单自由度直线平移式空间六连杆机构

摘要

单自由度直线平移式空间六连杆机构，该机构包括固定基座，前曲柄，前摇杆，末端构件，后摇杆和后曲柄；其末端构件由中间平板以及设置在两端的左右吊耳组成，左右两耳所在的两平面非共面且不平行，左右两耳所在的两平面与中间平板的两条交线平行；运动链ABC的三个转动副A、B和C的轴线互相平行且都垂直于连杆AB和BC决定的平面；运动链FED的三个转动副F、E和D的轴线互相平行且都垂直于连杆FE和ED决定的平面；连杆AB和BC决定的平面与连杆FE和ED决定的平面之间的夹角与左右吊耳所在平面的夹角相等。本发明仅用六个连杆和六个转动副即可实现某个构件的单自由度直线平移运动，具有结构简单，工程应用方便的特点，可作为导向机构应用于任何需要具有做定直线平移运动的机械结构中。

说明书

技术领域

本发明涉及一种空间多连杆机构，特别涉及一种仅由连杆和转动副构成的具有单自由度精确直线平移运动的空间连杆机构，属于机械结构及机构学技术领域。

背景技术

在机构学的发展史上，为了实现精确的直线运动，人们发明了曲柄-滑块机构。但是，这样的机构需要有一个刚性的导轨，导轨为直线时，滑块将做直线运动；导轨为曲线时，滑块就做曲线运动。因而，曲柄-滑块机构运动的直线性在一定意义上完全取决于导轨。

为了避免这类机构运动的直线性受限于导轨，机构学者们针对完全由连杆和转动副连接而成的机构进行了研究，试图综合出能够生成精确直线运动的连杆机构来。文献【美R.L.诺顿(Robert L.Norton)著 陈立周 韩建友 李威 邱丽芳 译，机械设计——机器和机构综合与分析，机械工业出版社，2003年3月第一版.】第100页中指出，一个机构要想实现精确的直线运动，它至少需要六个构件、七个转动副，即需要Watt型或Stephenson型六杆机构。其中最有代表性的是Peaucellier发明的如图1所示的含有八个连杆和6个转动副的精确直线机构。构件AB、BP、PD和DA形成一个适宜尺寸的菱形，构件O₂B和O₂D可以是任意的长度，但需相等。当O₁O₂精确等于O₁A时，点P将生成一段无穷大的圆弧，即一条精确的直线(如图1中过点P与O₁O₂垂直的虚线)。同时，该书第100页中还指出，若把转轴O₁从图1所示的位置向左或向右移动改变构件O₁O₂的长度时，点P的运动轨迹将不再保持在一条直线上。因此，Peaucellier机构中P点运动的直线性对O₁O₂的长度摄动是比较敏感的。即使抛弃这一点不管，Peaucellier的八杆机构也只是保证了一个点做直线运动，这就给工程应用带来了极大的困难。文献【黄真，孔令富，方跃法.并联机器人机构学理论及控制.北京：机械工业出版社，1997年12月】第27页以及文献【徐万椿 译，高等机构设计，台湾 北京：徐氏基金会出版：世界图书出版公司，1990年.】第653页图6.6中给出如图2所示的赛路德(Sarrut)机构，它的动平台具有一个直线平移运动的自由度。但是，如图2所示的Sarrut机构要求其两个运动链A₁B₁C₁和A₂B₂C₂必须连接矩形动平台C₁C₂和静平台A₁A₂的两个邻边。这种矩形动平台C₁C₂和静平台A₁A₂的结构形式不仅难于保证而且占用空间大，不利于工程应用。

后来，尽管许多机构学者也研究出了能够使某些连杆上的特定点做精确直线运动的机构来，但大都离不开滑块和导轨。还有很多的近似直线运动的连杆机构，这里就不再一一赘述。

发明内容

本发明的目的是提供一种适合工程应用的单自由度直线平移式空间六连杆机构，实现在只用转动副和连杆构成的多连杆机构中，使其中的某个构件能够做严格的单自由度直线平移运动。

