基于变量相关的导弹与发动机一体化多学科设计优化方法

摘要

本发明公开了一种基于变量相关的导弹与发动机一体化多学科设计优化方法；其包括根据变量区间构建变量相关性的量化超椭球模型，利用协同优化方法建立导弹与发动机一体化多学科协同优化模型，构建变量相关条件下导弹与发动机一体化多学科设计优化模型并求解。本发明将超椭球模型与区间理论结合，解决了因人为割裂变量之间的相关性从而导致的设计结果不准确的问题，从而更能满足产品的实际设计需求。

说明书

技术领域

本发明属于机械产品多学科设计优化技术领域，尤其涉及一种基于变量相关的导弹与 发动机一体化多学科设计优化方法。

背景技术

导弹武器系统总体设计是多学科高度综合的大型系统工程，其内容涉及面广，计算量 大，研制周期长，是一个多次反复、比较和综合的过程。

随着现代优化算法、分布式网络计算技术、并行工程理论的发展，各学科分析理论不 断完善，九十年代以来在国外迅速发展了多学科优化技术。多学科设计优化 (MultidisciplinaryDesignOptimization，简称MDO)是当前国际上飞行器设计方法的一个最 新、最活跃的领域。多学科设计优化是一种充分探索和利用工程系统中的相互作用的协同 机制来设计复杂系统和子系统的方法，其基本指导思想是利用合适的优化策略组织和管理 优化设计过程，通过分解、协调等手段将复杂系统分解为与现有工程设计组织形式相一致 的若干子系统，对复杂系统进行综合设计，以达到缩短设计周期、降低开发成本、提高产 品竞争力的目的。

传统的MDO是“确定的”MDO，即载荷、设计变量和参数、目标函数、约束条件和 仿真模型等均为确定性的。然而在实际工程中，不确定性因素广泛存在于复杂耦合系统的 整个生命周期中，如载荷、材料属性、零件的几何尺寸和操作条件的变化，以及建立数学 模型时所作假设带来的不确定性等等

当上述不确定性因素中部分变量存在相关性或者某种制约关系时，则必须考虑到变量 的相关性对优化结果产生的影响。目前考虑变量相关性的MDO的研究工作刚刚起步。

在传统的机械设计中，往往假设各参数变量之间是独立的，但是很多不是独立的，例 如轴系零件设计变量的载荷、强度等因素之间存在程度不同的相关性，在考虑构件自重时， 构件的应力与强度也存在相关性，特别是在结构系统中，如果考虑自重，其许用载荷必然 与构件的尺寸参数有联系，而构件所受的载荷也必然与构件的尺寸参数有联系，因尺寸参 数也是一个随机的变量，因此在这些情况下应力和强度的随机变量的分布是非独立的，是 相关的。所以割裂变量之间的相关性，将会导致设计结果的不准确。

发明内容

本发明的发明目的是：为了解决现有技术因忽略工程实际中变量相关的客观存在而导 致的设计结果不准确等问题，本发明提出了一种基于变量相关的导弹与发动机一体化多学 科设计优化方法。

本发明的技术方案是：一种基于变量相关的导弹与发动机一体化多学科设计优化方法， 包括以下步骤：

A、根据变量区间构建变量相关性的量化超椭球模型；

B、利用协同优化方法建立导弹与发动机一体化多学科协同优化模型；

C、结合步骤A中构建的量化超椭球模型和步骤B中建立的导弹与发动机一体化多学 科协同优化模型，构建变量相关条件下导弹与发动机一体化多学科设计优化模型，得到导 弹与发动机一体化多学科设计优化结果。

进一步地，所述步骤A根据变量区间构建变量相关性的量化超椭球模型，具体包括以 下分步骤：

A1、根据随机变量在区间内的上下界，计算随机变量的均值和方差；

A2、根据步骤A1中得到的随机变量的均值和方差及各随机变量之间的相关系数矩阵， 计算随机变量的协方差矩阵；

A3、根据步骤A2中得到的随机变量的协方差矩阵构建变量相关性的量化超椭球模型。

进一步地，所述步骤A1根据随机变量在区间内的上下界计算随机变量的均值和方差具 体为：设n个随机变量分别为x₁,x₂,…x_n，将n个随机变量用向量表示为X＝(x₁,x₂,…x_n)^T， X的上下界分别为随机变量的均值的计算公式为：

