过程控制装置及调整过程控制装置中控制器的工作参数的方法

摘要

一种过程控制装置和控制系统，它观察在控制在控制回路中的过程的设定值与来自过程过程控制变量之间的偏移波形，使得工作参数根据基于波形的每半周的绝对值的所得的偏移，按照预定的调整规则调整工作参数。因此，如果过程受控变量受到扰动，则波形面积不会明显变化，结果工作参数可被正确调整，从而使过程受控变量迅速与设定点相一致。

说明书

本发明涉及至少具有一个控制环路的过程控制装置，该控制环路用于至少通过它的比例一积分或比较-积分-微分操作把该过程的过程控制变量反馈控制到一个设定点上。更具体地说，本发明涉及一种能自动调整工作参数的过程控制装置和调整该过程控制装置中所用的控制器的工作参数的方法。

过去，过程控制装置的PID控制器中PID控制参数的调整是由正在观察控制变量中的变化的操作人员手工进行的。这样产生的问题是：调整工作费时，且调整结果受到操作人员个人因素的不同影响。

另一方面，已经提出了种种以控制理论为基础的系统，其中均将一设置测试信号加于待控制的对象上以便建立过程的动态特征，并在设置结果的基础上将控制参数变为最佳值。然而，在这些建议中，可以预料由于施加设置测试信号而引起的控制变量的波动而降低了质量，或者特别是在高度非线性的设备中发生不利的异常状态，而且除非在每次该可控对象的动态特征改变时都进行设置测试，否则就不能得到工作参数的最佳值，因此使调节操作非常棘手。

如在“专家自调整控制器”《测量技术》PP66-72，1986、11，“根据专家方法进行PID自调整”《测量技术》PP52-59，1986，11，JP-A-62-108306及JP-A-61-245203中所描述的，已知有几种启发法，用这些方法都是考虑到受控变量的响应的形状而进行控制参见的调整的。

上述方法中的每一个都按预定的关系并根据过调量的效果来修正工作参数的。该过调量是用于通过使用探测得到的实际控制响应波形的极形值来估算可控性或振辐衰减率的。上述这些方法可能包括这样的缺点：如果该过程控制变量被噪声干扰，该实际控制响忆波形的极值的探测就会发生误差，从而引起不能正确获得过调量或振辐衰减率。这就产生了不能准确地修正工作参量的问题。

本发明的发明人已在日本专利公开No.63-247801中公开了一种与具有能调整PID工作参数功能的PID控制器相关的技术。根据上面所述的PID控制器观察控制响应波形，并用由观察结果计算出的一个计值指数来按对应于多个控制响应波形的一调整规则调均该PID工作参数，并以模糊推理为基础。根据上述PID控制器的自动调整装置，输入该设定点和该过程控制变量，仅观察该设定值或由于扰动的变化所产生的过程控制变量的响应波形，从而调整PID工作参数。

不过，靠观察因设定值的变化所产生的控制响应波形来调整工作参数的最佳值和靠观察由于扰动作用而产生的控制响应波形来调整工作参数的最佳值彼此是不同的，所以，根据上述PID控制器，在同时存在着设定点和扰动作用的控制环路中的调整有时不能集中在一点，因而导致选择适当的调整方式的要求。

而且，在所控制的过程为多变量过程的情况中，控制响应是由于设定点的改变，已知的扰动的作用和一个由其它控制环路来的干扰（称为“未点扰动”）生成的，因此，需要一种多变量过程控制装置，该装置有一个即使存在上面所述的因素混杂的情况也能稳定地把调整集中在一个适当的过程响应的自动调整装置。

在《测量技术》1987年11月出版的第13届系统论文集中，论文“以模糊推理为基础用于PID控制器的自动调整系统”中披露了一种调整过程控制装置中控制器的工作参数的方法。这种方法是从该设定点阶跃变化时过程控制变量的响应波形中求出过调量E、衰减率D，振荡同期系数R等诸如此类的特征量，然后在模糊推理的基础上根据如此获得的特征量确定工作参数。模糊推理表示下列关于按模糊规律的定性表达的调整规则，并根据用模糊规律进行模糊运算得到的特征量来确定工作参数。该调整规则是“若过调量E和衰减率D大，则比例增益K_p和导数时间T_cl小”（调整规则的一个例子）。

迄今为止，传统技术都需要几十个模糊规律，且这些模糊规律（即调整规则）必须不包括任何一点不一致性。因此，产生的问题是建立这样的调整规则要花太长的时间。

在仪表和控制工作协会的会刊第5卷第4期的PP549/555（1979、8）上有这样一篇论文“根据对可控对象的部分了解来控制系统的设计方法”，其中就叙述了一种调整过程控制装置中PID控制器的工作参数的部分模型匹配方法。

上述部分模型匹配方法是一种确定PID控制器2的工作参数的方法，以便使过程控制变量y（S）相对于设定点r（s）的闭环传递函数W（s），与表示响应令人满意的参考模型的传递函数W_r（s）拉普拉斯部分地重合。那末就可以由最初延迟+停滞（deadtime）时间系统未逼近过程1的传递函数G_p（s）的情况。

G_p（s）＝>s)>-LS…（1）

其中，K为增益，T为时间常数，L为停滞时间。

PID控制器的传递函数G_c（s）可表述为：

G_c（s）＝K_p（1+>is)>ds）>

过程控制变量y（s）相对于设定点r（s）的闭环传递函数W（s）可这样表达：

W（s）＝ (G_c（s）G_p（s）)/(1+G_c（s）G_p（s))>

将等式（1）和（2）代入（3）得出：

(4)