本发明所提供的单自由度直线平移式空间六连杆机构，包括杆件以及连接杆件的转动副，其特征在于：所述的杆件包括固定基座，前曲柄，前摇杆，末端构件，后摇杆和后曲柄；所述的末端构件由中间平板以及设置在中间平板两端的非共面且不平行的左、右吊耳组成，所述的左、右两吊耳所在的平面与中间平板相交而成的两条交线平行；在左、右吊耳上分别设有与转动副的转轴相匹配的通孔，左、右吊耳分别通过运动链ABC和FED与固定基座相连接，这两条运动链均为平面RRR运动链；所述的运动链ABC的三个转动副A、B和C的轴线互相平行且都垂直于连杆AB和BC决定的平面；所述的运动链FED的三个转动副F、E和D的轴线互相平行且都垂直于连杆FE和ED决定的平面；所述的连杆AB和BC决定的平面与连杆FE和ED决定的平面之间的夹角与所述的末端构件上的左、右吊耳平面的夹角相等。

本发明的优选技术方案为：所述的设置在末端构件两端的非共面的左、右吊耳所在的平面相互垂直。

本发明的另一优选技术方案为：设置在末端构件两端的非共面的左、右吊耳位于中间平板的同侧，所述的左、右吊耳所在的平面与中间平板的夹角均为135°；所述的固定基座两端与前、后曲柄连接的转轴A和F的轴线互相垂直相交，其交点o与转动副A和F构成一等腰直角三角形。

本发明不仅通过连杆和转动副实现了机构的单自由度直线平移运动，而且仅需要六个连杆和六个转动副就可以使机构中的某一构件实现精确的直线平移运动，结构简单，克服了现有技术中“要想实现精确的直线运动，至少需要六个构件、七个转动副”的技术偏见，这相对于Peaucellier八杆机构仅能使一个特定的点做直线运动来说，结构更为简单也更有利于工程应用；相对于Sarrut机构，本发明所提供的单自由度直线平移式空间六连杆机构无须要求两个运动链连接上、下矩形平台的对应邻边，因而具有更广泛的角度适应范围，而且直线移动的行程更大，机构本身所占空间相对较小。因此，也更有利于工程应用。本发明可作为导向机构应用于任何需要做定直线平移运动的机械结构中，比如可以用作汽车独立悬架以及飞机起落架的导向装置、自动装配机的供料机构、铆接机的冲压头、打印机以及步进送料机构等。

附图说明

图1是Peaucellier八连杆机构。

图2是Sarrut机构及其构件的空间连接关系示意图。

图3是本发明提供的单自由度直线平移式空间六连杆机构简图。

图4是空间六连杆机构中的固定基座及两端转轴形成的等腰直角三角形的示意图。

图5是空间六连杆机构的前、后曲柄和前、后摇杆的结构示意图。

图6是空间六连杆机构的末端构件的结构组成简图。

图7是空间六连杆机构的末端构件的剖视图。

图8是空间六连杆机构装配的俯视图。

图9是空间六连杆机构的末端构件沿z轴负方向移动到下限位置时的示意图。

图中：1-前曲柄；2-固定基座；3-前摇杆；4-末端构件；5-后摇杆；6-后曲柄；7-左吊耳；8-左通孔；9-中间平板；10-右通孔；11-右吊耳。

具体实施方式

下面结合附图对本发明的结构、原理及具体实施方式作进一步的说明。

图3是本发明提供的单自由度直线平移式空间六连杆机构的结构简图。其中固定基座2的结构形式及其两端的转轴A(x轴)和F(y′轴)的轴线间的夹角设为ψ，当ψ＝90°时的正交关系如图4所示。该空间六连杆机构包括前曲柄1，固定基座2，前摇杆3，末端构件4，后摇杆5和后曲柄6六个杆件以及六个转动副A、B、C、F、E和D；所述的末端构件4由中间平板9以及设置在两端的左吊耳7和右吊耳11组成，所述的左、右两吊耳所在的两平面非共面且不平行，左、右吊耳所在的两平面与中间平板9的两条交线平行；在左、右吊耳上分别设有与转动副的转轴相匹配的通孔，左、右吊耳分别通过运动链ABC和FED与固定基座2相连接，这两条运动链均为平面RRR运动链；所述的运动链ABC的三个转动副A、B和C的轴线互相平行且都垂直于连杆AB和BC决定的平面；所述的运动链FED的三个转动副F、E和D的轴线互相平行且都垂直于连杆FE和ED决定的平面；所述的连杆AB和BC决定的平面与连杆FE和ED决定的平面之间的夹角与所述的末端构件4上的左、右吊耳平面的夹角相等。