$X^m={({\bar{x}}_1,{\bar{x}}_2,...,{\bar{x}}_n)}^T={(\frac{x_1^u+x_1^l}{2},\frac{x_2^u+x_2^l}{2},...,\frac{x_n^u+x_n^l}{2})}^T$

随机变量的方差的计算公式为：

$D=D(x_1,x_2,...,x_n)=\left(\frac{{(x_1^u-x_1^l)}^2}{12},\frac{{(x_2^u-x_2^l)}^2}{12},...\frac{{(x_n^u-x_n^l)}^2}{12}\right)$

其中，X^m为随机变量的均值，D为随机变量的方差。

进一步地，所述步骤A2中计算随机变量的协方差矩阵具体为：先计算两个随机变量之 间的协方差，再计算所有随机变量相关的协方差矩阵。

进一步地，所述计算两个随机变量之间的协方差的计算公式具体为：

$Cov(x_i,x_j)={\rho }_{x_i{x}_j}\sqrt{D\left(x_i\right)}\sqrt{D\left(x_j\right)}$

其中，为变量x_i和x_j的相关系数，D(x_i)为x_i的方差，Cov(x_i,x_j)为随机变量x_i和x_j之间的协方差。

进一步地，所述计算所有随机变量相关的协方差矩阵的计算公式具体为：

其中，C为所有随机变量相关的协方差矩阵。

进一步地，所述变量相关性的量化超椭球模型具体为：

其中，g为变量相关性的量化超椭球模型，ε为实常数。

进一步地，所述步骤B利用协同优化方法建立导弹与发动机一体化多学科协同优化模 型具体为：将导弹与发动机一体化设计分解为n个子学科，其系统级优化目标函数的数学 模型具体为：

minF(z)

$s.t.J_i^{*}\left(z\right)=\underset{j=1}{\overset{s_i}{\Sigma }}{(z_j-{x_{ij}}^{*})}^2=0,i=1,2,...,n$

其中，F(z)为系统级优化目标函数，为系统级一致性等式约束，z为系统级优化设 计变量，z_j表示第j个系统级设计变量，s_i为学科i的设计变量函数，x_ij^*表示学科i的第j个 设计变量的优化结果，n表示子学科数；

其学科级优化目标函数的数学模型表示形式为：

${\mathrm{minJ}}_i\left(x_i\right)=\underset{j=1}{\overset{s_i}{\Sigma }}{(x_{ij}-{z_j}^{*})}^2$

s.t.c_i(x_i)≤0

其中x_i为子学科i的设计变量，x_ij表示子学科i的第j个设计变量，z_j^*表示系统级分配 给子学科i的第j个设计变量期望值，c_i(x_i)为学科级约束。

进一步地，所述步骤C结合量化超椭球模型和导弹与发动机一体化多学科协同优化模 型，构建变量相关条件下导弹与发动机一体化多学科设计优化模型，得到导弹与发动机一 体化多学科设计优化结果，具体为：将步骤A中构建的量化超椭球模型作为约束条件添加 到步骤B建立的导弹与发动机一体化多学科协同优化模型的子学科中，通过子学科和系统 级的协调求解变量相关条件下的最优解，即得到导弹与发动机一体化多学科设计优化结果。

本发明的有益效果是：本发明的基于变量相关的导弹与发动机一体化多学科设计优化 方法将超椭球模型与区间理论结合，建立变量相关性的量化模型，再利用协同优化方法建 立导弹与发动机一体化多学科协同优化模型，最后将变量相关性的量化超椭球模型和导弹 与发动机一体化多学科协同优化模型进行结合，建立变量相关条件下导弹与发动机一体化 多学科设计优化模型，解决了因人为割裂变量之间的相关性从而导致的设计结果不准确的 问题，从而更能满足产品的实际设计需求。

