基于混沌支持向量机优化的小波加权多模盲均衡方法

摘要

本发明公布了一种基于混沌支持向量机优化的小波加权多模盲均衡方法，包括如下步骤：将复信源发射信号经过脉冲响应信道得到信道输出向量；采用信道噪声和信道输出向量之和风细雨得到正交小波变换器的输入信号；将均衡器的输入信号经过正交小波变换得到均衡器的输入信号；将均衡器的输入信号经过均衡器得到均衡器的输出信号；将均衡器的输出信号经过判决器后通过加权多模盲均衡方法更新均衡器权向量。本发明利用支持向量机对小波加权多模盲均衡方法的权向量进行初始化，可以提高收敛速度并避免陷入局部极小值点，将支持向量机的参数选取看作参数的组合优化，建立组合优化目标函数，通过混沌优化来搜索最优的目标函数值，提高支持向量机的拟合能力。

说明书

技术领域

本发明涉及一种水声信道中基于混沌支持向量机优化的小波加权多模盲均 衡方法。

背景技术

在水声信道中，信道的带宽受限和多径传播导致码间干扰，造成接收数据产 生误码，影响到了通信系统的质量。为了提高信道的频带利用率，常常采用高阶 QAM调制方式，为了克服码间干扰，在接收端需要引入均衡技术，盲均衡技术 因无需发送训练序列而得到广泛的应用。

在现有的盲均衡方法中，常数模方法(Constant Modulus Algorithm，CMA)结 构简单、计算量小、稳定性好，而被广泛应用(见文献[1]纪娟娟，郭业才.基于正 交小波变换的奇对称误差函数盲均衡算法[J].系统仿真学报，2010，22(10)，2247 -2249)。由于CMA仅仅利用了均衡器输出信号的幅度信息，存在相位模糊性， 而且在处理高阶QAM信号时，收敛速度缓慢、稳态误差也相当的大。文献(见 文献[2]Yang J，Werner J J，and Dumont G A.The multiple modulus blind  equalization and its generalized algorithm.IEEE Journal on Sel.Area in Commun.， 2002，20(5)：997-1015)中的多模盲均衡方法(Multiple Modulus Algorithm，MMA) 利用了均衡器输出信号的幅度和相位信息，提高了稳态收敛性能，但在MMA中 权向量的同相和正交分量都是利用单一的判决圆进行调整，随着QAM阶数的提 高，对信道均衡的性能变差，收敛速度和均方误差达不到理想的效果。文献[3]～ [4](见：文献[3]许小东，戴旭初，徐佩霞.适合高阶QAM信号的加权多模盲均衡 算法[J]电子与信息学报，2007，29(6)：1352-1355；文献[4]窦高奇，高俊.适用于高 阶QAM系统的多模盲均衡新算法[J]电子与信息学报，2008，30(2)，388-391)表明 加权多模盲均衡方法(Weighted Multiple Modulus Algorithm，WMMA)引入判决符 号的指数冥来调整代价函数中的模值，进一步地利用了高阶QAM星座图的信息， 对信道具有很好的均衡性能；利用正交小波变换的去相关性，对均衡器输入信号 进行预处理，降低了输入信号的自相关性，加快了收敛速度(见文献[5]郭业才， 杨超.基于正交小波包变换的判决反馈盲均衡算法[J].系统仿真学 报，2010，23(3)：570-574)；由于小波加权多模盲均衡方法(WT-WMMA)中的权向量 采用最速下降法进行迭代，与CMA类似，容易陷入局部极小值点，文献[6]～[7] (见：文献[6]李金明，赵俊渭.支持向量机初始化的常数模盲均衡算法仿真[J]计算 机仿真，2008，25(1)：84-87；文献[7]Feng Liu，Hu-cheng An，Jia-ming Li Blind  Equalization Using v-Support Vector Regressor for Constant Modulus Signal[J]IEEE  International Joint Conference on Neural Networks，2008，pp：161-164)表明利用支持 向量机对WT-WMMA的权向量进行初始化，可以避免陷入局部极小值点，在支 持向量机初始化权向量的过程中，根据文献[8](见文献[8]Qing Yu，Ying Liu，Feng  Rao.Paramater Selection of Support Vector Regression Machine Based on  Differential Evolution Algorithm[J].IEEE Six International Conference on Fuzzy  Systems and Knowledge Discovery，2009，VOL.2，pp：596-598)，将支持向量机参数 的选取看作参数的组合优化，建立组合优化目标函数；文献[9]～[11](见文献[9] 袁小芳，王耀南.基于混沌优化算法的支持向量机参数选取方法[J].控制与决 策，2006，21(1)：111-113；文献[10]Chang Shuang，Guo Jian-qin.Application of chaos  optimization algorithm in the solution of combination optimization problems[J]. Modern Electronic Technique，2008，31(18)：68-70；文献[11]Guo Li-hua，Tang  Wen-cheng，Zhan Chun-hua.A new hybrid global optimization algorithm based on  chaos search and complex method[C].IEEE International Conference on Computer  Modeling and Simulation.2010，VOL.3，pp：233-237)表明，通过混沌优化来搜索最 优的目标函数值，将能提高支持向量机的拟合能力。

