一种基于施蒂费尔流形的干扰对齐预编码方法

摘要

本发明公开了一种发射机单边优化的基于施蒂费尔流形的干扰对齐预编码方法，特征是以最小化信号空间内的干扰强度作为目标函数，将目标函数在施蒂费尔流形上重组，去掉正交约束，计算目标函数在施蒂费尔流形上的内积、投影和最陡下降沿方向，通过基于施蒂费尔流形的最陡下降沿算法来实现干扰对齐的预编码。由于本发明中采用的施蒂费尔流形的维度比传统优化算法所在的多维复数空间维度小得多，所以本发明方法具有收敛速度快、复杂度低、系统容量高等优点；同时因为本发明仅需发射机参与，避免了收发两端都必须参与算法而造成的前向和反向通信链路之间的反复迭代以及随之带来的巨大的同步和反馈等系统开销，对于时分双工和频率双工通信系统都适用。

说明书

技术领域

本发明属于无线通信的多天线传输技术领域，具体涉及基于施蒂费尔流形的干 扰对齐预编码的方法。

背景技术

干扰对齐是最近兴起的一种多天线传输技术，能够大幅度提高无线通信系统的 容量，因而得到了广泛的重视和应用。据《国际电子与电气工程师协会信息论汇刊》 （IEEE Transactions on Information Theory，Vol.54,No.8,2008,Page(s):3425-3441） 介绍，干扰对齐技术的核心在于将来自于不同数据流的干扰信号在一个方向上对 齐，以减少干扰空间的维度，并且引入了自由度（Degree ofFreedom,DoF）的概念。 目前利用预编码来实现干扰对齐作为一种切实可行的方法已得到了广泛的研究。据 《国际电子与电气工程师协会2008年全球通信年会》（IEEE Global Communications  Conference,Nov.30-Dec.4,2008,Page(s):1-6）介绍，干扰对齐的预编码方法可以利 用信道的互易性，通过减少信号子空间内的干扰强度，在前向和反向通信链路反复 迭代得到。但是由于该方法依赖于信道互易性，使其适用范围仅局限在时分双工通 信系统而不能应用于频分双工通信系统；同时前向和反向通信链路的反复迭代，需 要发射机和接收机同时参与并要求严格的同步和反馈，这样会消耗大量的通信系统 资源；特别是由于该方法采用的是传统的优化方法，不可避免地存在收敛速度慢、 复杂度高以及系统容量低等缺陷。

发明内容

本发明的目的是提出一种发射机单边优化的基于施蒂费尔（Stiefel）流形的干 扰对齐预编码方法，以克服传统方法依赖信道的互易性而带来前向和反向通信链路 反复迭代的巨大系统开销的缺陷，达到收敛速度快、复杂度低且系统容量高、对于 时分双工和频率双工通信系统都能适用的目的。

本发明基于施蒂费尔流形的干扰对齐预编码方法，先将多输入多输出通信系统 中发射天线数为M、接收天线数为N的K个用户在干扰信道下的接收信号表示为： $Y^{\left[k\right]}=\underset{j=1}{\overset{K}{\Sigma }}{H}^{\left[\mathrm{kj}\right]}{V}^{\left[j\right]}{S}^{\left[j\right]}+W^{\left[k\right]},$式中，第一上标k的取值范围从1到K、第二上标j的 取值范围也从1到K；H^[kj]为第j个发射机到第k个接收机的信道系数矩阵；S^[j]为 需要发射的数据，V^[j]为相应的预编码矩阵，W^[k]为零均值单位方差的高斯白噪声； 则第k个接收端的干扰协方差矩阵为：$Q^{\left[k\right]}=\underset{\left(\begin{array}{c}j=1\\ j\ne k\end{array}\right)}{\overset{K}{\Sigma }}\frac{P^{\left[j\right]}}{d^{\left[j\right]}}{H}^{\left[\mathrm{kj}\right]}{V}^{\left[j\right]}{V}^{\left[j\right]*}{H}^{\left[\mathrm{kj}\right]*},$式中，P^[j]为 发送功率，d^[j]为发送的数据流个数，上标符号*代表矩阵的共轭转置操作；对Q^[k]进 行特征值分解，得到一系列的特征值其下标Q^[k]代表该特征值对应的干扰协 方差矩阵，其上标i代表以升序排列特征值的序号；最小化信号空间内的干扰强度 等价于最小化d^[k]个特征值从而建立从多维复数空间到正实数空间的映射关 系，得到所需的目标函数约束条件为V^[j]*V^[j]＝I，I为单 位向量；

