一种用EXCEL和MINITAB15软件编制*-R控制图用系数表的方法

摘要

本发明涉及一种用EXCEL和MINITAB15软件编制－R控制图用系数表的方法，以－R控制图用系数表计算为例，选择不同的样本，求取控制图用系数表中的各项系数，通过建立数学模型编制多种标准偏差区间范围的X-R控制图用系数表编制方法，最后属于同一区间数据源的控制图用系数表数据进行数据叠加处理，编制最终的控制图用系数表。有益效果是采用从制造现场取样或应用MINITAB软件生成随机数据，应用控制图用系数表原理，编制不同观测值和标准偏差区间范围的控制图用系数表；对应不同的观测值和标准偏差的数据特征，使用不同的控制图用系数表，从而精确估计控制图所对应的真实的标准偏差，达到改善工序控制质量的目的。

说明书

技术领域

本发明涉及一种用EXCEL和MINITAB15软件编制－R控制图用系数表的 方法。

背景技术

目前，控制图是对过程质量加以测定、记录从而进行控制管理的一种 用科学方法设计的图。图上有中心线(CL)、上控制界限(UCL)和下控制 界限(LCL)，并有按时间顺序抽取的样本统计量数值的描点序列，参见 控制图示例图。

如果数据越多，分组越密，则机螺丝直径直方图的直方图也越趋近一 条光滑曲线，如直方图趋近光滑曲线图所示。在极限情况下得到的光 滑曲线即为分布曲线，它反映了产品质量的统计规律，如分布曲线图 所示。在质量特性值为连续值时，最常见的典型分布为正态分布。例 如机螺丝直径直方图中机螺丝直径的分布就是如此，它的特点是中间 高、两头低、左右对称并延伸至无限。正态分布可用两个参数即均值 μ和标准差σ来决定。

正态分布有一个结论对质量管理很有用，即无论均值μ和标准差σ。 取何值，产品质量特性值落在μ±3σ之间的概率为99.73，于是落在 μ±3σ之外的概率为100%一99.73%= 0.27%，而超过一侧，即大于μ -3σ或小于μ+3σ的概率为0.27%/2=0.135%≈1‰，如正态分布曲线图 。这个结论十分重要。美国休哈特就根据这一事实提出了控制图。控 制图的演变过程参见控制图的演变图。首先把正态分布曲线图按顺时 针方向转90°成下图（控制图的演变a图），由于上下的数值大小不合 常规，故再把控制图的演变图上下翻转180°而成下图（控制图的演变 b图），这样就得到一张控制图，具体说是单值( χ)控制图。换个角 度再来研究控制图的原理。根据来源的不同，质量 因素可以分成4M1E五个方面。 但从对质量的影响大小来看，质量因 素可分成偶然因素(简称偶因)与异常因素(简称异因)两类。偶因是始 终存在的，对质量的影响微小，但难以除去，例如机床开动时的轻微 振动等。异因则有时存在，对质量影响大，但不难除去，例如车刀磨 损、固定机床的螺母松动等。 

偶因引起质量的偶然波动(简称偶波)，异因引起质量的异常波动(简称 异波)。偶波是不可避免的，但对质量的影响微小，故可把它看作背景 噪声而听之任之。异波则不然，它对质量的影响大，且采取措施不难 消除，故在过程中异波及造成异波的异因是我们注意的对象，一旦发 生，就应该尽快找出，采取措施加以消除，并纳入标准化，保证它不 再出现。 

偶波与异波都是产品质量的波动，如何能发现异波的到来呢？经验与 理论分析表明，当生产过程中只存在偶波时，产品质量将形成某种典 型分布。例如，在车制螺丝的例子中形成正态分布。如果除去偶波外 还有异波，则产品质量的分布必将偏离原来的典型分布。因此，根据 典型分布是否偏离就能判断异波，即异因是否发生，而典型分布的偏 离可由控制图检出。在上述车制螺丝的例子中，由于发生了车刀磨损 的异因，螺丝直径的分布偏离了原来的正态分布而向上移动，于是点 子超出上控制界的概率大为增加，从而点子频频出界，表明存在异波 。控制图上的控制界限就是区分偶波与异波的科学界限。 