发明内容

本发明目的是为避免权向量陷入局部极小值点，利用支持向量机对均衡器的 权向量进行初始化，并在此过程中，通过混沌优化对支持向量机的参数进行优化， 提高其拟合能力；利用正交小波变换对均衡器的输入信号进行预处理，降低输入 信号的自相关性，减小均方误差；权向量迭代过程中，采用加权多模方法进一步 利用星座图信息，来调整迭代过程中权向量的模值。水声信道的仿真结果表明， 与加权多模盲均衡方法和其它方法相比，本发明方法具有较快的收敛速度和更小 的稳态误差。

本发明为实现上述目的，采用如下技术方案：

本发明基于混沌支持向量机优化的小波加权多模盲均衡方法，包括如下步 骤：

a.)将复信源发射信号a(n)经过脉冲响应信道得到信道输出向量x(n)，其 中n为时间序列，下同；

b.)采用信道噪声w(n)和步骤a所述的信道输出向量x(n)得到正交小波变 换器(WT)的输入信号：y(n)＝x(n)+w(n)；

c.)将步骤b所述的均衡器的输入信号y(n)经过正交小波变换得到均衡器 的输入信号R(n)；

d.)将步骤c所述的均衡器的输入信号R(n)经过均衡器得到均衡器的输出 信号z(n)＝f^T(n)R(n)，f(n)为均衡器的权向量，上标T表示转置；

其特征在于：

将步骤d所述的均衡器的输出信号z(n)经过判决器后通过加权多模盲均衡 方法更新均衡器权向量：

$f(n+1)=f\left(n\right)-\mu {\hat{R}}^{-1}\left(n\right)[e_{{\mathrm{Re},}_{\mathrm{WMMA}}}\left(n\right)+j·e_{{\mathrm{Im},}_{\mathrm{WMMA}}}\left(n\right)]R^{*}\left(n\right)---\left(1\right)$

式中，μ为步长因子，Re表示实部，Im表示虚部，为虚数单位， e_Re，WMMA(n)、e_Im，WMMA(n)分别表示为均衡器输出误差e_WMMA(n)的实部和虚部， ${\hat{R}}^{-1}\left(n\right)=\mathrm{diag}\left(\begin{array}{ccc}{\sigma }_{l,0}^2\left(n\right),{\sigma }_{l,1}^2\left(n\right),L& {\sigma }_{l,k_L}^2\left(n\right),{\sigma }_{L+\mathrm{1,0}}^2\left(n\right),L& {\sigma }_{L+1,k_L}^2\left(n\right)\end{array}\right)$为正交小波功率归一 化矩阵。其中，diag[  ]表示对角矩阵，和分别表示对小波系 数r_l，k和尺度系数s_L，k的平均功率估计，r_l，k(n)表示小波空间l层分解的第k个信 号，s_l，k(n)表示尺度空间中最大分解层数L时的第k个信号，可由下式递推得到：

$\left(\begin{array}{c}{\sigma }_{l,k}^2(n+1)=\beta {\sigma }_{l,k}^2\left(n\right)+(1-\beta ){\left|r_{l,k}\left(n\right)\right|}^2\\ {\sigma }_{L+1,k}^2(n+1)=\beta {\sigma }_{L,k}^2\left(n\right)+(1-\beta ){\left|s_{L,k}\left(n\right)\right|}^2\end{array}\right)---\left(2\right)$