延迟时间传递函数e^-Ls的麦克劳纶展开式为

$e^{\mathrm{-Ls}}=\frac{1}{S_{}+\frac{1}{\mathrm{2！}}{S}_{}{2}^{}+\frac{1}{\mathrm{3！}}{S}_{}{3}^{}\mathrm{+>}}\mathrm{\dots (5)}$

另一方面，参考模型的传递函数Wr（s）可以由下式得出：

其中，αi为系数，δ为时间比例系数。

为了使通过将式（5）代入式（4）得到的过程控制变量y（s）相对于设定点r（s）的闭环传递函数W（s）与由等式（6）表示的参考模型的传递函数W（s）部分一致，必须建立下列等式：

由等式（7）得出下列等式（8）～（11），便确定了PID控制器的工作参数K_p、T_i和T_d，以及时间比例系统δ。

K_p＝>i)/(Kσ)>

T_i＝L+T-α₂σ>

T_d=>i)>2)/(2!)>2σ+(α₂²-α₃)σ²}…（10）

f(σ)=(2α₂α₃-α₂³-α₄)σ³+(L+T)(α₂²-α₃)σ²

-(>2)/(2!)>2σ+(>3)/(3!)>2)/(2！)>

由于方程（11）是三次方程，因此需要复杂的计算来通过解该三次方程来确定作为时间比例系统δ的最小正实根。这就造成了用微机解上述算式要花费太长时间的问题。所以，需要一个简单的方程。根据关于Kitamori模型（α2＝0.5，α3＝0.15，α4＝0.03，……）的各种最初延迟+停滞时间系统计算方程（11）的最小正实根的结果的研究，发现时间比例系数δ可以近似成下式：

δ＝1.37L    ……（12）

但是，这样做的问题是方程（12）的近似准确度在停滞时间L与时间常数T的比值比较小或比较大的区间内不能令人满意。

此外，用上述常规的技术不能调整控制响应的上升时间。

本发明的目的是提供一种能不用操作人员劳动、不需要向待控制的过程施加识别测试信号以及没有任何噪声影响而准确、自动地调整工作参数的过程控制装置。

本发明的另一目的是提供一种由多个控制环路形成的多变量过程控制装置，该装置具有不用操作人员劳动、不需要向待控制的过程施加识别测试信号，即使改变设定点和存在已知扰动和未知扰动作用时都能稳定地调整各控制环路中控制器的工作参数的自动调整装置。

本发明的又一个目的是提供一种调整控制器的方法，用这种方法能缩短建立调整规则的结构所需的时间。

本发明的再一个目的是提供一种利用在宽的L/T范围内精确得到的方程（11）的近似解调整PID控制器的工作参数的方法，L/T为停滞时间L与时间常数T的比。

本发明还有一个目的是提供一种能够调整其控制响应的上升时间的PID控制器的工作参数的调整方法，该控制响应的上升时间能确定工作参数。

为了达到上述目的，本发明的过程控制装置将一个过程的过程控制变量反趁控制在一个设定点并至少要进行比例-积分操作，该过程控制装置包括：控制响应观察装置，用于观察因改变设定点或扰动作用在设定点和过程控制变量间出现的控制偏移的波形，并通过将该控制偏移的绝对值在每半个周期内进行时间积分来计算一个面积值;估算指标计算装置，用于根据设定了控制响应后的面积值计算出一个计值指数;工作参数修正系数推理装置，用于接收该计值指数并根据模糊推理按照定性表达该计值指数的级和工作参数的值之间关系的调整规则来推断这些工作参数的修正系数;以及工作参数调整值计算装置，用于借助于修正系数和工作参数现行值的乘积计算该工作参数的修正值。

根据本发明的过程控制装置，当控制偏移超过一预定值时通过控制响应观察装置开始观察控制响应，以便能迅速探测出该过程的动态特征变化。而且，即使该过程控制变量受到噪声的扰动，通过获得控制偏移的面积值总是能准确地得到计值指数。工作参数修正系数推理装置按与熟练的操作人员类似的方式利用模糊推理来调整工作参数。所以，通过定量地测定用于测定该过程控制变量的快速响应的面积过调量、面积衰减率（用面积值表示控制响应的过调量和衰减率及其面积值之和）以获得各个工作参数的修正系数就能得到这些工作参数的调整值。

提供一个能够用最合适的方法调整各个控制器（如PID控制器）的工作参数的自动调整方法就能达到上述目的，所提供的自动调整方法是自动工作的。此外，自动调整包括：

响应生成因子识别方法，用于接收该设定点、过程控制变量来自控制器的输出和加在输出上的已知扰动，并识别该响应生成因子是设定点、已知扰动，还是未知扰动中的哪一个;波形观察方法，用于观察设定点和过程控制变量，并在响应生成因子为设定点和未知扰动时计算半个周期中控制偏移的面积值，在响应生成因子为已知扰动时观察计算从每一控制器输出和已知扰动的偏移之和的每半个周期的面积值的波形。计值指数计算功能，用于获取面积过调量、面积衰减率和每半个周期中前一个面积值的和与现行面积值的和的面积比;工作参数修正系数推理功能，用于根据与响应波形相应的多个以模糊推理为基础的调整规则定量估算出计值指数并推断出工作参数的修正系数;测定控制性能满意程度功能，用于根据模糊推理对所需的控制规范获得与该满意程度相应的加数系数;以及工作参数调整值计算功能，用于通过把工作参数的现行值加到工作参数和加权系数的修正系数及工作参数的现行值的积上求得工作参数的调整值。