根据上述，可以说休哈特控制图的实质是区分偶然因素与异常因素两 类因素。 

由于控制图是通过抽查来监控产品质量的,故两类错误是不可避免的。 在控制图上,中心线一般是对称轴,所能变动的只是上下控制限的间距 。若将间距增大,则α减小而β增大,反之,则α增大而β减小。因此,  只能根据这两类错误造成的总损失最小来确定上下控制界限。 

在控制图原理时曾经提到点子出界就判异,有的读者可能疑惑,如果是 生产正常、点子偶然出界呢?现在,如果控制图是根据两类错误造成的 总损失最 小来确定的,那么根据“点子出界就判异”这样的准则来做,即使有时 判断错误,但从长远看仍是合算的。 

休哈特控制图(简称休图)的设计思想是先确定第I类错误的概率σ,然 后再根据第Ⅱ类错误的概率β的大小来考虑是否需要采取必要的措施 。通常σ取为1%,5%,10%。为了增加使用者的信心,休哈特将σ取得特 别小,小到2.7‰～3‰这样,对于“点出界就判异”这条判异准则来讲 ,虽不百发百中,也是千发九九七中了。但σ小,β就大。为了减少第Ⅱ 类错误,对于控制图中的界内点增添了第Ⅱ类判异准则,即“界内点排 列不随机判异”。于是判断异常的准则就有两大类: 

(1)    点子出界就判断异常。 

(2)    界内点排列不随机判断异常。 

其中,第(2)类准则是防止β大的。 

休图的设计并未根据两类错误所造成的总损失最小这点来进行。从80 年代以来,经济质量管理(EQC)兴起,学术代表人物是德国乌尔茨堡大学 EQC中心的冯·考拉尼教授。EQC强调经济上最优,所以控制图设计的发 展趋势之一就是根据两类错误所造成的总损失最小这点来确定控制界 限。

4  －R（均值－极差）控制图的原理及制作

对于计量值数据，－R(均值一极差)控制图是最常用、最重要的控制 图，因为它具有下列优点：

a)  适用范围广。对于 图而言，计量值数据x服从正态分布是经 常出现的。若x非正态分布，则当样本大小n≥4或5时，根据中心极限 定理，知道近似正态分布。对于R图而言, 通过在计算机上的统计模 拟实验证实，只要总体分布不是太不对称的，R的分布没有大的变化。 这就从理论上说明了 －R图适用的范围广泛。

b) 灵敏度高。 图的统计量为均值 ，反映在x上的偶然波动是随 机的，通过均值的平均作用，这种偶然波动得到一定程度的抵消；而 反映在x上的 异常波动往往是在同一个方向的，它不会通过均值的平均作用抵消。 因此，图检出异常的能力高。至于R图的灵敏度则不如图高。

现在说明一下 －R图的统计基础。假定质量特性服从正态N(μ,σ² )，且μ、σ均已 知。若x₁、x₂、…x_n是大小为n的样本，则样本 均值为 

$\bar{x}=(x_1+x_2+···..+x_n)/n$

由于 服从正态分布N(μ,σ²/n)，样本均值落入下列两个界限 

$\mu -Z_{\alpha /2}{\sigma }_{\bar{x}}=\mu -Z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}---\left(1\right)$

$\mu +Z_{\alpha /2}{\sigma }_{\bar{x}}=\mu +Z_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}---\left(2\right)$

间的概率为1-α。因此若μ与σ已知，则式(1)与式(2)可分别作为样 本均值的控制图的上下控制界限。如前述，通常取Z_α/2=3，即采用3σ控 制界限。当然，即使x的分布是非正态的，但由于中心极限定理，上述 结果也近似成立。