前曲柄1、前摇杆3、后摇杆5、后曲柄6的结构示意图均如图5所示，它们的尺寸可以相同也可以不同，末端连杆4的结构如图6所示，它由中间平板9和两端有外伸的左吊耳面7及右吊耳面11组成，左、右吊耳所在的平面相互垂直；左吊耳面7上设有供转动副连接用左通孔8，右吊耳面11上设有一个供转动副连接用的右通孔10，左吊耳面7和右吊耳面11位于中间平板9的同侧；如图7所示，当左吊耳面7与中间平板9的夹角为135°并且右吊耳面11与中间平板9的夹角也为135°时，该机构在受力和构型稳定性上达到最优，这将在后面加以分析；所述的固定基座2两端与前曲柄1和后曲柄6连接的转轴A和F的轴线互相垂直，其交点o与转动副A和F构成一等腰直角三角形；各结构的具体尺寸可以根据工程需要设定；图8表示了本发明提供的单自由度直线平移式空间六连杆机构装配后的俯视图，根据图8可以发现，末端构件4的中间平板9始终与固定基座2的侧面保持平行，即在图8中，CD//AF而且CD到AF的距离也始终保持不变。该特征正是由本发明提供的单自由度直线平移式空间六连杆机构的结构特点决定的。因此，接下来就分析该机构保持这种特征的运动学原理。

为方便描述本发明提供的单自由度直线平移式空间六连杆机构的运动学原理，这里以转动副A和F的两条轴线所在的平面为xoy平面，以这两条轴线的交点为坐标原点，以转动副A的轴线为x轴建立右手坐标系。当转动副A和F的两条轴线相互正交时，如图4和图8所示，y轴恰好与转动副F的轴线y′轴重合。这样，在图3所示的坐标系内，前曲柄1和前摇杆3所在的平面(连杆FE和ED决定的平面)与xoz平面平行，后曲柄6和后摇杆5所在的平面(连杆AB和BC决定的平面)与yoz平面平行。该对应关系可以从图8所示的机构装配的俯视图中更清晰地看出。

下面来分析末端构件4的自由运动。不失一般性，设转动副F的轴线y′到x轴的夹角为ψ(0°＜ψ＜180°)，转动副A到坐标原点的距离为a，转动副F到坐标原点的距离为b，则可以得到转动副A的坐标为(a 0 0)，转动副F的坐标为(bcosψ bsinψ 0)。在此基础上，可以设转动副B、C、D和E的坐标依次为(a y_B z_B)、(a y_C z_C)、(x_D y_D z_D)和(x_E y_E z_E)。以下分析可知，当ψ＝90°而且a＝b时，ΔoAF构成一个等腰直角三角形；这时，该机构在受力及构型稳定性上达到最优。

在oxyz坐标系下，转动副A、B和C轴线的方向向量均为s₁＝(1 0 0)^T，转动副F、E和D轴线的方向向量均为s₂＝(cosψ sinψ 0)^T。图8所示的机构装配的俯视图表示了当ψ＝90°时的情况。

