一种基于干扰观测器的挠性卫星轨迹线性化姿态控制方法

摘要

一种基于干扰观测器的挠性卫星轨迹线性化姿态控制方法，本发明涉及基于干扰观测器的挠性卫星轨迹线性化姿态控制方法。本发明是为了解决单一的轨迹线性化控制方法对干扰的抑制能力不强、鲁棒性较差，未考虑到外部干扰以及挠性附件影响的问题。本发明用欧拉角描述航天器姿态，采用等效干扰的思想，建立挠性航天器动力学和运动学方程；忽略等效干扰的情况下求被控对象的伪逆，设计特定形式的准微分器，得到期望轨迹的名义控制；用比例—积分控制设计线性时变调节器。考虑等效干扰的影响，设计干扰观测器，保证挠性航天器的跟踪误差渐近收敛。本发明提高了系统的抗干扰能力，增强了系统的鲁棒性。本发明应用于挠性卫星的姿态控制领域。

说明书

技术领域

本发明涉及基于干扰观测器的挠性卫星轨迹线性化姿态控制方法。

背景技术

随着时代的发展和社会的进步，人类对外太空的探索已经上升到一个新的高度。 中国已经跨入了空间大国的行列。航天技术对于国民经济、国防建设、文化教育和科学研究 起到至关重要的作用，是国家综合实力的集中体现。

航天技术是将航天学的理论应用于航天器和运载器的研究、设计、制造、试验、发 射、飞行、返回、控制、管理等工航天工程实践而形成的一门综合性工程技术。卫星系统包括 七部分：位置与姿态控制系统、天线系统、转发器系统、遥测指令系统、电源系统、温控系统 以及入轨和推进系统。其中姿态控制系统决定了卫星的跟踪性能，是卫星顺利完成太空任 务的重要保障。

由于太空探索的领域不断拓宽，探索任务难度不断加大，航天器的结构也呈现复 杂化的趋势，不可避免地受到各种干扰力矩以及参数不确定性的影响。外部及自身的干扰 很大程度上影响了航天器的工作性能，加大了姿态控制的难度。并且干扰的数学模型不易 清晰描述。因此挠性航天器的干扰抑制问题是航天领域的研究热点，直接决定了卫星的控 制精度。

针对航天器的干扰抑制问题，国内外学者进行了深入研究，提出了很多控制算法， 现将部分控制算法介绍如下：

HuaLiu等人[1](LiuH,GuoL,ZhangY.Ananti-disturbancePDcontrol schemeforattitudecontrolandstabilizationofflexiblespacecrafts[J] .NonlinearDynamics,2012,67(3):2081-2088)针对挠性航天器的干扰问题设计了干扰观 测器和PD控制器，抑制了两种不同的干扰，提高了航天器的控制精度和姿态稳定性。虽然基 于PID的控制算法对于线性系统的控制性能良好，但是对于复杂非线性系统和复杂信号追 踪具有很大的局限性，在对干扰的抑制方面鲁棒性不强，必须结合其他算法才能达到控制 要求。

钱勇等人[2](钱勇,满顺强.基于变结构控制减小扫描镜运动对卫星姿态的影响 分析[J].上海航天,2013,29(6):7-10)利用解耦变结构控制器对静止轨道卫星进行控制， 考虑了星上载荷的扫描镜和卫星本体间的耦合，对四元数四个分量分别设计滑动模态，避 免了奇异问题态的影响。由仿真结果可看出，采用变结构控制可以提高姿态角的跟踪精度 和稳定性，很大程度减小了扫描镜运动对卫星产生的干扰。但是由于变结构控制相当于起 到开关作用，控制不连续，很容易导致抖振，而抖振易激发系统的未建模特性，从而影响了 系统的控制性能。

朱亮等人[3](ShaoX,WangH.ANovelMethodofRobustTrajectory LinearizationControlBasedonDisturbanceRejection[J].MathematicalProblems inEngineering,2014,2014)利用轨迹线性化控制(TLC)方法和神经网络技术设计了直接 自适应TLC控制方案，通过仿真可以看出，通过神经网络的作用提高了系统的性能，弥补了 之前TLC的不足。但是很多基于轨迹线性化的控制算法未考虑外界干扰及自身参数不确定 性影响，导致系统的鲁棒性较差。

ZhengZhu等人[4](周军.航天器控制原理.西北工业大学出版社,2001)设计了扩 张状态观测器来实现对刚体航天器干扰的观测。由于星体存在燃料消耗，质量时变，星体的 转动惯量无法确定，同时，外部干扰不可忽略。ZhengZhu等人设计滑模控制器保证了参考 姿态状态的收敛性。从仿真结果可以看出，此控制方法具有良好的控制性能，姿态跟踪精度 较高。但是，该文献是针对刚体卫星进行设计，未考虑挠性部件的影响。

方案一：

文献[6](ZhuZ,XiaY,FuM,etal.Attitudetrackingofrigidspacecraft basedonextendedstateobserver[C].SystemsandControlinAeronauticsand Astronautics(ISSCAA),20103rdInternationalSymposiumon.IEEE,2010:621-626)提 出了一种基于扩张状态观测器的卫星姿态控制方法。首先用四元数建立卫星动力学方程， 基于该模型设计滑模控制算法。针对转动惯量不确定性和外部干扰设计状态观测器，将干 扰的估计值带入之前设计的控制律中，实现了对卫星的跟踪控制。方案具体内容如下：

(1)卫星动力学模型：

用四元数表示卫星动力学模型，减少了奇异点的影响。引入误差四元数，将控制目 标转换为在有限时间内误差四元数收敛到0。定义

x＝ω+Ke_v(71)

其中e_v代表误差四元数向量部分。通过式(71)，将控制目标变为在有限时间内使 变量x收敛到0。考虑到卫星转动惯量的不确定性，将转动惯量J表示为J＝J₀+△J，其中J₀表 示常量部分，△J表示不确定部分。采用等效误差的思想，将外部误差和转动惯量不确定部 分合并，用表示。则卫星动力学模型可以简化为

$\stackrel{·}{x}=F+B_{0}u+\tilde{d}---\left(72\right)$

(2)设计滑模控制律

选择滑模面S＝C₂x，其中，S＝[S₁,S₂,S₃]^T∈R³,C₂∈R^3×3。选择趋近律

$\stackrel{·}{S}=-\tau S-\sigma sgn\left(S\right)---\left(73\right)$

保证了滑模到达条件。由于

$\stackrel{·}{S}=C_2\stackrel{·}{x}=C_2(F+B_{0}u+\tilde{d})=-\tau S-\sigma \mathrm{sgn}\left(S\right)---\left(74\right)$

求得控制律

$u\left(t\right)={\left(C_2{B}_0\right)}^{-1}(-\tau S-\sigma \mathrm{sgn}(S)-C_{2}F-C_2\tilde{d})---\left(75\right)$

(3)设计观测器

由于等效干扰是未知的，所以需要观测器对其进行估计。引入新的变量x₂代表系 统总的干扰则式(37)可以写成如下形式：

$\begin{array}{c}\stackrel{·}{x}=F+B_{0}u+x_2\\ {\stackrel{·}{x}}_2=g\left(t\right)\end{array}---\left(76\right)$

其中g(t)代表总干扰的微分，仍然是未知的。二阶扩张状态观测器设计如下：

$\begin{array}{c}{E}_1=Z_1-x\\ {\stackrel{·}{Z}}_1=Z_2+F-{\beta }_{01}{E}_1+B_{0}u\\ {\stackrel{·}{Z}}_2=-{\beta }_{02}fal(E_1,{\alpha }_1,\delta )\end{array}---\left(77\right)$