根据本发明的多变量过程控制装置，响应生成因子识别功能在设定点或控制偏移超过预定值时开始观察过程控制变量的响应波形，而在已知扰动超过预定值时开始观察由该控制器输出的响应波形。结果该自动调方法置就能够自动调整各个控制器的工作参数。而且，还能迅速地探测待控制过程的动态特征变化。因为波形观察功能通过对，例如，控制偏移进行时间积分而获得面积值，所以甚至在过程控制变量受到噪声扰动时也总是能准确地求得计值指数。该计值指数计算功能以面积值使用面积过调量、面积衰减率以及前一个总面积值和现行总面积值的比来代替常规的计值指数，如使用极值的过调量及振辐阻尼率。工作参数修正系数推理功能用模糊推理来控与熟练的操作人员类似的方式调整工作参数，并定量地计算计值指数以便推断出工作参数的修正系数。因此，工作参数可以象由熟练的操作人员所做的那样得到较好的调整。控制性能满意程度的功能由现行的控制性能得到相对于所需规范的满意程度。它根据模糊推理进一步求得加权系数，以便用它来补偿工作参数的修正系数。因此，这些工作参数可以是稳定地收敛的。

为了达到上述这些目的，用标准二次系统模型来逼近该控制系统，测量该控制系统的阶跃响应，并根据测量的结果推导该控制系统的阻尼系数&和固有角频率ωn，调整控制器的该参数以使上述各值变为所希望的水平。由于控制系统是以一个标准二次系统模型逼近的，测量了控制系统的阶跃响应，以及控制系统的阻尼系数&及固有角频率ωn是由测量结果推算的，并且控制器的参数是调整为使得上述各值成为较佳水平的，因此，虽然包含有近似所产生的误差，仍能进行定量的预测。所以，能在短时间内建立起调整规则。

为了达到上述那些目的，掌握方程（11）所定义的f（s）的示意形状，根据此示意形状求出方程（11）的近似解，并用此近似解确定PID控制器的工作参数。

而且，为了提供能够调整控制响应的上升时间的PID控制器的工作参数的调整方法，用L的函数来表达时间比例系数S，并增加/减少这一函数的系数以便加快或延缓控制响应的上升，该控制响应根据等式（8）、（9）和（10）定义了工作参数。

方程（11）的最小正实根的真值为停滞时间L和时间常数T的比L/T，与停滞时间L的函数。

因此，方程（11）的最小正实根的近似解也作为L/T，和停滞时间L的函数得出。因而能提高方程（11）近似解的精确性。

当时间比例系数S改变时，控制响应的上升时间也改变。时间比例系数δ由停滞时间L的函数来表示，停滞时间L是表示该过程特征的关键参数，该延迟时间能用最初延迟+停滞时间系来近似。当通过增加/减少该函数来增加/减少时间比例系数S时，停滞时间L的特征被反射到工作参数K_p、T_i和T_d。因此，能在保持稳定的控制响应的同时加快或延缓响应上升时间。

本发明的其它目的、特征和优点从下面的叙述中将表现得更完整。

图1说明本发明一个实施例的自动调整工作参数的系统中功能（装置）的结构;

图2示出设定点阶跃变化时，过程控制变量响应波形的观察结果;

图3至图5分别为测定面积过调量的成员函数、测定面积衰减率的成员函数，以及测定总面积比的成员函数;

图6示出调整规则的一个例子;

图7说明一个工作参数修正系数的成员函数;

图8说明以模糊推理为基础获得工作参数修正系数的方法;

图9为解释本发明自动调整功能的流程图;

图10和11说明按本发明的自动调整过程;

图12说明设定点阶跃变化时的控制偏移与平均偏移之间的关系;

图13示出本发明的多变量过程控制装置;

图14说明本发明多变量过程控制装置所用的自动调整装置的功能和结构;

图15示出根据模糊推理获得加权系数的方法;

图16为说明本发明如图16A和16B所示的自动调整装置的简单流程图;

图17、18、19和20示出本发明一个实施例的特征;

图21和22说明本发明该实施例的系统和特征;

图23，24，25和26说明本发明另一实施例的特征;

图27说明本发明的又一实施例;

图28、29、30和31示出根据本发明求出时间比例系数δ的近似表达式的过程;

图32和33示出为解释本发明该实施例的效果而进行的模拟的结果;

图34为根据本发明的一个实施例求出该时间比例系数δ的近似表达式的过程;

图35和36示出为解释本发明的另一实施例的效果而进行的模拟的结果;

图37说明变量参考模型的传递函数。

下面参照附图1至12对本发明的第一个实例进行描述。

从图1中的控制环路可以看出，过程控制装置1（例如PID比例-积分-微分）对一个控制偏差信号进行运算，该信号是通过对设置点SV和过程控制变量PV进行比较而得到的。然后把结果作为处理变量送给受控制的过程2。过程控制装置1的自动功能（装置）3包括一个控制响应观察求值功能（装置）4（Control    Response    Observation    Evaluation    Function）和一个工作参数修正功能（装置）5。功能（装置）4包括一个控制响应观察功能（装置）4a和一个求值指数计算功能（装置）4b。功能（装置）5包括一个调整规则5a，一个工作参数修正系数推理功能（装置）5b和一个工作参数调整值计算功能（装置）5c。

下面对这些功能（装置）进行说明。控制响应观察功能（装置）4a对设置点SV和过程控制变量PV进行持续监测，以便在过程控制变量已经被设置到设置点SV之后，当设置点SV和过程控制变量PV之间的控制偏移信号超过某一预定值时开始观察控制响应。在开始观察的同时，每当控制偏差极性变化时连续得到通过对控制偏移绝对值进行时间积分得出的面积值，也就是说，在每个半周期，只有在单极控制偏移持续的期间内的面积值才被连续得到。当过程控制变量PV已经设置到设置点SV时，上述观察操作便结束了。此时，求值指数计算功能4b从得到的若干面积值中得到面积过调节量，面积衰减率和总面积比，后者是面积值的前面的和与当前和之间的比。下面将参考附图2对面积过调量，面积衰减率与总面积比的获得方式进行说明。