式中，β为平滑因子，且0＜β＜1；

在加权多模盲均衡方法中，其代价函数为：

$J_{\mathrm{WMMA}}=E\{{\left(\begin{array}{cc}{z}_{\mathrm{Re}}^2\left(n\right)-{\left|{\hat{z}}_{\mathrm{Re}}\left(n\right)\right|}^{{\lambda }_{\mathrm{Re}}}& R_{{\lambda }_{\mathrm{Re}}}^2\end{array}\right)}^2+{\left(\begin{array}{cc}{z}_{\mathrm{Im}}^2\left(n\right)-{\left|{\hat{z}}_{\mathrm{Im}}\left(n\right)\right|}^{{\lambda }_{\mathrm{Im}}}& R_{{\lambda }_{\mathrm{Im}}}^2\end{array}\right)}^2\}---\left(3\right)$

式中，加权因子λ_Re、λ_Im∈[0，2]，$R_{{\lambda }_{\mathrm{Re}}}^2=E\left[a_{\mathrm{Re}}^4\left(n\right)\right]/E\left[{\left|a_{\mathrm{Re}}\left(n\right)\right|}^{2+{\lambda }_{\mathrm{Re}}}\right],$$R_{{\lambda }_{\mathrm{Im}}}^2=E\left[a_{\mathrm{Im}}^4\left(n\right)\right]/E\left[{\left|a_{\mathrm{Im}}\left(n\right)\right|}^{2+{\lambda }_{\mathrm{Im}}}\right],$其中a_Re(n)、a_Im(n)分别是信源发射信号a(n)的 实部和虚部；是判决符号的实部和虚部，z_Re(n)、z_Im(n)分 别表示均衡器输出信号z(n)的实部和虚部，加权多模盲均衡器的误差函数为：

$\left(\begin{array}{c}{e}_{{\mathrm{Re},}_{\mathrm{WMMA}}}\left(n\right)=z_{\mathrm{Re}}\left(n\right)\left(\begin{array}{cc}{z}_{\mathrm{Re}}^2\left(n\right)-{\left|{\hat{z}}_{\mathrm{Re}}\left(n\right)\right|}^{{\lambda }_{\mathrm{Re}}}& R_{{\lambda }_{\mathrm{Re}}}^2\end{array}\right)\\ e_{{\mathrm{Im},}_{\mathrm{WMMA}}}\left(n\right)=z_{\mathrm{Im}}\left(n\right)\left(\begin{array}{cc}{z}_{\mathrm{Im}}^2\left(n\right)-{\left|{\hat{z}}_{\mathrm{Im}}\left(n\right)\right|}^{{\lambda }_{\mathrm{Im}}}& R_{{\lambda }_{\mathrm{Im}}}^2\end{array}\right)\end{array}\right)---\left(4\right)$

采用支持向量机方法将盲均衡的问题转化为全局最优的支持向量机回归问 题：

对于高阶的QAM信号，令α＝[0，1，Λ，m]，m＝M-1，则η＝M-QAM(α)， 即η表示对α正交幅度调制后的输出信号，M为高阶QAM信号的调制阶数，令 η＝[η₀，η₁，L，η_m]，η_m为对应于第m个输入信号的调制输出信号；信源的发射信 号为a(n)，则均衡器的接收信号可表示为：

$y\left(n\right)=\underset{i}{\Sigma }c\left(i\right)a(n-i)+w\left(n\right)---\left(5\right)$

式中，w(n)为零均值的高斯白噪声，c(i)是长度为N_c的第i个基带脉冲响应；

在初始化的过程中，均衡器第n个输出信号为z(n)，则有：

e_i(n)＝|z(n)-η_i|²                            (6)

式中，η_i为η中的第i个元素，i＝1，Λ，M，e_i(n)表示输出信号z(n)与η_i的距离；

令R′＝[R′(1)，R′(2)，L，R′(n)，L，R′(N)]，n＝1，Λ，N，则取式(6)中最小的 e_i(n)所对应的为R′(n)的值，也就是当均衡器输出的信号z(n)在QAM的星座 图中时，离η_i点的距离最近；