这样，根据文献【Jing-Shan Zhao，Kai Zhou and et al，A New Method to Study the Degree ofFreedom of Spatial Parallel Mechanisms，The International Journal of Advanced ManufacturingTechnology，Vol.23，No.3-4，February 2004，pp.288-294.】【Jing-Shan Zhao，Zhi-Jing Feng，KaiZhou and De-Wen Jin，Re-analysis on the Degree-of-Freedom Configuration of the Platforms inSpatial Parallel Mechanisms with Constraints Spaces，The International Journal of AdvancedManufacturing Technology，Vol.28，No.1-2，February 2006，pp.190-196.】【Jing-Shan Zhao，KaiZhou and Zhi-Jing Feng，A Theory of Degrees of Freedom For Mechanisms，Mechanism andMachine Theory，Vol.39，No.6，June 2004，pp.621-643.】【Jing-Shan Zhao，Zhi-Jing Feng andJing-Xin Dong，Computation of the Configuration Degree of Freedom of a Spatial ParallelMechanism by Using Reciprocal Screw Theory，Mechanism and Machine Theory，DOI：10.1016/j.mechmachtheory.2006.01.006.】提出的机构自由度的分析理论，可以写出末端构件4的运动链ABC的运动螺旋系为：

$_ABC＝[$_A $_B $_C]                                                 (1)

其中$_A＝(1 0 0 0 0 0)^T

$_B＝(1 0 0 0 z_B -y_B)^T

$_C＝(1 0 0 0 z_C -y_C)^T

显然，$_ABC降秩的条件是：

连杆BC与连杆AB共线                                               (C₁)

进一步分析可知，条件(C₁)可表述为：

$>\left(\begin{array}{}>>>>z>B>>>>->>y>B>>>>>>>z>C>>>>->>y>C>>>>>>=>0>->->->>(>2>)>>>\end{array}\right)$

当条件(C₁)不成立时，运动链ABC的终端约束$^r_ABC可以由互易螺旋理论求出，即$E$^r＝0                                                          (3)

其中$为运动螺旋系， $>>E>=>\begin{array}{}>>>0>>>>I>3>>>>>>>I>3>>>>0>>>>>,>>I>3>>=>\begin{array}{}>>>1>>>0>>>0>>>>>0>>>1>>>0>>>>>0>>>0>>>1>>>>>,>>\end{array}\end{array}$$^r为$的反螺旋系。

由(3)式可以求出$^r_ABC为：

$>sup>>\$>ABC>rsup>>=>>\begin{array}{}>>>1>>>0>>>0>>>0>>>0>>>0>>>>>0>>>0>>>0>>>0>>>1>>>0>>>>>0>>>0>>>0>>>0>>>0>>>1>>>>>T>>->->->>(>4>)>>>\end{array}$

当条件(C₁)成立，即式(2)成立时，运动链ABC的终端约束为：

$>sup>>\$>ABC>>r>>c>1>>sup>>=>>\begin{array}{}>>>1>>>0>>>0>>>0>>>0>>>0>>>>>0>>>0>>>0>>>0>>>1>>>0>>>>>0>>>0>>>0>>>0>>>0>>>1>>>>>0>>>>y>B>>->>y>C>>>>>z>B>>->>z>C>>>>0>>>0>>>0>>>>>T>>->->->>(>5>)>>>\end{array}$

同样，可以写出末端构件(4)的另一运动链FED的运动螺旋系为：

$_FED＝[$_F $_E $_D]                                                   (6)

其中$_F＝(cosψ sinψ 0 0 0 0)^T

$_E＝(cosψ sinψ 0 -z_Esinψ z_Ecosψ x_Esinψ-y_Ecosψ)^T

$_D＝(cosψ sinψ 0 -z_Dsinψ z_Dcosψ x_Dsinψ-y_Dcosψ)^T

而$_FED降秩的条件是：

ED与FE共线                                                       (C₂)

条件(C₂)可表述为：

$>\left(\begin{array}{}>>>\begin{array}{}>>>>x>E>>>>>y>E>>>>>>>x>D>>>>>y>D>>>>>>=>0>>>>>>\begin{array}{}>>>>x>E>>>>>z>E>>>>>>>x>D>>>>>z>D>>>>>>=>0>>>>>>->->->>(>7>)>>>\end{array}\end{array}\end{array}\right)$