附图说明

图1是本发明的基于变量相关的导弹与发动机一体化多学科设计优化方法流程示意图。

具体实施方式

为了使本发明的目的、技术方案及优点更加清楚明白，以下结合附图及实施例，对本 发明进行进一步详细说明。应当理解，此处所描述的具体实施例仅用以解释本发明，并不 用于限定本发明。

如图1所示，为本发明的基于变量相关的导弹与发动机一体化多学科设计优化方法流 程示意图。一种基于变量相关的导弹与发动机一体化多学科设计优化方法，包括以下步骤：

A、根据变量区间构建变量相关性的量化超椭球模型；

B、利用协同优化方法建立导弹与发动机一体化多学科协同优化模型；

C、结合步骤A中构建的量化超椭球模型和步骤B中建立的导弹与发动机一体化多学 科协同优化模型，构建变量相关条件下导弹与发动机一体化多学科设计优化模型，得到导 弹与发动机一体化多学科设计优化结果。

在步骤A中，本发明将超椭球模型与区间理论进行结合，构建变量相关性的量化超椭 球模型。根据变量区间构建变量相关性的量化超椭球模型，具体包括以下分步骤：

A1、根据随机变量在区间内的上下界，计算随机变量的均值和方差；

A2、根据步骤A1中得到的随机变量的均值和方差及各随机变量之间的相关系数矩阵， 计算随机变量的协方差矩阵；

A3、根据步骤A2中得到的随机变量的协方差矩阵构建变量相关性的量化超椭球模型。

在步骤A1中，根据随机变量在区间内的上下界计算随机变量的均值和方差具体为：设 n个随机变量分别为x₁,x₂,…x_n，将n个随机变量用向量表示为X＝(x₁,x₂,…x_n)^T，X的上下 界分别为$X^U={(x_1^u,x_2^u,...x_n^u)}^T,X^L={(x_1^l,x_2^l,...x_n^l)}^T,$随机变量的均值的计算公式为：

$X^m={({\bar{x}}_1,{\bar{x}}_2,...,{\bar{x}}_n)}^T={(\frac{x_1^u+x_1^l}{2},\frac{x_2^u+x_2^l}{2},...,\frac{x_n^u+x_n^l}{2})}^T$

由于随机变量在范围区间内服从均匀分布，则随机变量的方差的计算公式为：

$D=D(x_1,x_2,...,x_n)=\left(\frac{{(x_1^u-x_1^l)}^2}{12},\frac{{(x_2^u-x_2^l)}^2}{12},...\frac{{(x_n^u-x_n^l)}^2}{12}\right)$

其中，X^m为随机变量的均值，D为随机变量的方差。

本发明的导弹与发动机一体化设计是通过优化弹翼的尺寸，燃烧剂箱和氧化剂箱的尺 寸，发动机设计参数，得到满足飞行要求的具有最小起飞质量的设计。如表1所示，为导 弹与发动机一体化设计变量。

表1、导弹与发动机一体化设计变量

设计变量 设计变量意义 设计变量范围 x₁导弹长度 1≤L_b≤15(m) x₂导弹直径 0.1≤D_b≤0.8(m) x₃氧化剂箱直径 0.1≤D_O≤0.76(m) x₄氧化剂箱长度 0.5≤l_o≤1.5(m) x₅燃烧剂箱长度 0.1≤l_f≤1(m) x₆翼展 1≤l_w≤4(m) x₇展弦比 0.5≤λ_w≤3 x₈氧化剂箱壳体壁厚 0.001≤δ_o≤0.01(m) x₉助推器推重比 5≤p₁≤15 x₁₀一级平均推重比 5≤p₂≤20 x₁₁二级推力比 1.5≤C≤13 x₁₂一级工作时间 30≤t₁≤50(s) x₁₃二级工作时间 250≤t₂≤400(s)

其中，L_b为导弹长度，D_b为导弹直径，D_O为氧化剂箱直径，l_o为氧化剂箱长度，l_f为 燃烧剂箱长度，l_w为翼展，λ_w为展弦比，δ_o为氧化剂箱壳体壁厚，p₁为助推器推重比，p₂为一级平均推重比，C为二级推力比，t₁为一级工作时间，t₂为二级工作时间。