其特征在于：将目标函数f在施蒂费尔流形上重 组，式中代表维度为n乘以p的复数空间；在施蒂费尔流形重组之后的结果是： 去掉约束条件V^[j]*V^[j]＝I，保留的最小化目标；然后将复数 矩阵V^[j]分解为实部和虚部将目标函数f分别对实部和虚部求导，得到对 应的两个雅可比（Jacobian）行列式：和则有 $\mathrm{df}=[D_R^{\left[1\right]}....D_R^{\left[j\right]}]\left(\begin{array}{c}{\mathrm{dV}}_R^{\left[1\right]}\\ ·\\ ·\\ {\mathrm{dV}}_R^{\left[j\right]}\end{array}\right)+[D_I^{\left[1\right]}....D_I^{\left[j\right]}]\left(\begin{array}{c}{\mathrm{dV}}_I^{\left[1\right]}\\ ·\\ ·\\ {\mathrm{dV}}_I^{\left[j\right]}\end{array}\right);$由此得到目标函数f对预编码矩阵V 的一阶导数：D_V＝(D_R+iD_I)^T，式中(·)^T代表矩阵的转置操作；进而得到施蒂费尔 流形上的最陡下降沿表达式：则目标函数沿着Z的方向减小，表示 为f(V+αZ)，其中步长α的大小通过阿米霍(Armijo)法则得到，具体采用如下两个 准则：如果则将式中的步长α替换 为2α带入不等式进行判断，重复上述步骤直到不等式不成立，其中代表取实 数部分，tr(·)代表矩阵的迹操作，为施蒂费尔流形的内积表 达式；如果则将式中的步长α替代成 带入不等式进行判断，重复上述步骤直到不等式不成立，最终得到合适的步长 α；然后对V+αZ进行投影操作：π(V+αZ)＝UI_n×pR^*，其中U和R分别是V+αZ 的奇异值分解产生的左、右酉矩阵，即V+αZ＝U∑R^*，其中∑为奇异值对角矩阵； 依次对K个发射机的预编码矩阵V^[j]进行重复迭代，其中上标j的取值范围从1到 K，当目标函数f迭代收敛时，就得到了一系列的干扰对齐的预编码矩阵V。

本发明基于施蒂费尔流形的干扰对齐预编码方法所依据的原理是：

施蒂费尔流形：可以看作满足正交约束的矩阵 的集合，施蒂费尔流形的维度为$\dim \left(\mathrm{St}(n,p)\right)=\mathrm{np}-\frac{1}{2}p(p+1),$而传统优化方法所在 的多维复数空间的维度为因此将目标函数在施蒂费尔流形上重组 后，不仅能够去掉正交约束条件V^[j]*V^[j]＝I的限制，将有约束的优化问题变成无约 束的优化问题，而且因为减少了优化问题所在的空间维度，所以大大简化了算法的 复杂度；同时并不改变的解析表达式。因为干扰协方差矩阵 Q^[k]满足酉矩阵的定义：Q^[k]＝Q^[k]*，所以它所对应的一系列的特征值均为实数， 也就是说目标函数f为多维复数空间到一维实数空间的映射；因此必须把实 部和虚部分开考虑：把复数矩阵V^[j]分解为实部和虚部将目标函数f分别 对实部和虚部求导，得到对应的两个雅可比行列式：和则 有$\mathrm{df}=[D_R^{\left[1\right]}....D_R^{\left[j\right]}]\left(\begin{array}{c}{\mathrm{dV}}_R^{\left[1\right]}\\ ·\\ ·\\ {\mathrm{dV}}_R^{\left[j\right]}\end{array}\right)+[D_I^{\left[1\right]}....D_I^{\left[j\right]}]\left(\begin{array}{c}{\mathrm{dV}}_I^{\left[1\right]}\\ ·\\ ·\\ {\mathrm{dV}}_I^{\left[j\right]}\end{array}\right);$得到目标函数f对预编码矩阵V的 一阶导数：D_V＝(D_R+iD_I)^T，式中(·)^T代表矩阵的转置操作；施蒂费尔流形的最陡 下降沿算法的原理是：首先定义施蒂费尔流形上的投影操作π(·)，假设Y为n行p 列，且秩为p的任意矩阵，则Y到施蒂费尔流形的投影定义为 式中||·||为欧几里得范数，进一步可以得到如果Y的奇异 值分解为Y＝U∑R^*，则π(Y)＝UI_n×pR^*；考虑流形内的一个点X∈St(n,p)，以及它 的扰动点π(X＋εN)，其中N为n行p列的任意矩阵，ε为任意实数；若满足 π(X+εN)＝π(X)+o(ε²)，其中o(ε²)为高阶小量，则把这样的矩阵N的集合所在 的空间定义为施蒂费尔流形在X点的法向空间N_X(n,p)，由法向空间的定义可知， 若N∈N_X(n,p)，则X+εN不会随着ε的增大而偏离X；X点的切向空间T_X(n,p)定 义为法向空间N_X(n,p)的正交补空间，其严谨的数学定义为满足如下条件的矩阵集 合所在的空间：若Z∈T_X(n,p)，则 其中 是满足[X X_⊥]^*[X_⊥ X]＝I的矩阵；最陡下降沿算法需要计算梯度方向， 但是施蒂费尔流形梯度方向的表达式，必须在切空间内积表达式给定的情况下才有 意义，也就是说内积和梯度必须定义在同一个拓扑结构内，因此要先定义施蒂费尔 流形的切空间的欧几里得内积：式中 Z₁,Z₂∈T_X(n,p)，X∈St(n,p)；在此给定内积的基础上，得到目标函数f的最陡下 降沿Z的表达式为：式中D_V是函数f在V的一阶导数。