式中E₁代表观测器的估计误差，Z₁和Z₂是观测器的输出向量，β₀₁和β₀₂是观测器的 增益，函数fal(·)定义如下

$fal(E_1,{\alpha }_1,\delta )=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{fal}}_1(E_1,{\alpha }_1,\delta )\\ {\mathrm{fal}}_2(E_1,{\alpha }_1,\delta )\\ {\mathrm{fal}}_3(E_1,{\alpha }_1,\delta )\end{array}\right)---\left(78\right)$

其中

${\mathrm{fal}}_i(E_1,{\alpha }_1,\delta )=\{\begin{array}{c}{\left|E_{1i}\right|}^{{\alpha }_1}\mathrm{sgn}\left(E_{1i}\right),\left|E_{1i}\right|>\delta \\ E_{1i}/{\delta }^{1-{\alpha }_1},otherwise\end{array}---\left(79\right)$

式中0<α₁<1,δ>0。

选取合适的参数，可以保证状态观测器的输出Z₁等于状态x，输出Z₂等于

因此，将控制律式(75)进一步完善得到

u_ESO(t)＝(C₂B₀)^-1(-τS-σsgn(S)-C₂F-C₂Z₂)(80)

系统在此控制律作用下有较强的抗干扰能力和鲁棒性，可以很好的实现姿态跟 踪。

方案的缺点描述如下：

根据系统的动力学模型可知，系统未考虑卫星帆板的挠性振动的影响，没有模态 方程，把卫星作为刚体进行控制律设计。但是实际卫星挠性部件对系统影响很大，破坏系统 的动态性能，甚至导致系统不稳定。

方案二：

文献[7](ZhiW,Bao-huaL.Compoundcontrolsystemdesignbasedon backsteppingtechniquesandneuralnetworkslidingmodeforflexible satellite[C].ComputerDesignandApplications(ICCDA),2010International Conferenceon.IEEE,2010,2:V2-418-V2-422)针对有挠性部件的航天器设计变结构控制 律，利用三级滑模控制，有效抑制了外部干扰，使航天器跟踪误差为0。同时，利用神经网络 对不确定性因素进行估计，很好地减弱了由于不连续控制产生的抖动。方案具体内容如下：

(1)卫星运动学和动力学建模

考虑卫星天线、太阳帆板等挠性附件，采用三正交飞轮作为执行元件，分别对卫星 整体、天线、太阳帆板动力学建模，同时考虑太阳帆板和天线的振动模态。为便于控制器设 计，将挠性附件的振动视为作用在卫星上的外部干扰，简化卫星动力学模型。

(2)滑模控制律设计

基于反步控制技术，采用三层滑模控制，反推出控制输入变量。

首先设计第一层滑模面，目标是快速准确地跟踪目标四元数，定义角速度虚拟控 制并给出其具体形式，构造第一层的V函数；然后设计第二层滑模面，目标是快速准确跟 踪定义力矩虚拟控制选择合适的指数趋近律，推导出的具体形式，构造第二层的V 函数；最后设计第三层滑模面，利用伺服系统的动力学模型来获得更高的控制精度。其跟踪 指令为控制输入为飞轮角速度ω_c，选择合适的指数趋近律，确定出ω_c的具体表达式。

通过分析可得，控制输入ω_c可以保证系统跟踪误差为0。

(3)控制律的完善

为了防止“微分爆炸”现象的发生，采用低通滤波器分别对和进行滤波。同时， 为了抑制由于参数不确定性引起的系统振动，采用RBF神经网络对不确定参数进行估计。

通过仿真结果可以看出，系统在较短时间内实现姿态的跟踪，在外界干扰和参数 扰动条件下跟踪精度依然很高。但是系统的控制器过于复杂，控制算法的实现只能在计算 速度足够快的计算机上完成，很难在工程上应用。除此之外，此方案未考虑航天器转动惯量 的不确定性，忽略了其对于控制精度的影响。

发明内容

本发明是为了解决目前挠性航天器的干扰抑制问题的研究中，单一的轨迹线性化 控制方法对干扰的抑制能力不强、鲁棒性较差，未考虑到外部干扰以及挠性附件影响的问 题，而提出的基于干扰观测器的挠性卫星轨迹线性化姿态控制方法。

一种基于干扰观测器的挠性卫星轨迹线性化姿态控制方法按以下步骤实现：

步骤一：挠性航天器动力学建模，得到模型为

$\begin{array}{c}J\stackrel{·}{\omega }+{\omega }^{\times }J\omega =T+\tilde{d}\\ \stackrel{··}{\eta }+C\stackrel{·}{\eta }+K\eta +{\delta }^T\stackrel{·}{\omega }=0\end{array}---\left(14\right)$

其中ω＝[ω_xω_yω_z]^T∈R³为航天器本体角速度，ω_x、ω_y、ω_z分别为航天器本体 系相对于惯性系角速度在本体坐标系滚动轴、俯仰轴和偏航轴方向投影；ω^×为 $\left(\begin{array}{ccc}0& -{\omega }_z& {\omega }_y\\ {\omega }_z& 0& -{\omega }_x\\ -{\omega }_y& {\omega }_x& 0\end{array}\right),$为航天器角加速度，T＝[T_xT_yT_z]^T∈R³为航天器滚动轴、俯仰轴 和偏航轴的控制力矩，T_x、T_y、T_z为滚动轴方向、俯仰轴方向和偏航轴方向控制力矩，J∈R^3×3为航天器的转动惯量，为航天器等效干扰，η∈Rⁿ代表挠性模态坐标，n代表模态阶数，δ∈ R^3×n代表挠性附件和航天器本体的耦合系数矩阵，C＝diag{2ξ_iΩ_i,i＝1,2,…n}, 分别代表挠性附件振动阻尼系数和频率系数矩阵，ξ_i,Ω_i分别表 示挠性附件的第i阶模态阻尼比和模态频率。

步骤二：利用步骤一得到的模型，进行航天器名义控制设计；

当被控对象的逆不可求时，通过求状态变量的伪逆，得到跟踪系统的名义控制；

对将等效干扰忽略，求得系统运动学和动力学模型相对于名义状态变量和的逆，得到

$\begin{array}{c}{\bar{T}}_x=(J_{yy}-J_{zz}){\bar{\omega }}_y{\bar{\omega }}_z+J_{xx}{\stackrel{·}{\stackrel{‾}{\omega }}}_x\\ {\bar{T}}_y=(J_{xx}-J_{zz}){\bar{\omega }}_x{\bar{\omega }}_z+J_{yy}{\stackrel{·}{\stackrel{‾}{\omega }}}_y\\ {\bar{T}}_z=(J_{yy}-J_{xx}){\bar{\omega }}_x{\bar{\omega }}_y+J_{zz}{\stackrel{·}{\stackrel{‾}{\omega }}}_z\end{array}---\left(16\right)$

其中所述为航天器本体坐标系相对于轨道坐标系的旋转角速度名义 值，为滚动轴方向、俯仰轴方向和偏航轴方向名义控制力矩，J_xx、J_yy、J_zz为航天 器沿滚动轴、俯仰轴和偏航轴的转动惯量；

公式(15)和式(16)可以精确表示出控制变量的逆；

步骤三：利用步骤二求得系统运动学和动力学模型相对于名义状态变量和 的逆，设计跟踪误差的线性时变调节器，求得状态反馈控制律u₁和u₂；

步骤四：根据步骤三得到的状态反馈控制律u₂，设计非线性干扰观测器，将观测器 的输出作为系统控制律的一部分；得到整个系统的控制律

发明效果：

本发明设计了针对挠性航天器的干扰抑制和姿态跟踪的控制算法。用欧拉角描述 航天器姿态，采用等效干扰的思想，建立挠性航天器动力学和运动学方程；忽略等效干扰的 情况下求被控对象的伪逆，设计特定形式的准微分器，得到期望轨迹的名义控制；用比例— 积分控制设计线性时变调节器。考虑等效干扰的影响，设计干扰观测器，保证挠性航天器的 跟踪误差渐近收敛。