在步骤A2中，计算随机变量的协方差矩阵具体为：先计算两个变量之间的协方差，再 计算所有随机变量相关的协方差矩阵。

n个变量之间的相关系数矩阵为：

根据变量之间的相关系数，计算两个变量之间的协方差，计算公式具体为：

$Co\nu (x_i,x_j)={\rho }_{x_i{x}_j}\sqrt{D\left(x_i\right)}\sqrt{D\left(x_j\right)}$

其中，为变量x_i和x_j的相关系数，Cov(x_i,x_j)为变量x_i和x_j之间的协方差。

计算所有随机变量相关的协方差矩阵的计算公式具体为：

其中，C为所有随机变量相关的协方差矩阵。

在步骤A3中，考虑变量相关性将描述变量相关性的协方差矩阵代入超椭球模型，得到 变量相关性的量化超椭球模型具体为：

其中，g为变量相关性的量化超椭球模型，ε为实常数。这里ε的作用 是限制超椭球模型球体的大小；ε过大会导致变量的相关性在多学科优化中不起任何作用， ε过小将会导致优化中陷入局部最优解，从而得不到全局最优解。本发明的ε取通过随机采 样得到的包含所有采样点的最小椭球半径。

当X₁＝[x₁,x₂]，X₂＝[x₃,x₄,x₅]，X₃＝[x₆,x₇]存在相关性时，由表1可知X₁,X₂,X₃上下 界，则X₁,X₂,X₃的相关系数矩阵分别为：

${\rho }_{X_1}=\left(\begin{array}{cc}1& {\rho }_{x_1{x}_2}\\ {\rho }_{x_2{x}_1}& 1\end{array}\right),{\rho }_{X_2}=\left(\begin{array}{ccc}1& {\rho }_{x_3{x}_4}& {\rho }_{x_3{x}_5}\\ {\rho }_{x_4{x}_3}& 1& {\rho }_{x_4{x}_5}\\ {\rho }_{x_5{x}_3}& {\rho }_{x_5{x}_4}& 1\end{array}\right),{\rho }_{X_3}=\left(\begin{array}{cc}1& {\rho }_{x_6{x}_7}\\ {\rho }_{x_7{x}_6}& 1\end{array}\right)$

其中，为X₁中变量x₁,x₂之间的相关系数矩阵，为X₂中变量x₃,x₄,x₅之间的相 关系数矩阵，为X₃中变量x₆,x₇之间的相关系数矩阵。

X₁,X₂,X₃的协方差矩阵分别为：

$C_1=\left(\begin{array}{cc}D\left(x_1\right)& Cov(x_1,x_2)\\ Cov(x_2,x_1)& D\left(x_2\right)\end{array}\right)$

$C_2=\left(\begin{array}{ccc}D\left(x_3\right)& Cov(x_3,x_4)& Cov(x_3,x_5)\\ Cov(x_4,x_3)& D\left(x_4\right)& Cov(x_4,x_5)\\ Cov(x_5,x_3)& Cov(x_5,x_4)& D\left(x_5\right)\end{array}\right)$

$C_3=\left(\begin{array}{cc}D\left(x_6\right)& Cov(x_6,x_7)\\ Cov(x_7,x_6)& D\left(x_7\right)\end{array}\right)$

其中，D(x_i)为变量x_i的方差，Cov(x_i,x_j)为变量x_i和x_j之间的协方差，C₁,C₂,C₃分别 为X₁,X₂,X₃的协方差矩阵。

X₁,X₂,X₃中变量之间的相关性的量化超椭球模型分别为：

$G_1={(X-{\bar{X}}_1)}^T{C}_1^{-1}(X-{\bar{X}}_1)={\left(\begin{array}{c}{x}_1-8\\ x_2-0.45\end{array}\right)}^T{\left(\begin{array}{cc}D\left(x_1\right)& Cov(x_1,x_2)\\ Cov(x_2,x_1)& D\left(x_2\right)\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{c}{x}_1-8\\ x_2-0.45\end{array}\right)\le {{ϵ}_1}^2$