当条件(C₂)不成立时，运动链FED的终端约束$^r_FED也可以根据(3)式求得：

$>sup>>\$>FED>rsup>>=>>\begin{array}{}>>>cos>\psi >>>sin>\psi >>>0>>>0>>>0>>>0>>>>>0>>>0>>>0>>>sin>\psi >>>->cos>\psi >>>0>>>>>0>>>0>>>0>>>0>>>0>>>1>>>>>T>>->->->>(>8>)>>>\end{array}$

当条件(C₂)成立，即式(7)成立时，运动链FED的终端约束为：

$>sup>>\$>FED>>r>>c>2>>sup>>=>>\begin{array}{}>>>cos>\psi >>>sin>\psi >>>0>>>0>>>0>>>0>>>>>0>>>0>>>0>>>sin>\psi >>>->cos>\psi >>>0>>>>>0>>>0>>>0>>>0>>>0>>>1>>>>>>x>D>>->>x>E>>>>0>>>>z>D>>->>z>E>>>>0>>>0>>>0>>>>>T>>->->->>(>9>)>>>\end{array}$

因此，当条件(C₁)和条件(C₂)均不成立时，末端构件4所受到的约束为：

$>sup>>\$>6>rsup>>=>\begin{array}{}>>sup>>\$>ABC>rsup>>>sup>>\$>FED>rsup>>>>>>->->->>(>10>)>>>\end{array}$

将式(10)代入(3)式可以求出末端构件4所具有的自由运动为：

$>sup>>\$>4>Fsup>>=>\left(\begin{array}{}>>>0>>>0>>>0>>>0>>>0>>>1>>>>>T>>->->->>(>11>)>>>\end{array}\right)$

因此，(11)式表明末端构件4具有一个沿z轴方向平移的自由运动。显然，当ψ＝90°，即y′与y重合时，(11)式亦成立。因此，该空间六连杆机构的末端构件4在ψ∈(0°，180°)的任意ψ值下都可以做单自由度定直线的平移运动；而Sarrut机构只是ψ＝90°时的一种特殊形式。

下面再讨论一下当条件(C₁)、(C₂)成立时的情况。

1.当条件(C₁)成立但条件(C₂)不成立时，术端构件4所受到的约束为：

$>sup>>\$>4>rsup>>=>\begin{array}{}>>sup>>\$>ABC>>r>>c>1>>sup>>>sup>>\$>FED>rsup>>>>>>=>\begin{array}{}>>>1>>>cos>\psi >>>0>>>0>>>0>>>0>>>>>0>>>sin>\psi >>>0>>>0>>>0>>>>y>B>>->>y>C>>>>>>0>>>0>>>0>>>0>>>0>>>>z>B>>->>z>C>>>>>>0>>>0>>>sin>\psi >>>0>>>0>>>0>>>>>0>>>0>>>->cos>\psi >>>1>>>0>>>0>>>>>0>>>0>>>0>>>0>>>1>>>0>>>>]>>->->>(>12>)>>>\end{array}\end{array}$

由于0°＜ψ＜180°，因此，根据(12)式可知，只要z_B-z_C≠0，$₄^r的秩就等于6，即 $>>R>>(sup>>\$>4>rsup>>)>>=>6>.>>$因而，根据(3)式可以求出末端构件4所具有的自由运动为零。

2.当条件(C₂)均成立但条件(C₁)不成立时，末端构件4所受到的约束为：

$>sup>>\$>4>rsup>>=>\begin{array}{}>>sup>>\$>ABC>rsup>>>sup>>\$>FED>>r>>c>2>>sup>>>>>>=>\begin{array}{}>>>1>>>cos>\psi >>>0>>>0>>>0>>>>x>D>>->>x>E>>>>>>0>>>sin>\psi >>>0>>>0>>>0>>>0>>>>>0>>>0>>>0>>>0>>>0>>>>z>D>>->>z>E>>>>>>0>>>0>>>sin>\psi >>>0>>>0>>>0>>>>>0>>>0>>>->cos>\psi >>>1>>>0>>>0>>>>>0>>>0>>>0>>>0>>>1>>>0>>>>>->->->>(>13>)>>>\end{array}\end{array}$