与现有技术方案相比，本发明专利具有以下优点：

1、控制算法易于实现，有较强的工程实用性；

2、考虑了转动惯量的不确定性和挠性附件带来的影响，利用非线性干扰观测器抑 制了系统干扰；

3、利用轨迹线性化方法，其特有的伪逆不影响闭环系统的稳定性，适用于非最小 相位系统；

4、利用PD谱特征原理设计的线性时变调节器提高了系统的抗干扰能力，增强了系 统的鲁棒性；

5、采用非线性干扰观测器与轨迹线性化相结合的方法，缩短了系统到达期望姿态 的时间，同时也提高了跟踪精度；

6、控制力矩的稳态幅值和挠性帆板模态振动幅值相对较小。

附图说明

图1为轨迹线性化控制示意图，图中和y分别代表系统输出的期望值和实际值，η 代表线性时变反馈控制律，和u代表系统名义控制和总的控制律。

图2为基于非线性干扰观测器的TLC控制框图，图中r代表系统期望输出，y代表系 统实际输出；e代表系统期望输出和实际输出的误差；u代表线性时变反馈控制律；代表系 统名义控制；代表观测器对干扰的估计值；d代表系统总干扰。

图3为航天器在0～400s内期望和实际欧拉角曲线图；其中上图、中图和下图分别 代表航天器滚转角、俯仰角和偏航角在0～400s内期望值和实际值变化曲线图；图中代表航天器本体坐标系相对于轨道坐标系的欧拉角；代表航天器滚转角、 俯仰角和偏航角的期望值。

图4为航天器在0～10s内期望和实际欧拉角曲线图；其中上图、中图和下图分别代 表航天器滚转角、俯仰角和偏航角在0～10s内期望值和实际值变化曲线；图中代 表航天器本体坐标系相对于轨道坐标系的欧拉角；代表航天器滚转角、俯仰角 和偏航角的期望值。

图5为航天器0～400s内期望和实际角速度曲线图；其中上图、中图和下图分别代 表航天器滚转角速度、俯仰角速度和偏航角速度在0～400s内期望值和实际值变化曲线；图 中ω₁,ω₂,ω₃代表航天器滚转角速度、俯仰角速度和偏航角速度的实际值；ω_d1,ω_d2,ω_d3代表航天器滚转角速度、俯仰角速度和偏航角速度的期望值。

图6为航天器0～10s内期望和实际角速度曲线图；其中上图、中图和下图分别代表 航天器滚转角速度、俯仰角速度和偏航角速度在0～10s内期望值和实际值变化曲线；图中 ω₁,ω₂,ω₃代表航天器滚转角速度、俯仰角速度和偏航角速度的实际值；ω_d1,ω_d2,ω_d3代 表航天器滚转角速度、俯仰角速度和偏航角速度的期望值。

图7为航天器欧拉角误差曲线图；图中分别代表航天器滚转角、俯仰角和 偏航角的误差。

图8为航天器角速度误差曲线图；图中ω_e1,ω_e2,ω_e3分别代表航天器滚转角速度、 俯仰角速度和偏航角速度的误差。

图9为控制力矩曲线图；图中T_c1,T_c2,T_c3分别代表航天器滚动轴、俯仰轴和偏航轴 的控制力矩。

图10为航天器帆板模态振动曲线图；图中η₁,η₂,η₃,η₄代表四个模态坐标。

图11为系统实际和估计干扰曲线图；其中上图、中图和下图分别代表滚动轴、俯仰 轴和偏航轴上的实际干扰和估计干扰；图中d₁,d₂,d₃分别代表航天器滚动轴、俯仰轴和偏航 轴上的实际干扰；d₁',d₂',d₃'分别代表航天器滚动轴、俯仰轴和偏航轴上的估计干扰。

图12为航天器干扰估计误差曲线图；图中d_e1,d_e2,d_e3分别代表航天器滚动轴、俯仰 轴和偏航轴上的干扰估计误差。

具体实施方式

具体实施方式一：一种基于干扰观测器的挠性卫星轨迹线性化姿态控制方法包括 以下步骤：

本发明的关键步骤：

1、卫星姿态控制

卫星的姿态控制包括姿态确定、姿态稳定控制和姿态机动控制。姿态确定是研究 空间飞行器相对于某参考基准的方位或方向，进而获取姿态角参数，其精度取决于姿态敏 感器和姿态算法的精度。姿态稳定控制是使飞行器的姿态保持在预期制定方向和指定值 上。姿态机动控制是使飞行器从一个姿态过渡到另一个姿态的再定向过程。本发明专利主 要对挠性卫星受干扰情况下姿态跟踪控制进行深入研究。

姿态控制系统保证卫星以预定的姿态精度在轨道上运行。按姿态稳定方式分为两 种基本类型：被动稳定系统和主动稳定系统。这两种系统的结合又派生出半被动、半主动和 混合稳定系统三种类型。从控制观念上看，被动稳定系统属于开环控制系统，主动稳定系统 属于闭环负反馈控制系统。被动稳定系统是利用自然环境力矩或物理力矩源，如自旋、重力 梯度、地磁场、太阳辐射压力矩和气动力矩，来控制卫星的姿态。主动控制从控制原理上看 就是三自由度的姿态闭环控制系统，不依赖于地面指挥中心的干预，完全由飞行器所载设 备实现姿态控制的过程。按稳定方式主要分为自旋稳定和三轴稳定。本发明主要对三轴稳 定的情况进行研究。

2、轨迹线性化

轨迹线性化控制适用于解决非线性跟踪问题，其本质为解耦控制，将开环的非线 性动态逆和线性时变的反馈线性化控制相结合，保证了系统输出在名义轨迹上的指数稳定 性。轨迹线性化的设计思想是：首先利用非线性动态逆方法将轨迹跟踪问题转化为一个跟 踪误差调节问题，然后利用线性时变系统PD谱理论设计状态反馈控制律，使得系统跟踪误 差收敛到零。控制器结构图如图1所示。

考虑如下形式的多输入多输出非线性系统：

x∈Rⁿ，u∈R^m，y∈R^m,分别为系统的状态，输入和输出；f(x)，g(x)和h(x)为适当位 数的光滑有界函数。令分别表示系统标称的状态，输出和控制输入，则相应有：

$\{\begin{array}{c}\stackrel{·}{\stackrel{‾}{x}}=f\left(\bar{x}\right)+g\left(\bar{x}\right)\bar{u}\\ \bar{y}=h\left(\bar{x}\right)\end{array}---\left(1\right)$

定义如下的状态跟踪误差：

$e=x-\bar{x}---\left(2\right)$

并构造控制律为

$u=\bar{u}+\eta ---\left(3\right)$

其中，η即为所需设计的线性时变反馈控制率，在后面给出。则对应的非线性跟踪 误差动态系统为

$\stackrel{·}{e}=f\left(x\right)+g\left(x\right)u-f\left(\bar{x}\right)-g\left(\bar{x}\right)\bar{u}=f(\bar{x}+e)+g(\bar{x}+e)(\bar{u}+\eta )-f\left(\bar{x}\right)=F(\bar{x},\bar{u},e,\eta )---\left(4\right)$

此时，原非线性系统跟踪问题就转化为一个非线性调节问题，控制器包括两部分：

一个开环的被控对象的伪动态逆控制器，根据期望的系统输出值产生一个标称 的控制输入

一个闭环的线性时变反馈调节器η＝η(e)用以镇定系统，并使系统具有一定的响 应特性。

考虑到式(4)中的可视为系统的时变参数，因此式(4)可简记为

$\stackrel{·}{e}=F(t,e)---\left(5\right)$

考虑如下的线性时变系统:

$\stackrel{·}{e}=A\left(t\right)e+B\left(t\right)\eta ---\left(6\right)$

考虑如下的线性时变系统:

式中，$A\left(t\right)=(\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial x}u){|}_{\bar{x},\bar{u}},B\left(t\right)g{|}_{\bar{x},\bar{u}},$式(5)、(6)分别满足如下假设：

假设1：e＝0为式(5)的一个孤立平衡点，并且连续可微，Jacobian矩阵关于t一致有界，在D上满足Lipschitz条件。

假设2：式(6)中的A(t)，B(t)完全可控。

由假设2可设计线性时变反馈控制器：

η＝K(t)e(7)

使得线性时变系统(6)平衡点e＝0为指数稳定，并记

A_C＝A(t)+B(t)K(t)(8)

由文献[3](ShaoX,WangH.ANovelMethodofRobustTrajectory LinearizationControlBasedonDisturbanceRejection[J].MathematicalProblems inEngineering,2014,2014)可知，线性时变反馈控制律(7)可保证系统(4)在平衡点e＝0 指数稳定。

3、非线性干扰观测器

非线性干扰观测器是针对非线性系统模型中外部干扰，对其进行观测，并通过前 馈来抑制干扰的影响。

典型非线性系统描述如下：

$\{\begin{array}{c}\stackrel{·}{x}\left(t\right)=f\left(x\right(t\left)\right)+g_1\left(x\right(t\left)\right)u+g_2\left(x\left(t\right)\right)d\left(t\right)\\ y\left(t\right)=h\left(x\right(t\left)\right)\end{array}---\left(9\right)$

其中，x∈Rⁿ,u∈R,d∈R分别代表状态向量，系统输入和外界干扰。

为了估计和抑制外界干扰，需要设计干扰观测器。假设系统干扰来源于线性外源 系统

$\left(\begin{array}{c}\stackrel{·}{\xi }=A\xi \\ d=C\xi \end{array}\right)---\left(10\right)$

为了估计未知干扰d，设计观测器如下：

$\{\begin{array}{c}\stackrel{·}{z}=(A-l(x\left)g_2\right(x\left)C\right)z-l\left(x\right)\left(g_2\right(x\left)Cp\right(x)+f(x)+g_1(x\left)u\right)\\ \hat{\xi }=z+p\left(x\right)\\ \hat{d}=C\hat{\xi }\end{array}---\left(11\right)$

其中，z是观测器内部状态变量，p(x)是待设计的非线性向量函数，观测器增益 $l\left(x\right)=\frac{\partial p\left(x\right)}{\partial x}.$

根据文献[8](ChenWH.Disturbanceobserverbasedcontrolfornonlinear systems[J].Mechatronics,IEEE/ASMETransactionson,2004,9(4):706-710.)可知，观 测器的估计误差渐近收敛到0。

4、挠性航天器姿态模型

帆板作为航天器主要的挠性部件，其运动和航天器本体姿态运动相互耦合。挠性 附件的运动要用无限自由度的分布参数描述。

采用混合坐标法来描述带挠性附件航天器的运动，即中心刚体使用通常描述刚体 姿态的坐标(如欧拉角)，挠性附件使用离散的模态坐标描述。从而建立既能足够准确描述 航天器的运动，又便于航天器控制系统分析和设计的动力学模型。不考虑帆板相对于航天 器本体的转动，挠性航天器的动力学方程如下：

$\begin{array}{c}J\stackrel{·}{\omega }+{\omega }^{\times }(J\omega +\delta \stackrel{·}{\eta })+\delta \stackrel{··}{\eta }=T+d\\ \stackrel{··}{\eta }+C\stackrel{·}{\eta }+K\eta +{\delta }^T\stackrel{·}{\omega }=0\end{array}---\left(40\right)$

其中，ω＝[ω_xω_yω_z]^T∈R³为航天器本体角速度，T＝[T_xT_yT_z]^T∈R³为航天器 滚动轴、俯仰轴和偏航轴的控制力矩，d＝[d_xd_yd_z]^T∈R³为作用在航天器上的干扰力矩，J ∈R^3×3为航天器的转动惯量，其形式为，

$J=\left(\begin{array}{ccc}{J}_x& -J_{xy}& -J_{xz}\\ -J_{xy}& J_y& -J_{yz}\\ -J_{xz}& -J_{yz}& J_z\end{array}\right)---\left(41\right)$

η∈Rⁿ代表挠性模态坐标，n代表模态阶数，δ∈R^3×n代表挠性附件和航天器本体的 耦合系数矩阵，C＝diag{2ξ_iΩ_i,i＝1,2,…n},分别代表挠性附件 振动阻尼系数和频率系数矩阵，ξ_i,Ω_i分别表示挠性附件的第i阶模态阻尼比和模态频率。

为便于分析，采用等效干扰的思想，将刚柔耦合项和干扰d合并为视为系统 的总干扰，简化了系统模型，此时挠性航天器动力学模型为

$\begin{array}{c}J\stackrel{·}{\omega }+{\omega }^{\times }J\omega =T+\tilde{d}\\ \stackrel{··}{\eta }+C\stackrel{·}{\eta }+K\eta +{\delta }^T\stackrel{·}{\omega }=0\end{array}---\left(42\right)$

忽略转动惯量矩阵J∈R^3×3中的耦合项，也不必考虑帆板振动方程，系统运动学模 型和动力学模型如下所示：

$\begin{array}{c}{J}_{xx}{\stackrel{·}{\omega }}_x=(J_{zz}-J_{yy}){\omega }_y{\omega }_z+T_x+{\tilde{d}}_x\\ J_{yy}{\stackrel{·}{\omega }}_y=(J_{xx}-J_{xx}){\omega }_x{\omega }_z+T_y+{\tilde{d}}_y\\ J_{zz}{\stackrel{·}{\omega }}_z=(J_{yy}-J_{xx}){\omega }_x{\omega }_y+T_z+{\tilde{d}}_z\end{array}---\left(44\right)$

5、跟踪误差线性时变调节器的设计

调节器设计原则

跟踪误差线性时变调节器采用状态反馈PI控制方法，控制器增益设计方法如下：

(1)对外环欧拉角进行控制，定义新的状态变量和输入变量如下：

其中，θ_int＝∫θdt,ψ_int＝∫ψdt，得到新的非线性状态空间模型

其中

得到线性化跟踪系统

${\stackrel{·}{\gamma }}_{aug}=A_1{\gamma }_{aug}+B_1{u}_1---\left(47\right)$

其中

$A_{122}=\left(\begin{array}{ccc}0& ({\omega }_{x}cos\psi -{\omega }_{y}sin\psi )\sec \theta tan\theta & (-{\omega }_{x}sin\psi -{\omega }_{y}cos\psi )\sec \theta \\ 0& 0& {\omega }_{x}cos\psi -{\omega }_y\sin \psi \\ 0& ({\omega }_y\sin \psi -{\omega }_{x}cos\psi ){\sec }^2\theta & ({\omega }_y\cos \psi +{\omega }_x\sin \psi )\tan \theta \end{array}\right)---\left(49\right)$

$B_1=\frac{\partial f_1}{\partial u_1}{|}_{{\xi }_1,u_1}=\left(\begin{array}{c}{O}_{3\times 3}\\ \begin{array}{ccc}\cos \psi \sec \theta & -\sin \psi \sec \theta & 0\\ \sin \psi & \cos \psi & 0\\ -\cos \psi \tan \theta & \sin \psi \tan \theta & 1\end{array}\end{array}\right)---\left(50\right)$