$G_2={\left(X-{\bar{X}}_2\right)}^T{C}_2^{-1}\left(X-{\bar{X}}_2\right)={\left(\begin{array}{c}{x}_3-0.43\\ x_4-1.0\\ x_5-0.55\end{array}\right)}^T{\left(\begin{array}{ccc}D\left(x_3\right)& Cov\left(x_3,x_4\right)& Cov\left(x_3,x_5\right)\\ Cov\left(x_4,x_3\right)& D\left(x_4\right)& Cov\left(x_4,x_5\right)\\ Cov\left(x_5,x_3\right)& Cov\left(x_5,x_4\right)& D\left(x_5\right)\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{c}{x}_3-0.43\\ x_4-1.0\\ x_5-0.55\end{array}\right)\le {{ϵ}_2}^2$

$G_3={\left(X-{\bar{X}}_3\right)}^T{C}_3^{-1}\left(X-{\bar{X}}_3\right)={\left(\begin{array}{c}{x}_6-2.5\\ x_7-1.75\end{array}\right)}^T{\left(\begin{array}{cc}D\left(x_6\right)& Cov\left(x_6,x_7\right)\\ Cov\left(x_7,x_6\right)& D\left(x_7\right)\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{c}{x}_6-2.5\\ x_7-1.75\end{array}\right)\le {{ϵ}_3}^2$

其中，G₁,G₂,G₃分别为X₁,X₂,X₃中变量之间的相关性的量化超椭球模型。

在步骤B中，利用协同优化方法建立导弹与发动机一体化多学科协同优化模型具体为： 将导弹与发动机一体化设计分解为n个子学科，其系统级优化目标函数的数学模型具体为：

minF(z)

$s.t.J_i^{*}\left(z\right)=\underset{j=1}{\overset{s_i}{\Sigma }}{(z_j-{x_{ij}}^{*})}^2=0,i=1,2,...,n$

其中，F(z)为系统级优化目标函数，为系统级一致性等式约束，z为系统级优化设 计变量，z_j表示第j个系统级设计变量，s_i为学科i的设计变量个数，x_ij^*表示学科i的第j个 设计变量的优化结果，n表示子学科数；

其学科级优化目标函数的数学模型表示形式为：

${\mathrm{minJ}}_i\left(x_i\right)=\underset{j=1}{\overset{s_i}{\Sigma }}{(x_{ij}-{z_j}^{*})}^2$

s.t.c_i(x_i)≤0

其中x_i为子学科i的设计变量，x_ij表示子学科i的第j个设计变量，z_j^*表示系统级分配 给子学科i的第j个设计变量期望值，c_i(x_i)为学科级约束。

本发明的导弹与发动机一体化优化设计的目标函数以及约束条件分别为：

$\left(\begin{array}{c}Min:f=202.849L_b^{0.64}{D}_b^{1.77}+33.0752\left(\frac{l_w^{2.04}}{{\lambda }_w^{0.66}}\right)+\frac{2757}{p_1}\\ +2.8D_o^2\left(135.5D_o+212.5l_f+397.25l_o\right)(1+\frac{1}{63p_2(\frac{t_1}{220}+\frac{p_2{t}_2}{205C})})\\ +10466{\delta }_o{D}_o^2+8666D_o{\delta }_o\left(l_o+l_f\right)+882.4130\end{array}\right)$

s.t.$g_1=0.882\frac{D_o}{{\delta }_o}-300\le 0$

g₂＝5-D_o(5233D_o+8666l_o)δ_o

g₃＝D_o(5233D_o+8666l_o)δ_o-50

$g_4=6-2.8D_o^2(88.3D_o+397.25l_o){\delta }_o$

$g_5=2.8D_o^2(88.3D_o+397.25l_o){\delta }_o-100$

$g_6=2.5-\frac{88.3D_o+397.25l_o}{47.2D_o+212.5l_f}$

$g_7=\frac{88.3D_o+397.25l_o}{47.2D_o+212.5l_f}-10$

$g_8=0.1-\frac{2.8D_o^2(135.5D_o+212.5l_f+397.25l_o)}{63p_2(\frac{t_1}{220}+\frac{p_2{t}_2}{205C})}$