由于0°＜ψ＜180°，因此，根据(13)式可知，只要z_D-z_E≠0，$₄^r的秩就等于6，即 $>>R>>(sup>>\$>4>rsup>>)>>=>6>.>>$因而，根据(3)式可以求出末端构件4所具有的自由运动为零。

3.显然，当以上两种情况1和2均成立时，末端构件4的自由运动必为零。

综上所述，只要上述3种情况中有一个成立，末端构件4的自由运动就必为零。因此，要使末端构件4具有(11)式所描述的自由运动，就必须保证该空间六连杆机构避开在转动副A、B和C共线或转动副F、E和D共线的位置运动。这实际上界定了末端构件4做单自由度定直线运动的范围或行程，下面就根据这一约束条件来分析末端构件4做单自由度定直线运动的范围。

在图3所示的机构中，采用了对称的结构布置，即前曲柄1和后曲柄6的杆长相等并设为l₁，前摇杆3和后摇杆5的杆长也相等并设为l₂，投影线ABC与基座AF的夹角和投影线FED与基座AF的夹角均为45°。同时，设末端构件4的左、右通孔中心距CD为l₃，固定基座2的边AF的长为l₄。

下面分析上述这些结构参数与末端构件4可做的直线行程的关系。设在俯视图8中，末端构件4到固定基座2的距离为h。不难发现，当转动副A、B、C向下运动到三点共线的极限位置时(如图9所示)，由于结构的对称性，转动副F、E、D也恰好向下运动到三点共线的极限位置。这时，末端构件4从与基座共面的水平位置向下平移的距离S可以根据直角三角形的勾股定理表示为：

$>>S>=>>>>(>>l>1>>+>>l>2>>)>>2>>->>>(>>>>l>4>>->>l>3>>>2>>)>>2>>->>h>2>\; >->->->>(>14>)>>>$

同样的，末端构件(4)也可以由水平位置向上移动S的距离后到达上极限位置。因此，该机构末端构件4的移动行程z在图3所示的坐标系下应满足：

根据上面的分析，可以发现，末端构件4在(15)式定义的范围内具有严格单自由度定直线的自由运动。由于Sarrut机构的移动行程仅限于静平台A₁A₂以上到动平台的距离内，因此，相对于Sarrut机构，本发明的单自由度直线平移式空间六连杆机构末端构件4的移动范围z要更大一些，其移动范围z也完全取决于连杆的结构参数l₁、l₂、l₃、l₄和h。因而，根据工程需要的范围z，运用(15)式就可以设计和优化出上述的5个主要参数的最佳值。

当前曲柄1和后曲柄6以及前摇杆3和后摇杆5的长度均不同时，也可以类似推出末端构件4的移动行程。

因此，本发明不仅通过连杆和转动副实现了机构的单自由度直线平移运动，而且仅需要六个连杆和六个转动副就可以使机构中的末端构件4实现精确的直线平移运动，其直线移动行程可以用(15)式表示。这就克服了现有技术中“要想实现精确的直线运动，至少需要六个构件、七个转动副”的技术偏见。而导致这种偏见的原因是在机构综合中运用了传统的存在缺陷的机构自由度计算公式，有关这方面的分析参见文献【Jing-Shan Zhao，Kai Zhou and etal，A New Method to Study the Degree of Freedom of Spatial Parallel Mechanisms，TheInternational Journal of Advanced Manufacturing Technology，Vol.23，No.3-4，February 2004，pp.288-294.】【Jing-Shan Zhao，Zhi-Jing Feng，Kai Zhou and De-Wen Jin，Re-analysis on theDegree-of-Freedom Configuration of the Platforms in Spatial Parallel Mechanisms with ConstraintsSpaces，The International Journal of Advanced Manufacturing Technology，Vol.28，No.1-2，February 2006，pp.190-196.】【Jing-Shan Zhao，Kai Zhou and Zhi-Jing Feng，A Theory of Degreesof Freedom For Mechanisms，Mechanism and Machine Theory，Vol.39，No.6，June 2004，pp.621-643.】【Jing-Shan Zhao，Zhi-Jing Feng and Jing-Xin Dong，Computation of theConfiguration Degree of Freedom of a Spatial Parallel Mechanism by Using Reciprocal ScrewTheory，Mechanism and Machine Theory，DOI：10.1016/j.mechmachtheory.2006.01.006.】。