在实际工作中，μ与σ通常未知，这时就必须应用从稳态过程所取的 预备样本的数据对它们进行估计。预备样本通常至少取25个(根据判稳 准则，最好至少取35个预备样本)。设取 m个样本，每个样本包含n个 观测值。样本大小n主要取决于合理分组的结构，抽样与检查的费用， 参数估计的效率等因素，n通常取为4、5或6。令所取的m个样本的均值 分别为 、、…、，

则过程的μ的最佳估计量 为总均值 ，即 

$\hat{\mu }=\overline{\stackrel{‾}{x}}({\bar{x}}_1+{\bar{x}}_2+···+{\bar{x}}_m)/m---\left(3\right)$

于是可作为 图的中心线。 

 为了建立控制界限，需要估计过程的标准差σ可以根据m个样本的极 差或标准差来进行估计。应用极差进行估计的优点是极差计算简单， 所以至今R图的应用较s图为广。 

现在讨论极差法。设、、…、为一大小为n的样本，则此样本的极 差R为最大观测值x_max与最小观测值x_mix之差，即 

R=  x_max－ x_min                         (4)

若样本取自正态总体，可以证明样本极差R与总体标准差σ有下列关系 ：令W=R/σ，可以证明 E(W)=d₂，为一与样本大小n有关的常数，于 是，σ的估计量为。 

令m个样本的极差为R₁、R₂、…、R_m，则样本平均极差为 

$\bar{R}=(R_1+R_2+···+R_m)/m---\left(5\right)$

故σ的估计量为 

$\hat{\sigma }=\bar{R}/d_2---\left(6\right)$

若样本大小n较小，则用极差法估计总体方差与用样本方差去估计总体 方差的效果是一样的。但当n较大，如n>10，则由于极差没有考虑样本 在x_max与x_mix之间的观测值的信息，故极差法的效率迅速降低。但在实际 工作中, R图一般取n=4、5或6，所以极差法是令人满意的。

若取μ的估计量为 ，σ的估计量为 / d₂，则 图的控制线为

$\mathrm{UCL}=\mu +3\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\approx \overline{\stackrel{‾}{x}}+\frac{3}{d_2\sqrt{n}}\bar{R}=\overline{\stackrel{‾}{x}}+A_{2}R$

$\mathrm{CL}=\mu \approx \overline{\stackrel{‾}{x}}$

$\mathrm{LCL}=\mu -3\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\approx \overline{\stackrel{‾}{x}}-\frac{3}{d_2\sqrt{n}}\bar{R}=\overline{\stackrel{‾}{x}}-A_2\bar{R}$

式中$A_2=\frac{3}{d_2\sqrt{n}}$

为一与样本大小n有关的常数，这可以通过查找计量值控制图系数表。  

由上述，已知样本极差R与过程标准差σ有关，因此可以通过R来控制 过程的变异度，这就是R图。R图的中心线即 = 。

为了确定R图的控制界限，需要对σ_R进行估计。若质量特性服从正态 分布,令W=R/σ，可以证明σ_w=d₃(d₃为一与样本大小n有关的常数)， 于是从R=Wσ知。由于σ未知，故从式 (6)得σ_R的估计量为 

${\sigma }_R=d_3\frac{\bar{R}}{d_2}$

根据上述，得到R图的控制线如下 ：

$\mathrm{UCL}={\mu }_R+3{\sigma }_R\approx {\hat{\mu }}_R+3{\hat{\sigma }}_R=\bar{R}+3d_3\frac{\bar{R}}{d_2}$

$\mathrm{CL}={\mu }_R\approx {\hat{\mu }}_R=\bar{R}$

$\mathrm{LCL}={\mu }_R-3{\sigma }_R\approx {\hat{\mu }}_R-3{\hat{\sigma }}_R=\bar{R}-3d_3\frac{\bar{R}}{d_2}$