对于一个高阶QAM的信号，根据支持向量机拟合的结构风险最小化原则， 以精度ε估计均衡器的权向量f，需要最小化以下代价函数，即

$J_{\mathrm{cma}}\left(f\right)=\frac{1}{2}{\left|\right|f\left|\right|}^2+C\underset{n=1}{\overset{N}{\Sigma }}{|R^{\prime }\left(n\right)-{\left[f^{T}y\left(n\right)\right]}^2|}_{ϵ}---\left(7\right)$

式中，C＞0是惩罚变量，根据Vapnik的ε不敏感损失函数，有

|R′(n)-[f^Ty(n)]²|_ε＝max{0，|R′(n)-[f^Ty(n)]²|-ε}         (8)

引入松弛变量ζ(n)和式(8)中的二次约束改为线性约束为

z(n)[f^Ty(n)]-R′(n)≤ε+ξ(n)

                                              (9)

惩罚变量C为

$C=\bar{g}\left(n\right)+3{\sigma }_g---\left(10\right)$

式中，g(n)为均衡器第n时刻输入信号y(n)模值的平方，即g(n)＝|y(n)|²。表示求均值，σ_g为g(n)的均方差；

参数ε的值可由下式确定

$ϵ=3\sqrt{{\sigma }_n^2\frac{\ln N}{N}}---\left(11\right)$

式中，为噪声方差，N初始化过程中，均衡器输入信号的长度；

最优问题可以转化为：给定C和ε，求以下拉格朗日鞍点问题，即

                  

式中，α(n)、γ(n)和为拉格朗日乘子，且α(n)≥0，γ(n)≥0， n＝1，2，Λ，N。对上式进行鞍点求解，即最小化求解f，线性均衡器的 解可表示为

均衡器的权向量按式(13)确定，在支持向量机学习的过程中，权向量的更新 公式为

f_k＝f_k-1+(1-λ)f                              (14)

式中，λ为接近于1的常数，k表示支持向量机的学习次数；

初始化过程中，定义平均调制误差为

$\mathrm{AME}\left(k\right)=\frac{1}{N}\underset{n=1}{\overset{N}{\Sigma }}[R_k^{\prime }\left(n\right)-{\left|z_k\left(n\right)\right|}^2]---\left(15\right)$

式中，z_k(n)表示支持向量机在第k次的学习过程中，均衡器的输出信号；初始 化过程切换到小波加权多模盲均衡方法的条件可表示为

AME(k-1)-AME(k)＜ζ                           (16)

式中，ζ是一个取值很小的正数。

将SVM的参数C和ε选取看作参数的组合优化，将AME(k)作为组合优化的 目标函数，通过混沌优化来搜索最优的目标函数值，从而找到合适的参数取值：

采用式(17)的Logistic映射作为混沌变量的迭代公式

d(n+1)＝μd(n)[1-d(n)]                        (17)

式中，d(n)为混沌变量，μ为一常数，当μ＝4时系统完全处于混沌状态，以 AME(k)最小值作为SVM回归与参考模型之间的偏差，即

f(z₁，z₂)＝min(AME)                           (18)

a_i≤z_i≤b_i，i＝1，2

式中，z₁，z₂为优化变量，分别对应于支持向量机参数C和ε，[a_i，b_i]为变量z_i的 定义域。混沌优化选取SVM参数的步骤如下：

Step1 初始化变量，令混沌搜索次数为M₁，混沌再搜索次数M₂；计数器 I＝0，k＝0；给优化的混沌变量d_i赋初值d_i＝d_i(0)，i＝1，2；当 前的最优目标函数值初始化为f^*；

Step2 将d_i映射到优化变量的取值区间成为z_i

z_i＝a_i+(b_i-a_i)d_i   i＝1，2                    (19)