图2说明了当设置点SV已经从Y₀阶跃到Y₁时过程控制变量的时间响应的一个例子。图2中的情况表明，其值为设置点SV和过程控制变量PV间之差的控制偏差信号的极性在时间t₁，t₂和t₃是变化的，在时间t₄则稳定下来。在此情况下，通过在每个半周期对控制偏差绝对值进行时间积分得到面积值A₁，A₂，A₃和A₄（第一、二、三、四面积值）。每个面积过调量E、面积衰减率D和总面积比R的计算指的是下式得到的：

E＝A₁/A₁（第一求值指数）

D＝A₃/A₂（第二求值指数）

R＝∑Ai，n-1/∑Ai，n（第三求值指数）

在此n-1和n各自代表以前的调整试验和当前的调整试验。如果A₂得不到，则把一个负伪值置到D，而可以在第一次试验时把“1”置给R。

下面说明使用模糊推理的工作参数修正系数推理功能5b。为了定性地求出过调量E，面积衰减率D的值和总面积比R的值在这里对图3至5中所示的成员函数进行定义。参考这些图，符号E（i）（i＝1～5），D（i）（i＝1～3），R（i）（i＝1～3）代表了用以定义相应的成员函数的常数。符号PB，PM，ZE和NB是给这些用以定性求值的成员函数的名字，这些名字的意义如下：

PB：正向大（大）

PN：正向中等（中）

ZE：0（适当）

NB：负向大（小）

图中纵座标轴代表成员值G，它表示定性程度。图6表示了相对于过程控制装置1使用上述成员函数并把PID控制器作为对象时产生的变量控制响应的P、I、D的每个工作参数的调整规则5a的一个例子。

例如，规则2的含义是“假如（E是PB，D是PM，R是PB）则（CKP是NB，CTI是NB，CTD是ZE）”。接着“假如”的部分是“条件部分”，而接着“则”的部分则称为“结论部分”。CKP代表比例增益，CTI代表积分时间修正系数，CTD代表微分时间修正系数。图7说明了把已经定性确定的工作参数修正系数转换成定量值的成员函数。图7中的符号C（i）（i＝1-4）代表了定义成员函数形状的常数。符号PB，ZE，NB是对用以定性表示每个工作参数修正系数的值的成员函数所起的名字，符号PB，ZE，NB相应于图3～5中所用的名字。参见附图，纵座标轴代表了成员值G。下面参考图6中中应用规则2和3的情况说明获得工作参数修正系数的方法。图8说明了基于模糊推理确定比例增益修正系数CKP的方法，通过图3～5所示的每个成员函数可以得到由过程控制变量响应观察功能4得到的每个面积过调量E₀、面积衰减率D₀、总面积比R₀的程度。根据规则2，这些值变成Gep，Gdm，Grp，而根据规则3，这些值变成Gep，Gdm，Grz。对符合相应规则的每个值进行交集（最小值）运算，从而得到每一规则的拟合优度。结果，得到规则2的拟合优度Grp和规则3的拟合优度Grz。然后根据每个规则的拟合优度对每个规则的结论部分的成员函数加权。然后计算它们的集的和（最大值），从而把它们的重心的值作为比例增益修正系数CKPO。积分时间和微分时间的修正系数CTI和CTD也以类似方式得到。

工作参数调整值计算功能装置5c把从工作参数修正系数推理功能5b得到的工作参数的修正系数乘以工作参数的当前值，从而确定PID工作参数每个调整值。

图9中的流程图说明了自动调整功能3执行的过程。框10表示在一预定期间输入SV和PV，每次进行这样的输入时都要确定一个状态标识，表示自动调整功能3执行的处理的状态。当状态标志为零时，表明控制响应处于监视状态，当其为“1”时，表明控制响应处于观察求值状态，当其为“2”时，表示处于工作参数计算状态。当状态标志为零时，在方框12确定控制偏移信号是否已超过一预定值。如果已经超过了预定值，在框13将状态标态置为“1”，从而实现观察控制响应的状态;如果没有超过，则保持监视控制响应的状态。如果在框11确定出状态标志为“1”，则进入框14，在此，当控制偏差的极性与前面状态相同时，便继续执行控制偏差绝对值的时间积分处理。如果极性不同于前面状态，便把前面状态的时间积分结果作为面积值存起来。上述过程一直进行到PV设置到SV（观察结束）。上述处理流程与控制响应观察功能4a相应。当观察结束时，在框16（求值指数计算功能装置4b）得到求值指数（面积过调量，面积衰减和总面积比）。然后进入框17，把状态标志置为“2”，实现计算工作参数的状态。在框11如果已经确定状态标志是“2”，则进入框18（工作参数修正系数推理功能5b），得到工作参数的修正，并且在框19（工作参数调整值计算功能5c），连续得到工作参数的调整值。过程控制装置1在执行控制操作时使用得到的工作参数调整值。框19的处理结束后，进入框20，在此，状态标志被复位成零，重新实现监视控制响应的状态。

图10和11表示本发明的过程控制装置应用于二次延迟和控制“停滞时间”特征的情况下重复设置点SV的阶跃时自动调整的过程。图10表示过程控制变量PV没被噪声扰动的情况，图11表示它被噪声扰动的情况。从两图中可知，在很短时间内，经过三次试验就满足了目标控制规范（面积过调量，5-10%，面积衰减率，0-0.5）。

如上所述，根据该实施例，即使噪声扰动了过程控制变量，也能实现准确自动调整。

本例中的控制响应观察功能（装置）得到用作为求值指数的控制偏差信号每半个周期的面积值。如图12所示，为了得到同样效果，可使用一种设置，它的构成方式是利用通过把每半周期的面积值A₁，A₂，…除以每个持续时间t₁，t₂，……得到每个半周期的平均偏差e₁，e₂，……，并得到作为第一和第二求值指数的过调量E和衰减率D。