令D₃=1-3d₃/d₂，D₄=1+3d₃/d₂，则代入上式后，得R图的控制线为

$\mathrm{UCL}=\bar{R}$

$\mathrm{CL}=\bar{R}$

$\mathrm{LCL}=D_3\bar{R}$

式中，系数D₃、D₄可以通过查找计量值控制图系数表。

随着现代科学技术的发展和计算机技术的广泛应用，质量控制领域对 计算机的依赖程度也越来越高，广大工程技术人员可以充分利用EXCE L和 MINITAB15强大的图表和数据处理功能为质量控制过程服务。

EXCEL和MINITAB15作为功能极强的数理统计计算软件将较复杂的编程 简化为方便的菜单和工具栏操作，使数据处理及分析问题变得较为直 观，EXCEL和MINITAB15软件具有丰富的库函数和强大的计算功能以及 卓越的图表功能，灵活运用EXCEL和MINITAB软件可以极大地提高公式 解决问题的能力。

质量控制过程计算涉及面广，内容庞杂，采集的数据多、处理复杂、 计算量大，从现场采集的数据和模拟生成的数据找出相关量的关系以 及服从的规律，需要对数据进行正确的整理分析和归纳计算。传统的 控制图用系数表计算方法，手工计算量大、庞杂且不够精确，将EXCE L和MINITAB15软件应用于控制图用系数表编制，设计好数学模型，只 要在工作表的单元格中输入公式，求解变得方便快捷，思路清晰、准 确度高。

发明内容

本发明所解决的技术问题在于提供一种克服质量控制计算涉及面广、 内容庞杂、采集的数据多、计算量大、且不够精确的特点，利用EXCE L和MINITAB15软件编制－R控制图用系数表的方法，在相应的工作表 的单元格中输入相应数据，即可得到优化的计算结果。

本发明所解决的技术问题采用以下技术方案来实现：

一种利用EXCEL和MINITAB15软件编制－R控制图用系数表的方法，以 －R控制图用系数表计算为例，选择不同的样本，求取控制图用系数 表中的各项系数，其特征在于：

（1） 建立数学模型

$A_2=3/d_2\sqrt{n}$

d₂=R_均/б_R

d₃= d₂*б_R / R_均

D₄=(1+3*d₂/d₃)

D₃=(1-3*d₂/d₃)

(2 ) 依据第一步建立数学模型编制多种标准偏差区间范围的－R控 制图用系数表编制方法，其步骤如下：

1 按照上述多种标准偏差区间范围的－R控制图用系数表的构成，首 先必须获得用于计算上述控制图用系数表中各项系数的必要的数据源 ，取得数据源的途径有以下两种：

A 从制造过程现场获得；

B 应用MINITAB15软件生成随机数据。

2 采用上一步骤获得的数据源，按照上述控制图用系数表注所列的公 式，分别以2，3，…，25，为样本数，分别计算A₂、d₂、d₃、D₄、D₃；

3 然后依次按照上述控制图用系数表所列格式，依次填入；

4 针对统一区间的观测值、标准偏差可以反复取样或反复生成模拟随 机数据，按照上述步骤，分别计算A₂、d₂、d₃、D₄、D₃，编制控制图 用系数表；

5 属于同一区间数据源的控制图用系数表数据进行数据叠加处理，编 制最终的控制图用系数表。

本发明的有益效果是采用从制造现场取样或应用MINITAB软件生成随机 数据，应用控制图用系数表原理，编制不同观测值和标准偏差区间范 围的控制图用系数表；对应不同的观测值和标准偏差的数据特征，使 用不同的控制图用系数表，从而精确估计控制图所对应的真实的标准 偏差，达到改善工序控制质量的目的。