Step3 对优化变量进行优化搜索，若f(z_i)≤f^*，则f^*＝f(z_i)， 否则继续；

Step4 I＝I+1，d_i(n+1)＝μd_i(n)[1-d_i(n)]；

Step5 若经过M₁次搜索f^*保持不变，则令Δd_i为一个很小的 数，k＝k+1；

Step6 重复Step2～4，若k＞M₂，则将作为最优的混沌变量，所对应的z_i为 SVM优化参数。

本发明将加权多模盲均衡方法(Weighted Multi-Modulus Algorithm，WMMA) 中引入判决符号的指数冥来调整代价函数中的模值，进一步地利用了高阶QAM 星座图的信息，对信道具有很好的均衡性能；利用正交小波变换的去相关性，对 均衡器输入信号进行预处理，降低了输入信号的自相关性，加快了收敛速度；由 于小波加权多模盲均衡方法(WT-WMMA)中的权向量采用最速下降法进行迭代， 与CMA类似，容易陷入局部极小值点，利用支持向量机对WT-WMMA的权向 量进行初始化可以提高收敛速度并避免陷入局部极小值点，在支持向量机初始化 权向量的过程中，将支持向量机参数的选取看作参数的组合优化，建立组合优化 目标函数，通过混沌优化来搜索最优的目标函数值，将能提高支持向量机的拟合 能力。因此，将正交小波变换、混沌优化方法和支持向量机引入到WMMA中， 发明了一种基于混沌支持向量机优化的小波加权多模盲均衡方法(Wavelet  Transform Weighted Multiple Modulus blind equalization Algorithm based on Chaos  and Support Vector Machines optimization，CSVM-WTWMMA)。

附图说明

图1：正交小波加权多模盲均衡方法原理图；

图2：混沌优化支持向量机参数的结构框图；

图3：本发明：基于混沌支持向量机优化的小波加权多模盲均衡方法原理 图

图4：实施实例仿真结果图：(a)均方误差；(b)SVM学习过程；(c)均 衡器输入；

(d)WMMA输出；(e)WT-WMMA输出；(f)本发明CSVM-WTWMMA输出。

具体实施方式

正交小波加权多模盲均衡方法

为降低输入信号的相关性，加快权向量收敛速度，将正交小波变换引入到加 权多模盲均衡方法中，将会得到基于小波变换的加权多模盲均衡方法 (WT-WMMA)，如图1所示。

图1中，a(n)是复信源发射信号，可表示为a(n)＝a_Re(n)+ja_Im(n)，“j”为 虚数虚单位；a_Re(n)和a_Im(n)分别是信源信号的实部和虚部。c(n)是长度为N_c的 基带信道响应向量，w(n)为噪声向量，Q为正交小波变换矩阵，y(n)为信道输 出向量，R(n)为均衡器的输入信号，f(n)为均衡器的权向量且长度为N_L，即 $f\left(n\right)={\left(\begin{array}{cc}{f}_1\left(n\right),f_1\left(n\right)L& f_{N_L}\left(n\right)\end{array}\right)}^T$(上标T表示转置)，z(n)为均衡器的输出，为 判决器的输出。

均衡器的输入信号$y\left(n\right)={\left(\begin{array}{cc}{y}_1\left(n\right),y_2\left(n\right),L,& y_{N_L}\left(n\right)\end{array}\right)}^T,$经过正交小波变换后，均 衡器的接收信号表示为

R(n)＝QY(n)                                   (1)

均衡器输出为

z(n)＝f^T(n)R(n)                               (2)

设z_r(n)和z_i(n)分别表示均衡器输出信号z(n)的实部和虚部，则z(n)可表示为

z(n)＝z_Re(n)+jz_Im(n)                          (3)

在加权多模的盲均衡方法(WMMA)中，其代价函数为

$J_{\mathrm{WMMA}}=E\{{\left(\begin{array}{cc}{z}_{\mathrm{Re}}^2\left(n\right)-{\left|{\hat{z}}_{\mathrm{Re}}\left(n\right)\right|}^{{\lambda }_{\mathrm{Re}}}& R_{{\lambda }_{\mathrm{Re}}}^2\end{array}\right)}^2+{\left(\begin{array}{cc}{z}_{\mathrm{Im}}^2\left(n\right)-{\left|{\hat{z}}_{\mathrm{Im}}\left(n\right)\right|}^{{\lambda }_{\mathrm{Im}}}& R_{{\lambda }_{\mathrm{Im}}}^2\end{array}\right)}^2\}---\left(4\right)$