E= (e₂)/(e₁)

D= (e₃)/(e₂)

根据上述例子，把总面积比率用作第三求值指数，对控制响应的快速响应特征进行求值。但是也可使用另一种设置，其中过程控制变量PV相应于例如图2所示设置点阶跃达到第一阈值（大约SV可变范围的5%）和第二阈值（大约SV可变范围的60%）所用的时间，将其作为停滞时间L和上升时间T。另外可以使用上升时间比，它是目标上升时间（停机时间L乘以一个预定值而得到）与检测的上升时间T之间的比率。另外，可以使用一个设置时间比，它是控制响应设置时间t₄的以前的值和当前值之间的比率。

根据上述例子，把面积过调量，面积衰减率和总面积比用作求值指数。但是，也可以仅使用面积过调量，或仅使用面积衰减率。此时，虽然快速响应特征在某种程度变差，但也能保持本发明的要旨。

在把面积值用作控制响应观察求值功能装置4的第二求值指数时，如果设D＝（A₃+A₄）/（A₂+A₃），则保持了本发明的要旨。在使用平均偏差时，如果设D＝（e₃+e₄）/（e₂+e₃），则保持了本发明的要旨。另外，当要得到同样效果时，不但可以有选择地确定成员函数的形式，也可有选择地确定其数量。

根据本发明的过程控制装置，由于工作参数可以被自动调整，大大减轻了工人的调整工作劳动，还可以消除调整工作结果中的个人因素判别。另外，由于没有标识信号，可在不扰乱被控制过程情况下调整工作参数。另外，由于不用人工便可快速检测被控过程中产生的动态特征变化，可以总是维持最适当的控制特征。另外，由于可以基于控制偏移的面积值对控制响应状态进行评估，可以自动实现调整而不受噪声影响。

下面参照附图13-15说明本发明的第二实施例。图13说明一个多变量过程控制装置，它包括两个本发明的控制环路。PID控制器102对设置点SV1和过程1的过程控制变量间比较后得到的控制偏移进行PID计算。然后已知干扰DTB（例如一个负载）被加到PID计算结果输出CD1上，从而将操作变量NV₁送入过程101。PID控制器103对设置值SV102和过程101进行比较后得到的控制偏移进行PID计算，从而把输出DD2（操作变量MV2）送入过程1。自动调整装置104提供设置点SV1、过程控制变量PV1、已知干扰DTB和PID控制器102来的输出C01，并把工作参数调整值送到PID控制器102。自动调整装置105提供设置点SV2、过程控制变量PV2、PID控制器103的输出C02（在没有已知干扰时，使用输出CL102，将其作为已知干扰送入自动调谐装置105），它还把工作参数调整值送给PID控制器103。

图14说明了自动调整装置104和105的功能和结构，它们包括：一个响应生成因子识别功能111、波形观察功能112，估算指标计算功能113，工作参数修正系数推理功能114，控制性能满意度求值功能115和工作参数调整值运算功能116。功能114则包括一个模糊推理功能114a和一个调整规则114b。功能115则包括一个模糊推理功能115a和一个加权规则。

然后将说明上述的功能。响应生成因子识别功能111总是监测着设置点SV、过程控制变量PV、已知的干扰DTB以及控制器的输出CO;并在过程控制值PV与控制器输出CO互相稳定后，把设置点SV、过程控制变量PV、已知的干扰DTB及输出CO作为响应生成前的数值（各初始值（存储起来。这样，对设置点SV、控制偏移和已知的干扰DTB的变化范围是否超过了预定值就可按上述顺序得到监测，从而使响应生成因子被识别。当响应产生因子被确定后波形操测功能开始其探测。在响应生成因子是设置点SV或已知干扰的情况下（即在控制偏移超过了一预定值的情况下），则根据波形可探测到控制偏移，即设置点SV与过程控制变量PV之间的差。每当控制偏差的极性变化时，通过对控制偏转的绝对值进行时间积分得到的面积值可以持续地获得，即只对保持着同极性控制偏移的一个时期内的每半周而言。当控制偏移互相稳定时，这一观察便完成了。另一方面在控制偏移是已知的干扰DTB的情况下，根据它们的波形可观察到控制器的输出CO的各初始值与已知的干扰DTB之和，从而用类似上面说明了的方法得到每半周的面积值。当偏移之和稳定后，观察完成。指数计算功能13得到面积过调量、面积阻尼率以及原来的总面积与现在的总面积之比。由于获得上述因子的每个方法都与图3-8所示的第一实施例的方法相同，在此将其说明省略。

下面将说明控制性能满意程度评估功能装置15。它得到一个加权系数W，加权系数W是从面积过调量E、面积阻尼率D和面积比R得到的，而它们则是以遵循加权规则115b的模糊推理功能115a为基础，通过评估指数计算功能113获得。如图15所示，为了定性地评估面积过调量E、面积阻尼率D和面积比R的目标控制规范的满意程度，要定义一个称之为ZO（满意的）的成员函数。还有，为了定性地评估加权系数，要定义一个称之为PS（小的）成员函数，而作为加权规则提供下列规则：

如果（E为ZO与D为ZO与R为ZO）则W为PS

即，如果E、D和R均为20，则W是PS。图10说明了根据模糊推理来决定加权系数的方法。由计算指数计算功能13获得的计值指数E₀、D₀和R₀的各满意程度Ge、Gd和Gr是从成员函数获得的，从而获得一个作为由上述满意程度的最低值Ge加权的加权值的加权系数W₀。因此，加权系数反比于各评价指数的满意程度而变小。