由于本发明方法中使用了阿米霍法则来得到选择合适的收敛步长α，其推导原 理如下：

若Z为f(X)在X的最陡下降沿方向，则可选取收敛步长α，使其满足如下两 个不等式：

$f\left(X\right)-f(X+\mathrm{\alpha Z})\ge \frac{1}{2}\alpha ⟨Z,Z⟩---\left(1\right)$

f(X)-f(X+2αZ)＜α<Z,Z>（2）

利用上面的不等式可以得到合适α，具体方法为：不断的尝试将α扩大两倍， 直到不等式（2）不再成立；再将此时的α的值不断的尝试缩小两倍，直到满足不 等式（1）；将阿米霍法则应用到施蒂费尔流形的最陡下降沿算法收敛步长选择中， 将自变量替换成预编码矩阵V，再将内积替换成施蒂费尔流形的内积形式；最终可 以得到如下的两个步长选择准则：如果 则将式中的步长α替换为2α带入不 等式进行判断，重复上述步骤直到不等式不成立，该步骤保证了选择的α能够尽可 能的大幅度减少目标函数$\underset{V^{\left[1\right]},...,V^{\left[K\right]}}{\min }f\left(V\right)=\underset{k=1}{\overset{K}{\Sigma }}\underset{i=1}{\overset{d^{\left[k\right]}}{\Sigma }}{\lambda }_{Q^{\left[k\right]}}^i;$如果 则将式中的步长α替代成带入 不等式进行判断，重复上述步骤直到不等式不成立，该步骤保证了不会因为选择的 步长α太大而导致错过了潜在的最优点；通过以上两个准则最终得到合适的步长 α。

同时注意到，当V沿着最陡下降沿Z的方向，以α为步长移动到V+αZ时，可 以将αZ看作是对施蒂费尔流形内的点V的扰动，因此实际上V+αZ不在施蒂费尔 流形内，必须采用投影操作将V+αZ重新限制在流形内，投影操作： π(V+αZ)＝UI_n×pR^*，其中U和R分别是V+αZ的奇异值分解（SVD）产生的左、 右酉矩阵，即V+αZ＝U∑R^*，其中∑为奇异值对角矩阵。