式中，加权因子λ_Re、λ_Im∈[0，2]，$R_{{\lambda }_{\mathrm{Re}}}^2=E\left[a_{\mathrm{Re}}^4\left(n\right)\right]/E\left[{\left|a_{\mathrm{Re}}\left(n\right)\right|}^{2+{\lambda }_{\mathrm{Re}}}\right],$$R_{{\lambda }_{\mathrm{Im}}}^2=E\left[a_{\mathrm{Im}}^4\left(n\right)\right]/E\left[{\left|a_{\mathrm{Im}}\left(n\right)\right|}^{2+{\lambda }_{\mathrm{Im}}}\right],$其中a_Re(n)、a_Im(n)分别是信源发射信号a(n)的 实部和虚部；是判决符号的实部和虚部，z_Re(n)、z_Im(n)分 别表示均衡器输出信号z(n)的实部和虚部，加权多模盲均衡器的误差函数为：

$\left(\begin{array}{c}{e}_{{\mathrm{Re},}_{\mathrm{WMMA}}}\left(n\right)=z_{\mathrm{Re}}\left(n\right)\left(\begin{array}{cc}{z}_{\mathrm{Re}}^2\left(n\right)-{\left|{\hat{z}}_{\mathrm{Re}}\left(n\right)\right|}^{{\lambda }_{\mathrm{Re}}}& R_{{\lambda }_{\mathrm{Re}}}^2\end{array}\right)\\ e_{{\mathrm{Im},}_{\mathrm{WMMA}}}\left(n\right)=z_{\mathrm{Im}}\left(n\right)\left(\begin{array}{cc}{z}_{\mathrm{Im}}^2\left(n\right)-{\left|{\hat{z}}_{\mathrm{Im}}\left(n\right)\right|}^{{\lambda }_{\mathrm{Im}}}& R_{{\lambda }_{\mathrm{Im}}}^2\end{array}\right)\end{array}\right)---\left(5\right)$

式中，e_r，WMMA(n)、e_i，WMMA(n)分别表示为均衡器输出误差e_WMMA(n)的实部和虚 部。

WMMA均衡器抽头系数的迭代公式为

$f(n+1)=f\left(n\right)-\mu {\hat{R}}^{-1}\left(n\right)[e_{{\mathrm{Re},}_{\mathrm{WMMA}}}\left(n\right)+j·e_{{\mathrm{Im},}_{\mathrm{WMMA}}}\left(n\right)]R^{*}\left(n\right)---\left(6\right)$

式中，μ为步长因子，Re表示实部，Im表示虚部，e_Re，WMMA(n)、e_Im，WMMA(n)分别表 示为均衡器输出误差e_WMMA(n)的实部和虚部， ${\hat{R}}^{-1}\left(n\right)=\mathrm{diag}\left(\begin{array}{ccc}{\sigma }_{l,0}^2\left(n\right),{\sigma }_{l,1}^2\left(n\right),L& {\sigma }_{l,k_L}^2\left(n\right),{\sigma }_{L+\mathrm{1,0}}^2\left(n\right),L& {\sigma }_{L+1,k_L}^2\left(n\right)\end{array}\right)$为正交小波功率归一 化矩阵。其中，diag[  ]表示对角矩阵，和分别表示对小波系 数r_l，k和尺度系数s_L，k的平均功率估计，r_l，k(n)表示小波空间l层分解的第k个信 号，s_l，k(n)表示尺度空间中最大分解层数L时的第k个信号，可由下式递推得到：

$\left(\begin{array}{c}{\sigma }_{l,k}^2(n+1)=\beta {\sigma }_{l,k}^2\left(n\right)+(1-\beta ){\left|r_{l,k}\left(n\right)\right|}^2\\ {\sigma }_{L+1,k}^2(n+1)=\beta {\sigma }_{L,k}^2\left(n\right)+(1-\beta ){\left|s_{L,k}\left(n\right)\right|}^2\end{array}\right)---\left(7\right)$

式中，β为平滑因子，且0＜β＜1，一般取略小于1的数。式(1)～(7)称为基于正交 小波的加权多模盲均衡方法(Wavelet Transform based WMMA，WT-WMMA)。

支持向量机初始化权向量

由于WT-WMMA中的权向量迭代利用最速下降法，易陷入局部极小值点， 利用支持向量机可以将盲均衡的问题转化为全局最优的支持向量机回归问题。在 用支持向量机对常模信号进行权向量初始化的基础上做进一步改进，使支持向量 机适用于高阶QAM信号，并对均衡器的权向量进行初始化。