与第一实施例相似，工作参数调整值计算功能116把现有的工作参数加在由操作参数修正系数推理功能114获得的修正系数与加权系数及工作系数三者之积上，从而确定PID工作参数的各调整值。

图16是一个简要的过程流程图，它说明了自动调整装置104和105。首先，状态标志和因子标志要分别初始化11至0（图示中略去）。在一预定周期，给方框120提供SV、PV、DTB和CO。这样，只要一进行上述加载工作，表示由自动调整装置104操纵的处理状态的状态标志就在方框21中加以确定。状态标志为0的状态表示控制响应设置以前的监测状态。状态标志为1的状态表示在响应生成因子之前的监测状态。状态标志为2的状态表示控制响应的观察评估状态。状态标志为了的状态表示控制参数计算状态。当状态标志为0时，在方框122中确定PV与CO是否已互相稳定。当它们互相稳定时，各SV、PV、DTB和CO的初始值在方框23和24中被存储，然后状态标志置1。当状态标志为1时，在方框125中决定SV的变化范围是否超过了预定值。如果它超出了预定值，则在方框128与131中因子标志置1同时状态标志置2。如果它没有超过预定值，则在方框127中确定DTB的变化范围是否超过了预定值。如果它超过了预定值，则在方框B130与131中，因子标志置1而状态标志置2。如果它没有超过预定值，则该处理仍继续进行。上述的处理流程对应于上述的响应生成因子识别功能lⅡ。当状态标志变到2时，当方框132中因子标志为1或2时执行方框133中的处理。当状态标志为3时，执行方框134中的处理。在方框133中观察SV和PV。如果发现控制偏移的极性与以前的状态的极性相同，则执行控制偏移信号的绝对值的时间积分处理如果这一状态的极性不同于前面的状态的极性，则以前的时间积分结果作为面积值被存储下来，这样就可得到每半周的面积值。这一过程一直持续到方框135中的PV稳定于SV为止（观察完成）。在方框134中，观察DTB和CO，从而通过类似上面表述过的方式来处理DTB和CO的各初始值的偏移之和得到每半周的面积值。当观察结束时，在方框136中将状态标志置3。上述处理流程对应于上述的波形观察功能112。这样，如果在方框121中发现状态标志为3，则在方框137中通过使用方框133或134中得到面积值就可得到一个评估指数（面积过调量、面积阻尼率及面积比）。在方框138中（上面描述过的控制性能满意程度评估功能15），得到加权系数。在方框139（工作参数修正系数推理功能114）中，得到工作参数的修正系数。在方框140（工作参数调整值计算功能116）中，得到工作参数的调整值。在这一处理相继执行之后，在方框141中状态标志和因子标志均被复位为0。这样，就又实现稳定前的控制响应的监测状态。所获得的工作参数调整值被用于由如上所述控制器2和3执行的控制工作。

根据第二实施例的获得每半周控制偏移的面积值的波形观察功能可用来作为类似于第一实施例的控制响应观察功能的评估指数。

然而，如第一实施例参照图12所述，通过下面这种安排也可得到类似的效果：即，从每一持续时间t₁，t₂，……除每半周的面积值A₁，A₂，…得到每半周的平均偏移l₁，l₂，…，对它们进行使用，并求得过调量E与阻尼率D作为第一与第二求值指数。

E= (e₂)/(e₁)

D= (e₃)/(e₂)

根据第一和第二实施例，将面积比作为第三评估指数用于评估控制响应的快速响应能力的，例如，可从采用控制响应平稳时间t₄的前一值与图12中所示的高前值之比。

按照上述两个实施例，面积过调量、面积阻尼率及总面比被作为评估指数使用。然而，面积过调量或者面积阻尼率都可单独用作求值指数。在这种情况下，尽管对快速响应的特性在一定程度上变差了，但本发明的实质仍保持着。

类似第一实施例中的控制响应观察评估功能，在把面积值作为评估指数计算功能13的第二评估指数的情况下，只要使D＝（A₃+A₄）/（A₂+A₃）或D＝（A₃+A₅）/（A₂+A₄），本发明的实质不变。在用到平均偏移的情况下，只要使D＝（e₃+e₄）/（e₂+e₃），本发明的实质不变。根据工作参数修正系数推理功能114，使用了三角形的成员函数。然而，本发明不局限于这一表述。例如，也可以使用一条二次曲线或一条指数曲线，而仍可保持本发明的实质。还有，不仅资格函数的形式，而且其数量都可在要求相同效果时有选择地决定。

按照这个实施例，由于大量控制循环中的工作参数可以自动地并行调制，一个工作人员调整的工作量就可显著减少。还有，由于不使用识别信号，工作参数可按要求受到调制而不扰乱控制过程。另外，由于受控过程中发生的动态特性变化不需要人力就可以迅速地探测到所以总是可以保持最合适的控制特性。还有，由于控制响应状态的评估可根据面积值进行（积分处理），可以不受噪声影响自动地、正确地进行调制。

图17表示了本发明的第三个实施例。根据这第三个实施例，用于构成控制器操作参数的调整规则的形成时间可以缩短。该实施例包括一个控制过程201的控制器202和一个用于调整控制器202的工作参数的参数调整系统203。

然后，将描述一种用PI（比例积分）控制器作为控制器202的情况。PI控制器PI的传递函数GC（S）由下列等式给出：

G_c（S）＝K_p（1+>iS)>

其中，Kp：比例增益

Ti：积分时间

S：拉普拉斯算子

然后，将描述用下列等式表示的可由基本延迟+停滞时间逼近过程1的传递函数（Gp（S）的情况：

G_p（S）＝>s)>-LS…（2A）

其中，K：过程增益

T：时间常数

L：停滞时间

参数调整系统203以一个标准二次系统模型并测量过程控制系统的阶跃响应逼近一个把控制器202和过程201在一个环路中所构成的过程控制系统，参数调整系统203还推出了过程控制系统的阻尼系数ζ和本角频率ωη。它进一步调整控制器202的工作参数，使推出的过程控制系统的上述阻尼系数ζ和本角频率ωn成为满意的数值。然后，将描述这一状态中的处理。