(2)对于内环角速度控制利用同样的方法，定义新的状态变量和输入变量如下：

${\xi }_2=\left(\begin{array}{c}{\omega }_{x\mathrm{int}}\\ {\omega }_{y\mathrm{int}}\\ {\omega }_{z\mathrm{int}}\\ {\omega }_x\\ {\omega }_y\\ {\omega }_z\end{array}\right),u_2\left(\begin{array}{c}{T}_x\\ T_y\\ T_z\end{array}\right)---\left(51\right)$

其中，ω_xint＝∫ω_xdt,ω_yint＝∫ω_ydt,ω_zint＝∫ω_zdt，得到新的非线性状态空间模 型${\stackrel{·}{\xi }}_2=f_2({\xi }_2,u_2)$

$\begin{array}{c}{\stackrel{·}{\omega }}_{x\mathrm{int}}={\omega }_x\\ {\stackrel{·}{\omega }}_{y\mathrm{int}}={\omega }_y\\ {\stackrel{·}{\omega }}_{z\mathrm{int}}={\omega }_z\\ {\stackrel{·}{\omega }}_x=\frac{1}{J_{xx}}[(J_{zz}-J_{yy}){\omega }_y{\omega }_z+T_x]\\ {\stackrel{·}{\omega }}_y=\frac{1}{J_{yy}}[(J_{xx}-J_{zz}){\omega }_x{\omega }_z+T_y]\\ {\stackrel{·}{\omega }}_z=\frac{1}{J_{zz}}[(J_{yy}-J_{xx}){\omega }_x{\omega }_y+T_z]\end{array}---\left(52\right)$

得到线性化跟踪系统

${\stackrel{·}{\omega }}_{aug}=A_2{\omega }_{aug}+B_2{u}_2---\left(53\right)$

其中

${\omega }_{aug}=\left(\begin{array}{c}\int ({\omega }_x-{\bar{\omega }}_x)dt\\ \int ({\omega }_y-{\bar{\omega }}_y)dt\\ \int ({\omega }_z-{\bar{\omega }}_z)dt\\ {\omega }_x-{\bar{\omega }}_x\\ {\omega }_y-{\bar{\omega }}_y\\ {\omega }_z-{\bar{\omega }}_z\end{array}\right),A_2=\frac{\partial f_2}{\partial {\xi }_2}{|}_{{\xi }_2,u_2}=\left(\begin{array}{cc}{O}_{3\times 3}& I_{3\times 3}\\ O_{3\times 3}& I_{222}\end{array}\right)---\left(54\right)$

$B_2=\frac{\partial f_2}{\partial u_2}{|}_{{\xi }_2,u_2}=\left(\begin{array}{ccc}& O_{3\times 3}& \\ \frac{1}{J_{xx}}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{J_{yy}}& 0\\ 0& 0& \frac{1}{J_{zz}}\end{array}\right)---\left(55\right)$

其中

$A_{222}=\left(\begin{array}{ccc}0& \frac{1}{J_{xx}}\left[(J_{yy}-J_{zz}){\omega }_z\right]& \frac{1}{J_{xx}}\left[(J_{yy}-J_{zz}){\omega }_y\right]\\ \frac{1}{J_{yy}}\left[(J_{xx}-J_{zz}){\omega }_z\right]& 0& \frac{1}{J_{yy}}\left[(J_{xx}-J_{zz}){\omega }_x\right]\\ \frac{1}{J_{zz}}\left[(J_{yy}-J_{xx}){\omega }_y\right]& \frac{1}{J_{zz}}\left[(J_{yy}-J_{xx}){\omega }_x\right]& 0\end{array}\right)---\left(56\right)$

(3)设计状态反馈控制律，使欧拉角跟踪误差渐近稳定，控制输入u₁＝-K₁γ_aug，

根据设计要求确定闭环系统的期望阻尼和期望带宽ξ_1j,ω_n1j,j＝1,2,3，则闭环系 统的特征方程为

λ²+α_1j2λ+α_1j1＝0,j＝1,2,3(57)

其中α_1j2＝2·ξ_1j·ω_n1j,${\alpha }_{1j1}={\omega }_{n1j}^2,j=1,2,3;$

闭环系统矩阵

$A_{cl1}=\left(\begin{array}{cccccc}& O_{3\times 3}& & & I_{3\times 3}& \\ -{\alpha }_{111}& 0& 0& -{\alpha }_{112}& 0& 0\\ 0& -{\alpha }_{121}& 0& 0& -{\alpha }_{122}& 0\\ 0& 0& -{\alpha }_{131}& 0& 0& -{\alpha }_{132}\end{array}\right)---\left(58\right)$

欧拉角跟踪控制系统增益矩阵K₁满足

A_cl1＝A₁-B₁K₁(59)

K₁可由式(48)，(49)，(50)，(58)，(59)求得。

(4)同理，为实现对航天器姿态角速度控制，设计状态反馈控制律，u₂＝-K₂ω_aug，根 据设计要求确定闭环系统的期望阻尼和期望带宽ξ_1j,ω_n1j,j＝1,2,3，则闭环系统的特征方 程为

λ²+α_2j2λ+α_2j1＝0,j＝1,2,3(60)

其中，α_2j2＝2·ξ_2j·ω_n2j，${\alpha }_{2j1}={\omega }_{n2j}^2,j=1,2,3;$

闭环系统矩阵

$A_{cl2}=\left(\begin{array}{cccccc}& O_{3\times 3}& & & I_{3\times 3}& \\ -{\alpha }_{211}& 0& 0& -{\alpha }_{212}& 0& 0\\ 0& -{\alpha }_{221}& 0& 0& -{\alpha }_{222}& 0\\ 0& 0& -{\alpha }_{231}& 0& 0& -{\alpha }_{232}\end{array}\right)---\left(61\right)$

姿态角速度控制增益矩阵K₂满足

A_cl2＝A₂-B₂K₂(62)

由式(54)，(55)，(56)，(61)，(62)可求得控制增益矩阵K₂。

误差收敛性证明

定义跟踪误差系统${\stackrel{·}{e}}_i=F_i(t,e_i),i=1,2,$将其线性化得到${\stackrel{·}{e}}_i=A_i\left(t\right)e_i+B_i\left(t\right)u_i,i=1,2,$满足如下假设条件[4]：

假设1：e＝0是的孤立平衡点，F:[0,∞)×D_e→Rⁿ连续可微，D_e＝{e∈Rⁿ| ||e||<R_e}，Jacobian矩阵有界且在D_e上满足Lipschitz条件。

假设2：系统矩阵对(A_i(t),B_i(t))一致完全可控。

由以上假设条件，当系统等效误差时，设计线性时变的状态反馈控制律u_i＝ K_i(t)e_i,(e_i＝γ_aug,ω_aug)，根据文献[3]可知，系统的解在原点指数稳定。

为了简化设计，令A_cli＝A_i+B_iK_i，A_cli是Hurwitz矩阵，其参数可由PD特征谱原理选 取。

6、非线性干扰观测器设计

观测器设计原理

考虑等效干扰对系统的影响，挠性航天器的动力学方程形式如下：

$\stackrel{·}{\omega }=f_2\left(\omega \right)+g_2{u}_2+g_2\tilde{d}---\left(63\right)$

其中，f₂(ω)＝J^-1·(-ω^×Jω),g₂＝J^-1。针对未知干扰设计如下的非线性干扰观 测器：

$\begin{array}{c}\hat{d}=z+p\left(\omega \right)\\ \stackrel{·}{z}=-l\left(\omega \right)g_2\left(\omega \right)z-l\left(\omega \right)[g_2\left(\omega \right)p\left(\omega \right)+f_2\left(\omega \right)+g_2\left(\omega \right)u_2]\end{array}---\left(64\right)$