对于高阶的QAM信号，令α＝[0，1，Λ，m]，m＝M-1，则η＝M-QAM(α)， 即η表示对α正交幅度调制后的输出信号，M为高阶QAM信号的阶数，令 η＝[η₀，η₁，L，η_m]，η_m为对应于第m个输入信号的调制输出信号。令信源的发射 信号为a(n)，则均衡器的接收信号可表示为：

$y\left(n\right)=\underset{i}{\Sigma }c\left(i\right)a(n-i)+w\left(n\right)---\left(8\right)$

式中，w(n)为零均值的高斯白噪声，c(i)是长度为N_c的第i个基带脉冲响应。

在初始化的过程中，均衡器第n个输出信号为z(n)，则有：

e_i(n)＝|z(n)-η_i|²                            (9)

式中，η_i为η中的第i个元素，i＝1，Λ，M，e_i(n)表示输出信号z(n)与η_i的距离。

令R′＝[R′(1)，R′(2)，L，R′(n)，L，R′(N)]，n＝1，Λ，N，则取式(9)中最小的 e_i(n)所对应的为R′(n)的值，也就是当均衡器输出的信号z(n)在QAM的星座 图中时，离η_i点的距离最近。

对于一个高阶QAM的信号，根据支持向量机拟合的结构风险最小化原则， 以精度ε估计均衡器的权向量f，需要最小化以下代价函数，即

$J_{\mathrm{cma}}\left(f\right)=\frac{1}{2}{\left|\right|f\left|\right|}^2+C\underset{n=1}{\overset{N}{\Sigma }}{|R^{\prime }\left(n\right)-{\left[f^{T}y\left(n\right)\right]}^2|}_{ϵ}---\left(10\right)$

式中，C＞0是惩罚变量，根据Vapnik的ε不敏感损失函数，有

|R′(n)-[f^Ty(n)]²|_ε＝max{0，|R′(n)-[f^Ty(n)]²|-ε}            (11)

引入松弛变量ζ(n)和式(11)中的二次约束改为线性约束为

z(n)[f^Ty(n)]-R′(n)≤ε+ξ(n)

                                              (12)

惩罚变量C为

$C=\bar{g}\left(n\right)+3{\sigma }_g---\left(13\right)$

式中，g(n)为均衡器第n时刻输入信号y(n)模值的平方，即g(n)＝|y(n)|²。表示求均值，σ_g为g(n)的均方差。

参数ε的值可由下式确定

$ϵ=3\sqrt{{\sigma }_n^2\frac{\ln N}{N}}---\left(14\right)$

式中，为噪声方差，N初始化过程中，均衡器输入信号的长度。

最优问题可以转化为：给定C和ε，求以下拉格朗日鞍点问题，即

                     

式中，α(n)、γ(n)和为拉格朗日乘子，且α(n)≥0，γ(n)≥0， n＝1，2，Λ，N。对上式进行鞍点求解，即最小化求解f，线性均衡器的 解可表示为

均衡器的权向量按式(16)确定，在支持向量机学习的过程中，权向量的更新 公式为

f_k＝f_k-1+(1-λ)f                              (17)

式中，λ为接近于1的常数，n表示支持向量机的学习次数。

初始化过程中，定义平均调制误差为

$\mathrm{AME}\left(k\right)=\frac{1}{N}\underset{n=1}{\overset{N}{\Sigma }}[R_k^{\prime }\left(n\right)-{\left|z_k\left(n\right)\right|}^2]---\left(18\right)$

式中，z_n(k)表示支持向量机在第n次的学习过程中，均衡器的输出信号。初始 化过程切换到小波加权多模盲均衡方法的条件可表示为

AME(k-1)-AME(k)＜ζ                           (19)

式中，ζ是一个取值很小的正数。

混沌优化选取SVM的参数

在利用SVM初始化均衡器权向量的过程中，SVM参数的取值决定了其学习 能力和泛化能力，将SVM参数的选取看作参数的组合优化，建立组合优化目标 函数，通过混沌优化来搜索最优的目标函数值。本发明将SVM的参数C和ε选 取看作参数的组合优化，将AME(k)作为组合优化的目标函数，利用混沌优化来 搜索最优的目标函数值，从而找到合适的参数取值。称利用混沌优化参数后的 SVM为混沌支持向量机(Chaos & Support Vector Machines，CSVM)。