标准二次系统模型的传递函数（Gr（S）由下述等式表示：

Gr(S)= (K_rω_n²)/(S²+2ζω_nS+W_n²)>

其中    Kr：常数

ωn：本角频率

ζ：阻尼系数

这一模型的阶跃响应如图18所示，并可由下列等式表示：

（a）当1＜ζ（非周期性的）

$>>x>>(>t>)>>=>Kr>\{>1>->>1>>>T>1>>->>T>2>>>>>(>>>T>>1>e>>>>->>t>>T>1>>>>>->>>T>>2>e>>>>->>t>>T>2>>>>>)>>\}>\times >u>>(>t>)>>.>.>.>.>>(>4>A>)>>>s>$

其中

$>>>T>1>>=>>1>>>\omega >n>>>(>\zeta >>>\zeta >2>>->1>>)>>>>.>.>.>>(>5>A>)>>>s>$

$>>>T>2>>=>>1>>>\omega >n>>>(>\zeta >+>>>\zeta >2>>->1>>)>>>>.>.>.>>(>6>A>)>>>s>$

（b）当0＜ζ＜1（周期性的）

$>>x>>(>t>)>>=>Kr>\{>1>->>>e>>->>\zeta \omega >kr>>>>>>>1>->\zeta >>2>>>>cos>(>>>>1>->\zeta >>2>>>>\omega >xn>>>s>$ >>>>->tan>>>->1>>>>\zeta >>1>->>\zeta >2>>>>)>\}>u>>(>t>)>>.>.>.>>(>7>A>)>>>s>$$

（c）当ζ＝1（临界阻尼）

x（t）＝Kr｛1-（1+ω_nt）e^-ωnt｝u（t）>

含有一个时间延迟的系统的阶跃响应图形可以根据多种特征量来进行描述。

特征量可以是诸如过调量θm、过调时间Tp、振幅阻尼率 (ε₁)/(ε₁)>

表1

号    阻尼系数ζ    过调量θm

1    0.2    50%

2    0.4    25%

3    0.6    10%

4    0.8    3%

这样，一部分上述的特征量，阻尼系数ζ和本征角频率ωn间的关系可表示如下

…（9A）

(ε₂)/(ε₁)>

T_s＝>n)>

这样，将在适用下述方法的、如图21所示过程的情况下，即对于一个其可由基本延迟+停滞时间近似的过程1是用PI控制器2控制的系统的情况下，描述一种用部分模型匹配方法调整工作参数的过程。部分模型匹配方法是一种调整控制器的设计方案，从而使控制系统的特性部分地与参考模型相吻合。作为参考模型，在这里所用的是一个标准二次系统的模型。首先，过程控制变量Y对于图21所示的控制系统中设置点r的传递函数可由（1A）和（2A）式导出的下列式子给出：

                                                                                      .(13A）

下式为麦克劳林展开式

e^LS=1+>2)/(2!)>3)/(3!)>

将（14A）换入（13A）经整理得到下式：

$\mathrm{G(S)=}\frac{p_{}{i}_{}\mathrm{S)}}{p_{}{i}_{}{i}_{}{s}_{}\mathrm{)\{1+}\frac{\mathrm{LS}}{\mathrm{1！}}+\frac{2^{}}{\mathrm{2！}}+\frac{3^{}}{\mathrm{3！}}\dots \}}$

如令式（3）的Kr＝1，以便使稳定增益为1并将式（3）的分母除以ωn²，可以得到下式：

为使用部分的模型配匹法，式（15A）必须与式（16）相吻合。因此，下式必须成立。

K_pK+(K_pKT_i+T_i)S+(T_iL+T_iT)S²

+(>iL²)/2>iTL)S³+(>iL³)/6 +>iTL²)/2>4+…

=K_pK(1+T_iS)(1+>n)>n²)>2)

=K_pK+(K_pK>n)>pKT_i)S

+(K_pK>n²)>pKT_i(2ζ)/(ω_n)>2+K_pKT_i1/(ω_n²)>3

                                                                                …（17A）

参考（17A）式，为了使两侧的三次项及其低次项的系数吻合并对应于参数Kp、Ti、ζ和ωn的个数，下列等式必须成立：

K_pKT_i+T_i＝K_pK>n)>pKT_i…（18A）

T_iL+T_iT=K_pK>n²)>pKT_i(2ζ)/(ω_n)>

(T_iL²)/2>iTL=K_pKT_i1/(ω_n²)>

在这种情况下，由于参数的个数大于等式的个数，因此必须给出一个参数的满意值，如阻尼系数ζ。

整理式（18A）至（20A）得到下述等式：

$K_p=\frac{i_{}}{K\frac{\mathrm{2\zeta }}{n_{}}}\mathrm{\dots (21A)}$

T_i＝L+T->n)>

(>2)/2>n)²-(L+T)(2ζω_n)+1=0…（23A）

比例增益Kp和积分时间Ti可以由（21A）式至（23A）式得出。即，在前面过程1的参数K、T和L已知的情况下，（2Sωn）可根据（23A）式得出，由阻尼系数ζ的满意值可得出ωn且从如此得到的ζ与ωn可按（21A）式与（22A）式得到Kp和Ti。