其中，代表对未知等效干扰的估计，z是非线性观测器的内部状态变量，p(ω)是 待设计的非线性向量函数，观测器的增益定义为

$l\left(\omega \right)=\frac{\partial p\left(\omega \right)}{\partial \omega }---\left(65\right)$

估计误差收敛性证明

为简单起见，假设等效干扰是慢时变的，即

令估计误差

$e_d\left(t\right)=\tilde{d}-\hat{d}---\left(66\right)$

则

${\stackrel{·}{e}}_d\left(t\right)=-\stackrel{·}{\hat{d}}---\left(67\right)$

将式(64)代入中，得到

${\stackrel{·}{e}}_d\left(t\right)=-\stackrel{·}{\hat{d}}=-l\left(\omega \right)[g_2\left(\omega \right)\hat{d}+f_2\left(\omega \right)+g_2\left(\omega \right)u_2]+\stackrel{·}{p}\left(\omega \right)---\left(68\right)$

由于

$\stackrel{·}{p}\left(\omega \right)=\frac{\partial p\left(\omega \right)}{\partial \omega }\stackrel{·}{\omega }=l\left(\omega \right)\stackrel{·}{\omega }---\left(69\right)$

将式(63)，(69)代入式(68)中，得到

${\stackrel{·}{e}}_d\left(t\right)+\frac{\partial p\left(\omega \right)}{\partial \omega }{g}_2\left(\omega \right)e_d\left(t\right)=0---\left(70\right)$

设计p(ω)，使得式(70)全局稳定。则估计误差趋近于0。

为了抑制航天器跟踪过程中干扰问题，本发明专利采用非线性干扰观测器和轨迹 线性化控制相结合的方法，利用轨迹线性化适合解决非线性跟踪问题的优点，结合非线性 干扰观测器进行干扰抑制，提高了系统的鲁棒性。主要思想是在给定挠性航天器转动惯量、 挠性帆板模态阻尼矩阵、挠性帆板耦合系数、初始姿态和目标姿态的前提下，忽略转动惯量 中的耦合项，采用等效干扰思想，先将等效误差忽略，求得航天器名义控制，然后根据PD特 征谱原理确定线性时变调节器参数，解耦非线性系统，使得系统跟踪误差渐近收敛。最后考 虑等效干扰，设计非线性干扰观测器对干扰进行补偿。系统控制结构图如图2所示，控制律 由三部分组成：

$u=\bar{u}+u_{st}-u_0---\left(12\right)$

其中分别表示名义控制，时变反馈控制和干扰补偿控制。

步骤一：挠性航天器动力学建模，得到模型为

$\begin{array}{c}J\stackrel{·}{\omega }+{\omega }^{\times }J\omega =T+\tilde{d}\\ \stackrel{··}{\eta }+C\stackrel{·}{\eta }+K\eta +{\delta }^T\stackrel{·}{\omega }=0\end{array}---\left(14\right)$

其中ω＝[ω_xω_yω_z]^T∈R³为航天器本体角速度，ω_x、ω_y、ω_z分别为航天器本体 系相对于惯性系角速度在本体坐标系滚动轴、俯仰轴和偏航轴方向投影；ω^×为 $\left(\begin{array}{ccc}0& -{\omega }_z& {\omega }_y\\ {\omega }_z& 0& -{\omega }_x\\ -{\omega }_y& {\omega }_x& 0\end{array}\right),$为航天器角加速度，T＝[T_xT_yT_z]^T∈R³为航天器滚动轴、俯仰轴 和偏航轴的控制力矩，T_x、T_y、T_z为滚动轴方向、俯仰轴方向和偏航轴方向控制力矩，J∈R^3×3为航天器的转动惯量，为航天器等效干扰，η∈Rⁿ代表挠性模态坐标，n代表模态阶数，δ∈ R^3×n代表挠性附件和航天器本体的耦合系数矩阵，C＝diag{2ξ_iΩ_i,i＝1,2,…n}, 分别代表挠性附件振动阻尼系数和频率系数矩阵，ξ_i,Ω_i分别表 示挠性附件的第i阶模态阻尼比和模态频率。

步骤二：利用步骤一得到的模型，进行航天器名义控制设计；

当被控对象的逆不可求时，通过求状态变量的伪逆，得到跟踪系统的名义控制；

对将等效干扰忽略，求得系统运动学和动力学模型相对于名义状态变量和的逆，得到

$\begin{array}{c}{\bar{T}}_x=(J_{yy}-J_{zz}){\bar{\omega }}_y{\bar{\omega }}_z+J_{xx}{\stackrel{·}{\stackrel{‾}{\omega }}}_x\\ {\bar{T}}_y=(J_{xx}-J_{zz}){\bar{\omega }}_x{\bar{\omega }}_z+J_{yy}{\stackrel{·}{\stackrel{‾}{\omega }}}_y\\ {\bar{T}}_z=(J_{yy}-J_{xx}){\bar{\omega }}_x{\bar{\omega }}_y+J_{zz}{\stackrel{·}{\stackrel{‾}{\omega }}}_z\end{array}---\left(16\right)$

其中所述为航天器本体坐标系相对于轨道坐标系的旋转角速度名义 值，为滚动轴方向、俯仰轴方向和偏航轴方向名义控制力矩，J_xx、J_yy、J_zz为航天 器沿滚动轴、俯仰轴和偏航轴的转动惯量；

公式(15)和式(16)可以精确表示出控制变量的逆；

步骤三：利用步骤二求得系统运动学和动力学模型相对于名义状态变量和 的逆，设计跟踪误差的线性时变调节器，求得状态反馈控制律u₁和u₂；

步骤四：根据步骤三得到的状态反馈控制律u₂，设计非线性干扰观测器，将观测器 的输出作为系统控制律的一部分；得到整个系统的控制律

ω_x，ω_y，ω_z——航天器本体系相对于惯性系角速度在本体坐标系滚动轴、俯仰轴 和偏航轴方向投影；

ω^×——定义为$\left(\begin{array}{ccc}0& -{\omega }_z& {\omega }_y\\ {\omega }_z& 0& -{\omega }_x\\ -{\omega }_y& {\omega }_x& 0\end{array}\right);$

——航天器本体系相对于惯性系角加速度在本体坐标系滚动轴、俯 仰轴和偏航轴方向投影；

——航天器本体系相对于惯性系角速度在本体坐标系滚动轴、俯 仰轴和偏航轴方向投影的名义状态变量；

——航天器本体系相对于惯性系角加速度在本体坐标系滚动轴、俯 仰轴和偏航轴方向投影的名义状态变量；

——航天器本体坐标系相对于轨道坐标系的欧拉角；

——航天器本体坐标系相对于轨道坐标系的旋转角速度名义值；

T_x，T_y，T_z——滚动轴方向、俯仰轴方向和偏航轴方向控制力矩；

——滚动轴方向、俯仰轴方向和偏航轴方向名义控制力矩；

d_x，d_y，d_z——滚动轴方向、俯仰轴方向和偏航轴方向干扰力矩；

η∈Rⁿ——挠性模态坐标，n为模态阶数；

J_x(J_xx)，J_y(J_yy)，J_z(J_zz)——航天器沿滚动轴、俯仰轴和偏航轴的转动惯量；

δ∈R^3×n——挠性附件和航天器本体的耦合系数矩阵；

ξ_i——挠性附件的第i阶模态阻尼比；

Ω_i——模态频率；

ω_n,diff——衰减高频增益的低通滤波器的带宽；

——欧拉角积分变量；

ξ_1j——外环闭环系统的期望阻尼；

ω_n1j——外环闭环系统的带宽系数；

e_i——跟踪误差；

——未知等效干扰的估计；

z——非线性观测器的内部状态变量；

p(ω)——待设计的非线性向量函数；

l(ω)——观测器的增益。

d＝[d_xd_yd_z]^T∈R³为作用在航天器上的干扰力矩；

——名义控制输入，反馈控制输入和观测器干扰补偿。

具体实施方式二：本实施方式与具体实施方式一不同的是：所述步骤一中挠性航 天器动力学建模的具体过程为：

采用混合坐标法来描述带挠性附件航天器的运动，即中心刚体使用通常描述刚体 姿态的坐标(如欧拉角)，挠性附件使用离散的模态坐标描述。从而建立既能足够准确描述 航天器的运动，又便于航天器控制系统分析和设计的动力学模型。