采用式(20)的Logistic映射作为混沌变量的迭代公式

d(n+1)＝μd(n)[1-d(n)]                        (20)

式中，d(n)为混沌变量，μ为一常数，当μ＝4时系统完全处于混沌状态，以 AME(k)最小值作为SVM回归与参考模型之间的偏差，即

f(z₁，z₂)＝min(AME)                           (21)

a_i≤z_i≤b_i，i＝1，2

式中，z₁、z₂为优化变量，分别对应于支持向量机参数C和ε，[a_i，b_i]为变量z_i的定义域。混沌优化选取SVM参数的步骤如下：

Step1 初始化变量，令混沌搜索次数为M₁，混沌再搜索次数M₂；计数器 I＝0，k＝0；给优化的混沌变量d_i赋初值d_i＝d_i(0)，i＝1，2；当 前的最优目标函数值初始化为f^*；

Step2 将d_i映射到优化变量的取值区间成为z_i

z_i＝a_i+(b_i-a_i)d_i    i＝1，2                   (22)

Step3 对优化变量进行优化搜索，若f(z_i)≤f^*，则f^*＝f(z_i)，否则继续；

Step4 I＝I+1，d_i(n+1)＝μd_i(n)[1-d_i(n)]；

Step5 若经过M₁次搜索f^*保持不变，则令Δd_i为一个很小的 数，k＝k+1；

Step6 重复Step2～4，若k＞M₂，则将作为最优的混沌变量，所对应的z_i为 SVM优化参数。

混沌优化SVM参数的流程图，如图2所示。

为提高支持向量机的拟合能力，利用混沌优化支持向量机参数；为避免小波 多模盲均衡方法的权向量陷入局部极小值点，利用支持向量机对小波多模盲均衡 器的权向量进行初始化，最终发明了一种基于混沌支持向量机优化的小波加权多 模盲均衡方法(CSVM-WTWMMA)，其原理图如图3所示。

实施实例

为了验证本发明CSVM-WTWMMA的有效性，用水声信道进行仿真研究， 并与WT-WMMA，WMMA进行比较。

仿真实验中，采用混合水声信道[0.3132-0.10400.89080.3134]，信噪比为 30dB，均衡器的权长为16。

发射信号为128QAM，WMMA，步长因子μ分别为μ_WMMA＝3.8×10^-7， μ_WT-WMMA＝ 3.5×10^-5，μ_CSVM-WTWMMA＝3.2×10^-5；M₁、M₂的值分别是300、100，Δd_i的值 都为10^-3；z₁的遍历区间为(0，C]，z₂的遍历区间为(0，ε]，C、ε的值由式(13)、 (14)确定；对信道的输入信号采用DB2正交小波分解，分解层次是2层，功率的 初始值为4，遗忘因子β＝0.99；加权因子λ_Im＝λ_Re＝0.78；采用均衡器输入数 据的前300点对权向量进行初始化，初始化的切换条件ζ为10^-5。蒙特卡罗800 次的仿真结果，如图3所示。

由图4(a)可知，本发明CSVM-WTWMMA收敛后，均方误差比WT-WMMA 约小0.2dB，比WMMA约小1dB；收敛速度比WT-WMMA快约1000步，比 WMMA快了约1200步；由图4(b)可知，CSVM在每次的学习过程中，平均调 制误差比参数优化前的SVM小约0.05dB；图4(c)～(f)为均衡器输入输出星座图， 可以看出，本发明CSVM-WTWMMA的星座图比WT-WMMA，WMMA清晰、 紧凑、集中。

为了提高均衡器对高阶QAM信号的均衡性能，提出了基于混沌支持向量机 优化的小波加权多模盲均衡方法。该方法法利用支持向量机对均衡器的权向量进 行初始化，避免了其陷入局部极小值点，通过混沌优化对支持向量机的参数进行 优化，提高了其拟合能力；对均衡器输入信号进行正交小波变换，降低了相关性、 减小了均方误差；加权多模盲均衡方法能够充分利用高阶QAM信号星座图的信 息，在迭代过程中调整权向量的模值，提高了方法的收敛速度。水声信道的仿真 结果表明：与WT-WMMA、WMMA相比，本发明CSVM-WTWMMA具有更快 的收敛速度和较小的均方误差。