由上面的分析可知，本发明的发射机单边优化的基于施蒂费尔流形的干扰对齐 预编码方法，以最小化信号空间内的干扰强度作为目标函数；将目标函数在施蒂费 尔流形上重组，去掉正交约束，计算目标函数在施蒂费尔流形上的内积、投影和最 陡下降沿方向，以阿米霍法则为步长选择机制，最终形成这种基于施蒂费尔流形的 最陡下降沿算法实现干扰对齐的预编码方法。由于本发明中采用的施蒂费尔流形的 维度比传统优化算法所在的多维复数空间维度小得多，所以采用本发明方法具有收 敛速度快，复杂度低，系统容量高等优点。同时因为本发明提出的干扰对齐预编码 方法，仅需要发射机参与，所以避免了收发两端都必须参与算法而造成的前向和反 向通信链路之间的反复迭代，以及随之带来的巨大的同步和反馈等系统开销，对于 时分双工和频率双工通信系统都适用。

附图说明

图1是本发明基于施蒂费尔流形的干扰对齐预编码方法的系统框图。

图2是干扰信道下3个用户多输入多输出通信系统模型示意图。

图3是传统干扰对齐预编码方法和施蒂费尔流形预编码方法的3个用户每个接 收机的干扰子空间夹角的比较图。

图4是传统干扰对齐预编码方法和施蒂费尔流形干扰对齐预编码方法目标函数 收敛性能比较图。

图5是传统干扰对齐预编码方法和施蒂费尔流形干扰对齐预编码方法，以及时 分复用等基于正交化的传输机制系统容量比较图。

具体实施方式

以下结合附图说明本发明的实施例。

实施例1：

图1给出了本发明基于施蒂费尔流形的干扰对齐预编码方法的系统框图的流 程原理示意框图。本发明方法以最小化信号空间内的干扰强度作为目标函数，计算 该目标函数在施蒂费尔流形上的内积表达式和梯度方向，得到施蒂费尔流形上的最 陡梯度算法，最终实现干扰对齐预编码的方案。

本实施例基于施蒂费尔流形的干扰对齐预编码方法的具体操作步骤如图1中所 示：

第1步.首先初始化任意的预编码矩阵：V^[1]，......，V^[K]；

第2步.计算协方差矩阵Q^[k]：将多输入多输出通信系统中发射天线数为M、 接收天线数为N的K个用户在干扰信道下的接收信号表示为： $Y^{\left[k\right]}=\underset{j=1}{\overset{K}{\Sigma }}{H}^{\left[\mathrm{kj}\right]}{V}^{\left[j\right]}{S}^{\left[j\right]}+W^{\left[k\right]},$式中，第一上标k的取值范围从1到K、第二上标j的 取值范围也从1到K；H^[kj]为第j个发射机到第k个接收机的信道系数矩阵；S^[j]为 需要发射的数据，V^[j]为相应的预编码矩阵，W^[k]为零均值单位方差的高斯白噪声； 则第k个接收端的干扰协方差矩阵为：$Q^{\left[k\right]}=\underset{\left(\begin{array}{c}j=1\\ j\ne k\end{array}\right)}{\overset{K}{\Sigma }}\frac{P^{\left[j\right]}}{d^{\left[j\right]}}{H}^{\left[\mathrm{kj}\right]}{V}^{\left[j\right]}{V}^{\left[j\right]*}{H}^{\left[\mathrm{kj}\right]*},$式中，P^[j]为 发送功率，d^[j]为发送的数据流个数，上标符号*代表矩阵的共轭转置操作；

第3步.计算Q^[k]的特征值，建立目标函数：对Q^[k]进行特征值分解，得到一 系列的特征值其下标Q^[k]代表该特征值对应的干扰协方差矩阵，其上标i代表 以升序排列特征值的序号；最小化信号空间内的干扰强度等价于最小化d^[k]个特征 值从而建立从多维复数空间到正实数空间的映射关系，得到所需的目标函数 $\underset{V^{\left[1\right]},...,V^{\left[K\right]}}{\min }f=\underset{k=1}{\overset{K}{\Sigma }}\underset{i=1}{\overset{d^{\left[k\right]}}{\Sigma }}{\lambda }_{Q^{\left[k\right]}}^i,$约束条件为V^[j]*V^[j]＝I，I为单位向量；