不考虑帆板相对于航天器本体的转动，挠性航天器的动力学方程如下：

$\begin{array}{c}J\stackrel{·}{\omega }+{\omega }^{\times }(J\omega +\delta \stackrel{·}{\eta })+\delta \stackrel{··}{\eta }=T+d\\ \stackrel{··}{\eta }+C\stackrel{·}{\eta }+K\eta +{\delta }^T\stackrel{·}{\omega }=0\end{array}---\left(13\right)$

为便于分析，采用等效干扰的思想，将刚柔耦合项和干扰d合并为视为系统 的总干扰，简化了系统模型，此时挠性航天器动力学模型为

$\begin{array}{c}J\stackrel{·}{\omega }+{\omega }^{\times }J\omega =T+\tilde{d}\\ \stackrel{··}{\eta }+C\stackrel{·}{\eta }+K\eta +{\delta }^T\stackrel{·}{\omega }=0\end{array}---\left(14\right)$

具体实施方式三：本实施方式与具体实施方式一或二不同的是：所述步骤二中名 义控制中出现控制变量的微分形式，需要准微分器以得到名义状态的导数，本发明采用一 阶准微分器，形式为：

$G_{diff}\left(s\right)=\frac{s}{(\frac{1}{{\omega }_{n,diff}}s+1)}---\left(17\right)$

其中s为拉普拉斯算子，ω_n,diff为低通滤波器的带宽，决定了微分器抑制高频分量 的能力。

具体实施方式四：本实施方式与具体实施方式一至三之一不同的是：所述步骤三 中设计跟踪误差的线性时变调节器，求得状态反馈控制律u₁和u₂的具体过程为：

步骤一：新的非线性状态空间模型和线性化跟踪系统的获得；

对外环欧拉角进行控制，定义新的状态变量和输入变量如下：

其中θ_int＝∫θdt,ψ_int＝∫ψdt，得到新的非线性状态空间模型

其中

得到线性化跟踪系统为：

${\stackrel{·}{\gamma }}_{aug}=A_1{\gamma }_{aug}+B_1{u}_1---\left(20\right)$

其中

$A_{122}=\left(\begin{array}{ccc}0& ({\omega }_{x}cos\psi -{\omega }_{y}sin\psi )\sec \theta tan\theta & (-{\omega }_{x}sin\psi -{\omega }_{y}cos\psi )\sec \theta \\ 0& 0& {\omega }_{x}cos\psi -{\omega }_y\sin \psi \\ 0& ({\omega }_y\sin \psi -{\omega }_{x}cos\psi ){\sec }^2\theta & ({\omega }_y\cos \psi +{\omega }_x\sin \psi )\tan \theta \end{array}\right)---\left(22\right)$

$B_1=\frac{\partial f_1}{\partial u_1}{|}_{{\xi }_1,u_1}=\left(\begin{array}{c}{O}_{3\times 3}\\ \begin{array}{ccc}\cos \psi \sec \theta & -\sin \psi \sec \theta & 0\\ \sin \psi & \cos \psi & 0\\ -\cos \psi \tan \theta & \sin \psi \tan \theta & 1\end{array}\end{array}\right)---\left(23\right)$

步骤二：新的非线性状态空间模型和线性化跟踪系统的获得：

对于内环角速度控制利用同样的方法，定义新的状态变量和输入变量如下：

${\xi }_2=\left(\begin{array}{c}{\omega }_{x\mathrm{int}}\\ {\omega }_{y\mathrm{int}}\\ {\omega }_{z\mathrm{int}}\\ {\omega }_x\\ {\omega }_y\\ {\omega }_z\end{array}\right),u_2\left(\begin{array}{c}{T}_x\\ T_y\\ T_z\end{array}\right)---\left(24\right)$

其中，ω_xint＝∫ω_xdt,ω_yint＝∫ω_ydt,ω_zint＝∫ω_zdt，得到新的非线性状态空间模 型${\stackrel{·}{\xi }}_2=f_2({\xi }_2,u_2);$

$\begin{array}{c}{\stackrel{·}{\omega }}_{x\mathrm{int}}={\omega }_x\\ {\stackrel{·}{\omega }}_{y\mathrm{int}}={\omega }_y\\ {\stackrel{·}{\omega }}_{z\mathrm{int}}={\omega }_z\\ {\stackrel{·}{\omega }}_x=\frac{1}{J_{xx}}[(J_{zz}-J_{yy}){\omega }_y{\omega }_z+T_x]\\ {\stackrel{·}{\omega }}_y=\frac{1}{J_{yy}}[(J_{xx}-J_{zz}){\omega }_x{\omega }_z+T_y]\\ {\stackrel{·}{\omega }}_z=\frac{1}{J_{zz}}[(J_{yy}-J_{xx}){\omega }_x{\omega }_y+T_z]\end{array}---\left(25\right)$

得到线性化跟踪系统为：

${\stackrel{·}{\omega }}_{aug}=A_2{\omega }_{aug}+B_2{u}_2---\left(26\right)$

其中

${\omega }_{aug}=\left(\begin{array}{c}\int ({\omega }_x-{\bar{\omega }}_x)dt\\ \int ({\omega }_y-{\bar{\omega }}_y)dt\\ \int ({\omega }_z-{\bar{\omega }}_z)dt\\ {\omega }_x-{\bar{\omega }}_x\\ {\omega }_y-{\bar{\omega }}_y\\ {\omega }_z-{\bar{\omega }}_z\end{array}\right),A_2=\frac{\partial f_2}{\partial {\xi }_2}{|}_{{\xi }_2,u_2}=\left(\begin{array}{cc}{O}_{3\times 3}& I_{3\times 3}\\ O_{3\times 3}& I_{222}\end{array}\right)---\left(27\right)$

$B_2=\frac{\partial f_2}{\partial u_2}{|}_{{\xi }_2,u_2}=\left(\begin{array}{ccc}& O_{3\times 3}& \\ \frac{1}{J_{xx}}& 0& 0\\ 0& \frac{1}{J_{yy}}& 0\\ 0& 0& \frac{1}{J_{zz}}\end{array}\right)---\left(28\right)$

其中

$A_{222}=\left(\begin{array}{ccc}0& \frac{1}{J_{xx}}\left[(J_{yy}-J_{zz}){\omega }_z\right]& \frac{1}{J_{xx}}\left[(J_{yy}-J_{zz}){\omega }_y\right]\\ \frac{1}{J_{yy}}\left[(J_{xx}-J_{zz}){\omega }_z\right]& 0& \frac{1}{J_{yy}}\left[(J_{xx}-J_{zz}){\omega }_x\right]\\ \frac{1}{J_{zz}}\left[(J_{yy}-J_{xx}){\omega }_y\right]& \frac{1}{J_{zz}}\left[(J_{yy}-J_{xx}){\omega }_x\right]& 0\end{array}\right)---\left(29\right)$