在这一部分的最后，我们再来分析一下(11)式所描述的末端构件4所具有的自由运动。根据(11)式可知，末端构件4具有沿z轴方向(竖直方向)的一个平动自由度。因此，要想保证该结论的成立，(10)式所描述的系数矩阵$₆^r的秩必为5。根据(10)式，我们有：

$>sup>>\$>6>rsup>>=>\begin{array}{}>>>1>>>cos>\psi >>>0>>>0>>>0>>>>>0>>>sin>\psi >>>0>>>0>>>0>>>>>0>>>0>>>0>>>0>>>0>>>>>0>>>0>>>sin>\psi >>>0>>>0>>>>>0>>>0>>>->cos>\psi >>>1>>>0>>>>>0>>>0>>>0>>>0>>>1>>>>>->->->>(>16>)>>>\end{array}$

矩阵$₆^r的秩为5的充分必要条件是其子矩阵A的行列式不为零，其中

$>>A>=>\begin{array}{}>>>1>>>cos>\psi >>>0>>>0>>>0>>>>>0>>>sin>\psi >>>0>>>0>>>0>>>>>0>>>0>>>sin>\psi >>>0>>>0>>>>>0>>>0>>>->cos>\psi >>>1>>>0>>>>>0>>>0>>>0>>>0>>>1>>>>>->->->>(>17>)>>>\end{array}$

令|A|＝0可得

ψ＝0°或ψ＝180°                                               (18)

(18)式表明了我们限定0°＜ψ＜180°的原因，进一步，由于cond(A)₂≥1，若令其中cond(A)₂表示表示矩阵A的条件数，‖A‖₂表示矩阵A的2-范数，λ(A^TA)表示A^TA的特征值，>

$>>cond>>>(>A>)>>2>>=>>>|>|>A>|>|>>2>>>>|>|>>A>>->1>>>|>|>>2>>=>>>>>\lambda >max>>>(>>A>T>>A>)>>>>>\lambda >min>>>(>>A>T>>A>)>>>\; >=>1>->->->>(>19>)>>>$

则可以求出

ψ＝90°                                                         (20)

(20)式表明当ψ＝90°时，矩阵A的条件数恰好取最小值1。这表明当ψ＝90°时，该空间六连杆具有最好的构型稳定性。这就是在权利要求书的从属权中要求转动副A和转动副B的轴线正交的原因。在从属权中，我们还要求：设置在所述末端构件4两端的非共面且不平行的左吊耳7和右吊耳11位于所述中间平板9的同侧，所述的左、右吊耳所在的平面与中间平板的夹角均为135°；所述的固定基座2两端与前曲柄1和后曲柄6连接的转轴A和F的轴线互相垂直，其交点o与转动副A和F构成一等腰直角三角形。这是从构件受力最优的角度得出的更进一步的要求。这里略去了具体推导过程。

相对于Peaucellier八杆机构仅能使一个特定的点做直线运动来说，本发明所提供的单自由度直线平移式空间六连杆机构的末端构件4可以做整体的定直线平移，并且结构更为简单；相对于Sarrut机构，本发明所提供的单自由度直线平移式空间六连杆机构无须要求两运动链连接上、下矩形平台的对应邻边，因而具有更广泛的ψ角适应范围，而且直线移动的行程更大，机构本身所占空间相对较小。因此，也更有利于工程应用。另外，本发明的从属权中还指出当所述的连杆AB和BC决定的平面与连杆FE和ED决定的平面之间的夹角与左右吊耳所在平面的夹角都等于直角，并且所述的左、右吊耳所在的平面与中间平板的夹角均为135°；所述的固定基座2两端与前曲柄1、后曲柄6连接的转轴A和F的轴线互相垂直，其交点o与转动副A和F构成一等腰直角三角形时，该机构在构型稳定性和受力上都达到了最好。本发明可作为导向机构应用于任何需要做定直线平移运动的机械结构中。