具体实施方式

为了使本发明实现的技术手段、创作特征、达成目的与功效易于明白 了解，下面结合具体实施例，进一步阐述本发明。

一种利用EXCEL和MINITAB15软件编制－R控制图用系数表的方法，以 －R控制图用系数表计算为例，选择不同的样本，求取控制图用系数 表中的各项系数，

（1） 建立数学模型

$A_2=3/d_2\sqrt{n}$

d₂=R_均/б_R

d₃= d₂* б_R/ R_均

D₄=(1+3*d₂/d₃)

D₃=(1-3*d₂/d₃)

(2 ) 依据第一步建立数学模型编制多种标准偏差区间范围的－R控 制图用系数表编制方法，其步骤如下：

1 按照上述多种标准偏差区间范围的－R控制图用系数表的构成，首 先必须获得用于计算上述控制图用系数表中各项系数的必要的数据源 ，取得数据源的途径有以下两种：

A 从制造过程现场获得；

B 应用MINITAB15软件生成随机数据。

2 采用上一步骤获得的数据源，按照上述控制图用系数表注所列的公 式，分别以2，3，…，25，为样本数，分别计算A₂、d₂、d₃、D₄、D₃；

3 然后依次按照上述控制图用系数表所列格式，依次填入；

4 针对统一区间的观测值、标准偏差可以反复取样或反复生成模拟随 机数据，按照上述步骤，分别计算A₂、d₂、d₃、D₄、D₃，编制控制图 用系数表；

5 属于同一区间数据源的控制图用系数表数据进行数据叠加处理，编 制最终的控制图用系数表。

（3）具体计算过程

1 建立控制图用系数表中各项系数的数学模型，输入相应的计算公式 ：

在AB2-AB25单元格中输入A₂的计算公式；

在AC2-AC25单元格中输入d₂的计算公式；

在AD2-AD25单元格中输入d₃的计算公式；

在AE2-AE25单元格中输入D₄的计算公式；

在AF2-AF25单元格中输入D₃的计算公式。

2 应用MINITAB软件中随机数据生成工具，产生符合正态分布特征的 随机数据，粘贴入EXCEL工作表中B2-Z1001单元格内。

3 依次在AG-DX列中分别输入б、R_均、R和б_R的计算公式。

4 针对2，，25不同的样本，分别计算不同的б、R_均、R和б_R的数值 。

5 分别代入A₂、d₂、d₃、D₄、D₃的计算公式进行计算；

6 生成不同标准值和标准偏差区间的－R控制图用系数表。

项目达到的技术考指标：

通过将新编控制图用系数表与传统控制图用系数表系数进行对比，取 样产品的观测值在0-1之间，标准偏差在0.1-0.01之间;随着观测值和 标准偏差的增大,控制图用系数表的系数A₂或d₂逐渐增大或缩小；当观 测值在1-10, 标准偏差在0.1-0.01之间;随着观测值和标准偏差的增 大,控制图用系数表的系数A₂或d₂会继续增大或缩小，尤其是d₂缩小幅 度最大；当观测值10-100和100-1000, 标准偏差在0-1和1-100之间， 随着观测值和标准偏差的增大,控制图用系数表的系数A₂或d₂变化的速 度会相应减缓。传统的控制图用系数表适用于观测值在0-1之间，标准 偏差在0.1-0.01之间，而针对观测值在1-10, 标准偏差在0.1-0.01之 间、观测值在10-100之间，标准偏差在0-1之间、观测值在100-1000之 间、标准偏差在1-100之间，则需要重新编制适用于相应区间范围的控 制图用系数表。

以上显示和描述了本发明的基本原理和主要特征和本发明的优点。本 行业的技术人员应该了解，本发明不受上述实施例的限制，上述实施 例和说明书中描述的只是说明本发明的原理，在不脱离本发明精神和 范围的前提下，本发明还会有各种变化和改进，这些变化和改进都落 入要求保护的本发明范围内。本发明要求保护范围由所附的权利要求 书及其等效物界定。