步骤三：状态反馈控制律u₁的获得；

设计状态反馈控制律，控制输入u₁＝-K₁γ_aug，

根据设计要求确定闭环系统的期望阻尼和期望带宽ξ_1j,ω_n1j,j＝1,2,3，则闭环系 统的特征方程为：

λ²+α_1j2λ+α_1j1＝0,j＝1,2,3(30)

其中α_1j2＝2·ξ_1j·ω_n1j,${\alpha }_{1j1}={\omega }_{n1j}^2,j=1,2,3;$

闭环系统矩阵

$A_{cl1}=\left(\begin{array}{cccccc}& O_{3\times 3}& & & I_{3\times 3}& \\ -{\alpha }_{111}& 0& 0& -{\alpha }_{112}& 0& 0\\ 0& -{\alpha }_{121}& 0& 0& -{\alpha }_{122}& 0\\ 0& 0& -{\alpha }_{131}& 0& 0& -{\alpha }_{132}\end{array}\right)---\left(31\right)$

欧拉角跟踪控制系统增益矩阵K₁满足

A_cl1＝A₁-B₁K₁(32)

K₁可由式(21)，(22)，(23)，(31)，(32)求得；

由于u₁＝-K₁γ_aug，由K₁和γ_aug可求得u₁；

步骤四：状态反馈控制律u₂的获得；

设计状态反馈控制律，控制输入u₂＝-K₂ω_aug，根据设计要求确定闭环系统的期望 阻尼和期望带宽ξ_1j,ω_n1j,j＝1,2,3，则闭环系统的特征方程为：

λ²+α_2j2λ+α_2j1＝0,j＝1,2,3(33)

其中，α_2j2＝2·ξ_2j·ω_n2j,${\alpha }_{2j1}={\omega }_{n2j}^2,j=1,2,3;$

闭环系统矩阵为：

$A_{cl2}=\left(\begin{array}{cccccc}& O_{3\times 3}& & & I_{3\times 3}& \\ -{\alpha }_{211}& 0& 0& -{\alpha }_{212}& 0& 0\\ 0& -{\alpha }_{221}& 0& 0& -{\alpha }_{222}& 0\\ 0& 0& -{\alpha }_{231}& 0& 0& -{\alpha }_{232}\end{array}\right)---\left(34\right)$

姿态角速度控制增益矩阵K₂满足

A_cl2＝A₂-B₂K₂(35)

由式(26)，(27)，(28)，(34)，(35)可求得控制增益矩阵K₂；

由于u₂＝-K₂ω_aug，由K₂和ω_aug可求得u₂。

具体实施方式五：本实施方式与具体实施方式一至四之一不同的是：所述步骤四 中设计非线性干扰观测器的具体过程为：

考虑等效干扰对系统的影响，挠性航天器的动力学方程形式如下：

$\stackrel{·}{\omega }=f_2\left(\omega \right)+g_2{u}_2+g_2\tilde{d}---\left(36\right)$

其中，f₂(ω)＝J^-1·(-ω^×Jω),g₂＝J^-1；

针对未知干扰设计非线性干扰观测器为：

$\begin{array}{c}\hat{d}=z+p\left(\omega \right)\\ \stackrel{·}{z}=-l\left(\omega \right)g_2\left(\omega \right)z-l\left(\omega \right)[g_2\left(\omega \right)p\left(\omega \right)f_2\left(\omega \right)+g_2\left(\omega \right)u_2]\end{array}---\left(37\right)$

其中所述代表对未知等效干扰的估计，z是非线性观测器的内部状态变量，p(ω) 是待设计的非线性向量函数，观测器的增益定义为：

$l\left(\omega \right)=\frac{\partial p\left(\omega \right)}{\partial \omega }---\left(38\right)$

假设等效干扰是慢时变的，即

定义估计误差当假设时，如果p(ω)的选取满足式(39)是全局 稳定的，则e_d(t)趋近于0；待设计的非线性向量函数p(ω)满足上述条件；

${\stackrel{·}{e}}_d\left(t\right)+\frac{\partial p\left(\omega \right)}{\partial \omega }{g}_2\left(\omega \right)e_d\left(t\right)=0---\left(39\right)$

将观测器的输出作为系统控制律的一部分，用于补偿外界干扰。由文献[9] (朱亮.基于非线性干扰观测器的空天飞行器轨迹线性化控制.[J].南京航空航天大学学 报.2007,39(4):492-494)可知，用观测器的输出来补偿外界干扰可以避免干扰对系统的影 响。

综上，整个系统的控制律根据文献[9]可知，复合闭环系统误差动 态特性局部指数稳定。

实施例一：

1、仿真参数：

本发明专利采用如下仿真参数；

航天器转动惯量:$J=\left(\begin{array}{ccc}350& 0& 0\\ 0& 280& 0\\ 0& 0& 190\end{array}\right)(kg·m^2)$

跟踪目标的角速度为：$\bar{\omega }=\left(\begin{array}{c}0.05sin(\pi t/100)\\ 0.05\sin (2\pi t/100)\\ 0.05\sin (3\pi t/100)\end{array}\right)(rad/s)$

外部干扰为：$d\left(t\right)=\left(\begin{array}{c}4-5sin(2\pi t/600)\\ 4+5\sin (2\pi t/600)\\ 4-5sin(2\pi t/600)\end{array}\right)\times {10}^{-3}(N·m)$

挠性太阳帆板模态频率矩阵：Ω＝diag(0.7681；1.1038；1.8733；2.5490)×2π (rad/s)

挠性太阳帆板模态阻尼矩阵：ξ＝diag(0.056；0.0086；0.013；0.025)

挠性太阳帆板耦合系数：$\delta =\left(\begin{array}{cccc}6.4564& -1.2562& 1.1169& 1.2364\\ 1.2781& 0.9176& 2.4890& -2.6581\\ 2.1563& -1.6726& -0.8376& -1.1250\end{array}\right)$

航天器初始姿态为：θ＝0.1°,ψ＝0.1°，

2、控制器参数：

设计名义控制时，用到了准微分器来估计名义状态的导数，内环和外环一阶准微 分调节器参数，即低通滤波器的带宽分别为：ω_{n,diff_i}＝15(rad/s),ω_{n,diff_o}＝5(rad/s)， 有效衰减了高频增益。

系统的阻尼频率决定了系统的调节时间和超调量，进而决定了系统平稳性。本专 利中内环和外环期望阻尼设计为：ξ_1j＝0.707,ξ_2j＝0.707,j＝1,2,3

系统的带宽同样影响了闭环系统的动态性能，本专利中内环和外环期望带宽设计 为：

ω_n11＝0.01(rad/s),ω_n12＝0.01(rad/s),ω_n13＝0.01(rad/s)

ω_n21＝1(rad/s),ω_n22＝1(rad/s),ω_n23＝0.5(rad/s)

观测器的增益矩阵可以配置系统的闭环极点，调节稳态性能，本专利中非线性干 扰观测器增益为：l＝[101010]^T。

3、仿真分析

本发明专利控制目标是使挠性航天器无误差跟踪期望姿态。考虑到实际情况，执 行机构的执行能力有限，所以仿真中对控制力矩进行幅值限制，使其不超过2(N.m)。仿真结 果如图3～10所示：

从仿真结果可以看出，航天器达到预期姿态的时间为4s，欧拉角稳态误差幅值为5 ×10^-5rad，角速度稳态误差为2×10^-4rad/s，控制力矩稳态幅值为0.1Nm，挠性模态振动最 大幅值为0.018。

综上，只要合理选择误差调节器参数和观测器的增益，基于非线性干扰观测器的 轨迹线性化控制就可以实现航天器姿态跟踪，精度较高，挠性帆板模态振动幅值较小。此 外，利用非线性干扰观测器对不确定性干扰进行了估计和抑制，取得了较理想的效果。