第4步.将目标函数f在施蒂费尔流形上重组， 式中代表维度n乘以p的复数空间；在施蒂费尔流形重组之后的结果是：去掉 约束条件V^[j]*V^[j]＝I，保留的最小化目标；然后将复数矩阵 V^[j]分解为实部和虚部将目标函数f分别对实部和虚部求导，得到对应的 两个雅可比行列式和则有 $\mathrm{df}=[D_R^{\left[1\right]}....D_R^{\left[j\right]}]\left(\begin{array}{c}{\mathrm{dV}}_R^{\left[1\right]}\\ ·\\ ·\\ {\mathrm{dV}}_R^{\left[j\right]}\end{array}\right)+[D_I^{\left[1\right]}....D_I^{\left[j\right]}]\left(\begin{array}{c}{\mathrm{dV}}_I^{\left[1\right]}\\ ·\\ ·\\ {\mathrm{dV}}_I^{\left[j\right]}\end{array}\right),$进而得到目标函数f对V[j]的一阶导 数：$D_V^{\left[j\right]}={(D_R^{\left[j\right]}+{\mathrm{iD}}_I^{\left[j\right]})}^T;$

第5步.计算施蒂费尔流形上的最陡梯度方向：$Z^{\left[j\right]}=V^{\left[j\right]}{D}_V^{\left[j\right]}{V}^{\left[j\right]}-D_V^{\left[j\right]},$则目 标函数沿着Z的方向减小，表示为f(V^[j]+α^[j]Z^[j])；

第6步.利用阿米霍准则计算f(V^[j]+α^[j]Z^[j])中的步长α^[j]，采用如下两个准 则，准则一：如果则将式中的步长α^[j]替换为2α^[j]带入不等式进行判断，式中 为施蒂费尔流形的内积表达形式，重复上述步骤直到 不等式不成立；准则二：如果 则将式中的步长 α^[j]替代成带入不等式进行判断，重复上述步骤直到不等式不成立，最终的到 合适的收敛步长α^[j]；

第7步.投影操作，将结果重新约束回到施蒂费尔流形： π(V^[j]+α^[j]Z^[j])＝UI_n×pR^*，其中U和R分别是V^[j]+α^[j]Z^[j]的奇异值分解产生的左、 右酉矩阵，即V^[j]+α^[j]Z^[j]＝U∑R^*，式中∑为奇异值对角矩阵；

第8步.重复迭代，直到目标函数收敛。

图2给出了将本发明方法应用在干扰信道下3个用户多输入多输出通信系统模 型示意图，图中实线箭头代表通信链路，虚线箭头代表干扰链路，发射机和接受机 的天线数为2，每个发射机每次发射1个消息给对应的接收机，同时在其他接收机 产生干扰。

图3给出了在图2所表示的场景下，3个用户每个接收机的干扰子空间夹角比 较图。可以对图中表示传统干扰对齐预编码方法下的接收机1的干扰子空间夹角随 着迭代次数的收敛曲线A1、接收机2的干扰子空间夹角随着迭代次数的收敛曲线 B1、接受机3的干扰子空间夹角随着迭代次数的收敛曲线C1；与施蒂费尔流形的 干扰对齐预编码方法下的接收机1的干扰子空间夹角随着迭代次数的收敛曲线D1、 接收机2的干扰子空间夹角随着迭代次数的收敛曲线E1、接受机3的干扰子空间夹 角随着迭代次数的收敛曲线F1进行直观的比较，从而清楚地发现：本发明基于施 蒂费尔流形的干扰对齐预编码方法比传统方法干扰子空间夹角收敛到零的速度更 快，而干扰子空间夹角为零意味着干扰信号已经完全对齐，以此从干扰子空间夹角 的来看，采用本发明方法比传统方法收敛速度更快。

图4给出了在图2所表示的场景下，传统干扰对齐预编码方法和施蒂费尔流形 干扰对齐预编码方法目标函数收敛性能比较。从图中可以看出，采用本发明基于施 蒂费尔流形的干扰对齐预编码方法的目标函数随迭代次数的收敛曲线A2与传统干 扰对齐预编码方法的目标函数收敛曲线B2相比，本发明方法在目标函数收敛性能 上优于传统方法。

图5给出了系统容量比较图。从图中将本发明基于施蒂费尔流形的干扰对齐预 编码方法的系统容量随着发射机功率的曲线A3与传统干扰对齐与编码方法系统容 量曲线B3、时分复用（TDMA）方法的系统容量曲线C3、2天线用户单用户的系 统容量曲线D3以及随机预编码的系统容量曲线E3进行直观的比较可以看出，本发 明基于施蒂费尔流形的干扰对齐预编码方法在系统容量上优于其他传统方法。