{j} (x_{k}) T_{j} (x) - - - (43)$

其中，T_j(x_k)为正交多项式系T_j(x)在第k个高斯积分点处对应的函数值；为第k个高斯积分点对应的结构响应；为r阶第一类Chebyshev多项式，角标i表示针对第i个一元区间不确定性参数向量，采用最佳平方逼近多项式逼近结构响应函数；q为配点个数；

简记为：

$P_{r}^{i} (x) = \frac{2}{q} U T T (x) - - - (44)$

其中：

$U = [{\tilde{u}}_{i} (x_{1}), ..., {\tilde{u}}_{i} (x_{q})] - - - (45)$

T(x)＝[1>1(x)>2(x) …>r(x)]^T>

先考虑如何求解的最值，对式(44)关于x求导并令导数为零，得：

$P_{r}^{i^{'}} (x) = \frac{2}{q} {UTT}^{'} (x) = 0 - - - (48)$

求解式(48)的根，并联合和根据连续函数在闭区间上的最值定理，可得一元逼近函数的最小值点和最大值点，分别记为和

重复上述过程，直到i遍历完1～m时，就能得到具有m个元素的最值点向量，记为和将X_min和X_max分别带入结构响应函数中，得到结构响应的近似区间估计为按下式计算

$\underline{u} = u_{\min} = u (α^{c} +Δα\times X_{\min}) - - - (49)$

$\overline{u} = u_{m a x} = u (α^{c} + Δ α \times X_{m a x}) - - - (50)$

其中，和分别为第i个一元区间不确定性参数向量在区间[-1,1]内的最小值和最大值点，X_min和X_max分别是由最小值点和最大值点构成的最值点向量；α^c为区间不确定性参数向量的中值向量；△α为区间不确定性参数向量的区间半径向量；响应的中值由下式给出根据(49)和(50)式得到的区间不确定性节点位移向量的上界和下界，提取相应的区间不确定性广义坐标的上界和下界根据(17)式得到区间不确定性应力强度因子K_Ι,ΙΙ的上界和下界。其中K_Ι为Ι型平面裂纹的区间不确定性应力强度因子，K_ΙΙ为ΙΙ型平面裂纹的区间不确定性应力强度因子。应力强度因子的中值由给出。

(6)考虑断裂韧性的不确定性效应，将其表示为：

$K_{c} \in [{\underline{K}}_{c}, {\overline{K}}_{c}] - - - (51)$

其中和分别表示断裂韧性的下界和上界。其中值表示为

将结构断裂非概率可靠性的功能函数表示为：

M(K_Ι,ΙΙ,K_c)＝K_c-K_Ι,ΙΙ>

当M(K_Ι,ΙΙ,K_c)＞0时，结构安全，裂纹稳定不扩展；当M(K_Ι,ΙΙ,K_c)＜0时，结构失效，裂纹将发生不稳定扩展；当M(K_Ι,ΙΙ,K_c)＝0时，为临界状态；

由于断裂韧性和应力强度因子都是区间变量，根据(51)和(52)式，二者可能发生干涉的情况，如图5所示，即为非概率应力强度因子干涉模型；

基于断裂准则和非概率应力强度因子干涉模型，对结构断裂非概率可靠性进行度量，将图5所示的干涉关系转换为二维区间变量的断裂韧性和应力强度因子干涉的关系，如图6所示。则结构断裂的非概率可靠度即为安全区域面积与变量总区域面积之比：

$R = \frac{S_{s a f e}}{S_{s u m}} - - - (53)$

其中，R为结构断裂非概率可靠度，S_safe为安全区域的面积，S_sum为变量区域的总面积。

实施例：

为了更充分地了解该发明的特点及其对工程实际的适用性，本发明针对如图7所示的带一条单边裂纹的弹性板进行非概率可靠性分析。图7中弹性板的宽为w，高h＝200cm，裂纹长度为a，弹性模量E＝2×10⁵MPa，泊松比ν＝0.167，受到均布拉力F的作用。由于制造和测量误差，裂纹长度a、均布拉力F和弹性板宽w均为区间不确定性参数，裂纹长度a的中心值为a^c＝5cm，均布拉力F的中心值为F^c＝0.3kN/cm，弹性板宽w的中心值为w^c＝40cm，并且有a＝[a^c-βa^c,a^c+βa^c]，F＝[F^c-βF^c,F^c+βF^c]，w＝[w^c-βw^c,w^c+βw^c]，β为可以变化的变异系数，分别取0.05,0.10,0.15,0.20,0.25,0.30。断裂韧性的区间范围为：K_c＝[1.5,2.7]。本例中需要预测弹性板断裂的非概率可靠度。

本例中裂纹类型为I型，因此，K_ΙΙ＝0。用一个圆心在裂纹尖端端点，半径为r＝3cm的圆将弹性板分为常规区域Ω和分形区域D。由于弹性板是对称结构，故取一半模型进行分析。对常规区域Ω采用四节点的四边形等参单元离散，共有32个单元，47个节点。对分形区域D采用比例系数为ξ＝0.5的自相似单元离散，建立k＝10层自相似单元。裂纹尖端位移场William’s一般解取10项，即n＝10。通过编程得到分形区域D内的有界不确定性结构静力响应求解模型。最佳平方逼近多项式的项数r＝5，配点个数取为q＝5。表1给出了不同变异系数下，根据本发明所提出的方法得到的弹性板的非概率可靠度。

表1

βR(％)0.0598.620.1095.360.1591.380.2086.580.2580.760.3073.57

图8显示了本文方法得到的结构断裂非概率可靠度。从图中可以看出，随着变异系数β的增大，结构的可靠度逐渐降低，也就是说，随着不确定性参数区间变大，结构的可靠度逐渐降低。这与工程实际情况吻合，由此证明本发明方法所得的结果是可信的。此外，工程实际中很难获知载荷、结构参数等区间不确定性参数的真实概率分布情况，只能得到其分布的上下界，此时，本发明方法的易用性和有效性优势更加得以凸显。此外，本发明提出的一种基于分形理论求解区间应力强度因子的半解析方法，计算精度高，弥补了现有方法不精确的缺点，且通过对实施例的计算发现，本发明方法与传统有限元方法相比计算效率提高了90％，存储容量减少了60％。以上实例验证了本发明方法针对结构断裂可靠度分析的可行性与精确性。

本发明可以精确、高效的获得结构断裂的可靠度，为结构后续设计提供客观有效的数据。

以上仅是本发明的具体步骤，对本发明的保护范围不构成任何限制。

本发明未详细阐述部分属于本领域技术人员的公知技术。

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