$g_9=\frac{2.8D_o^2(135.5D_o+212.5l_f+397.25l_o)}{63p_2(\frac{t_1}{220}+\frac{p_2{t}_2}{205C})}-1$

$g_{10}=1-\frac{l_w^2}{{\lambda }_w}$

$g_{11}=\frac{l_w^2}{{\lambda }_w}-10$

在步骤C中，结合量化超椭球模型和导弹与发动机一体化多学科协同优化模型，构建 变量相关条件下导弹与发动机一体化多学科设计优化模型，得到导弹与发动机一体化多学 科设计优化结果，具体为：将步骤A中构建的量化超椭球模型作为约束与一同添加到步骤 B建立的导弹与发动机一体化多学科协同优化模型的子学科中，通过子学科和系统级的协 调求解变量相关条件下的最优解，即得到导弹与发动机一体化多学科设计优化结果。

本发明将导弹与发动机一体化设计分解为两个个子学科，子学科1考虑导弹结构重量， 子学科2考虑动力性能。将步骤A中构建的变量相关性的量化超椭球模型G₁,G₂,G₃一同作 为约束条件添加到步骤B建立的导弹与发动机一体化多学科协同优化模型中与变量相关的 子学科中，具体为：

子学科1

Findx₁₁,x₁₂,x₁₃,x₁₄,x₁₅,x₁₆,x₁₇,x₁₈

$\left(\begin{array}{c}{f}_1=202.849x_{11}^{0.64}{x}_{12}^{1.77}+33.0752\left(\frac{x_{16}^{2.04}}{x_{17}^{0.66}}\right)+\\ 10466x_{18}{x}_{13}^2+8666x_{13}{x}_{18}\left(x_{14}+x_{15}\right)\end{array}\right)$

J₁＝(z₁-x₁₃)²+(z₂-x₁₄)²+(z₃-x₁₅)²

s.tg_i≤0(i＝1,2,3,4,5,6,7,10,11)

G_i(i＝1,2,3)

X^min≤X≤X^max

子学科2

Findx₂₃,x₂₄,x₂₅,x₂₉,x₂₁₀,x₂₁₁,x₂₁₂,x₂₁₃

$\begin{array}{cc}\min & f_2=\frac{2757}{x_{29}}\end{array}+2.8x_{23}^2\left(135.5x_{23}+212.5x_{25}+397.25x_{24}\right)(1+\frac{1}{63x_{210}(\frac{x_{212}}{220}+\frac{x_{210}{x}_{213}}{205x_{211}})})$

J₂＝(z₁-x₂₃)²+(z₂-x₂₄)²+(z₃-x₂₅)²

s.tg_i≤0,(i＝4,5,6,7,8,9)

G₂

X^min≤X≤X^max

系统级

Findz₁,z₂,z₃

minf＝f₁+f₂

s.t.J₁＝(z₁-x₁₃)²+(z₂-x₁₄)²+(z₃-x₁₅)²

J₂＝(z₁-x₂₃)²+(z₂-x₂₄)²+(z₃-x₂₅)²

其中，x_ij表示学科i(i＝1,2)的对应所有变量的第j(j＝1,2,…,13)个设计变量，z_i(i＝1,2,3)为 系统级变量，g_i为学科级约束考虑，G_i为变量相关量化模型。

本发明利用序列二次规划方法对系统级、子学科1和子学科2求解最优解，即得到导 弹与发动机一体化多学科设计优化结果。这里的序列二次规划方法为本领域技术人员常规 技术手段，本发明不作赘述。本发明通过超椭球结合区间理论量化变量的相关性解决了因 人为割裂变量之间的相关性从而导致的设计结果不准确的问题，从而更能满足产品的实际 设计需求。

本领域的普通技术人员将会意识到，这里所述的实施例是为了帮助读者理解本发明的 原理，应被理解为本发明的保护范围并不局限于这样的特别陈述和实施例。本领域的普通 技术人员可以根据本发明公开的这些技术启示做出各种不脱离本发明实质的其它各种具体 变形和组合，这些变形和组合仍然在本发明的保护范围内。