这样，在预先知道过程1的参数K、T和L的情况下，按照部分模型匹配法可推导出PI控制器的调整等式（21A）至（23A）。等式（21A）至（23A）在从工作参数Kp和Ti及标准二次系统模型做出近似的条件下表示阻尼系数ζ与本征角频率ωn间的对应关系。如上所述，等式（9A）和（10A）表示出标准二次系统模型的阶跃响应的特征量、阻尼系数ζ，本征角频率ωn间的对应关系，如过调量Om、过调时间Tp。因此，在预先已知操作参数Kp和Ti都不知道过程201的参数K、T和L的情况下，可以灵活地考虑使用这样一种方法：从控制系统的阶跃响应得到特征量，并修改工作参数以获得满意的控制响应。这样，将描述对基于上述思想建立的工作参数进行修正方案。

首先描述控制参数修正方案的步骤

（1）测量控制系统的阶跃响应。

（2）提取阶跃响应的特征量。

（3）从阶跃响应的特征量得出阻尼系数ζ和本征角频率ωn。

（4）决定阶跃响应特征量的一个满意值。

（5）得到与特征量的该满意值对应的阻尼系数ζ′与本征角频率ωn′。

（6）从现操作参数Kp和Ti、阻尼系数ζ与ζ′及本征角频率ωn与ωn′得出修改后的工作参数Kp′和Ti′。

（7）测出控制系系的阶跃响应。

（8）推出阶跃响应的特征量。

（9）如果推出的特征量接近满意值，则终止修正过程。如果该值与满意值有一定程度的距离，则流程返回（3）。

上述的处理步骤可由图22所示的流程图表示。

为了确证所设计的操作参数修正方法的有效性，进行了一次模拟，得到下述结果：

下面对使用过调量Om与过调时间Tp的作为阶跃响应的特征量的情况进行描述。首先，对假定发生过调量的情况进行模拟。然后再描述该方法。

（1）按照下述等式，即在一种相对于设置点在响应中有20%的过调量的条件下按照CHR方法（“自制基本理论”，Masu-buchi，1977年6月Corna出版）的一种调整方法，从受控过程的参数K、T和L值得到工作参数Kp和Ti，从而使参考值：

K_p＝>

T_i＝T>

（2）在得到参考值的工作参数Kp和Ti后可排出阶跃响应，同时推算出过调量Om和过调时间Tp。

（3）根据推算出的过调量Om和过调时间Tp，按照由等式（9A）和（10A）推导出的下式可导出对应于参考值工作参数KKp和Ti的阻尼系数ζ和本征角频率ωn：

（4）阻尼系数ζ和本征角频率ωn以对应于参考值工作参数Kp和Ti的阻尼系数ζ和本征角频率ωn为中心进行变化。这时根据等式（21A）与（22A），用下述等式可以从阻尼系数ζ′与本征角频率ωn′得到工作参数Kp′与Ti′：

T_i′＝T_i+△T_i…（28A）

（5）当使用S操作参数Kp′与Ti′时，可由衰减系数ζ′与本征角频率ωn′，根据等式（9A）和（10A），按下述等式预测控制系统的过调量Om′与过调时间Tp′：

$T_p\mathrm{\prime =}\frac{\pi }{n_{}\prime \sqrt{2^{}}}\mathrm{\dots (34A)}$

其中，Om，Tp：Om′与Tp′的预测值。

（6）用工作参数Kp′与Ti′可得到控制系统的阶跃响应，同时测出过调量Om′和过调时间Tp′。

（7）将过调量Om与过调时间Tp的预测值与测量值进行比较。

按照上述方法进行的模拟的结果如表2和3所示。从上述的模拟得到到的阶跃响应的例子如图23和24所示。

下列数值被用来作为受控过程的参数K、T和L。

K＝l

T＝lOOS

L＝lOS    即有L/T＝η＝0.1    …（35A）

如表2和3所示，过调量Om与过调时间Tp的预测值与实测结果之间有一定的误差。

然而，即使阻尼系数ζ或本征角频率ωn有±25%的变化，误差仍可控制在±16%以内。因此，不会产生实际问题。即，上述误差的产生是由于由图21所示的控制系统的响应是由标准二次系统模型近似的，并且阻尼系数ζ的变化率和角频率ωn的变化率与误差的大小成正比。因此，由于可通过考虑误差对ζ和ωn的变化率进行调整而将响应调整到目标控制响应上，所以不会产生问题。

尽管从（9A）式预测到当本征角频率ωn变化时过调量Om不会发生变化，但实际上过调量Om是变化的。原因在于控制系统的响应是由标准二次系统模型近似的。因此，通过考虑近似的误差来对ωn进行适当的调整，就不会有问题了。

这样，就证明了用于存在过调量情况的工作参数修正方法的有效性。然后将描述不存在过调量情况下所执行的处理。

无过调量的情况将参考这样一种情况进行说明，即，其中的工作参数Kp和Ti是根据下式得到的，即在对设置点的响应不出现过调量的条件下并用此时的阶跃响应，根据CHR法（“自控基本理论”Masubuchi著，1977，6月Corna出版）的调整方法得到的：

K_p＝>

T_i＝1.2T>

在过程的参数K、T和L由（35）式给出情况下，工作参数KKp与Ti是由等式（30A）和（37A）得出的，并得出图21所示的控制系统的阶跃响应。如图25所示，这种情况下的响应不包含过调量。在这种情况下，最好按一个简单的修正算法产生过调量。而按下式只修正了工作参数Kp和Ti中的Kp从而产生了过调量。这样就可以使用在有过调量情况下所用的修正方法。

$K_p\mathrm{\prime =}\frac{i_{}}{K\frac{\mathrm{2\zeta \prime }}{{>}_{}\prime }}{\mathrm{=mK}}_p\mathrm{\dots (38A)}$

由（38A）式与（21A）式，可以得到下式所示的关系：

(ζ′)/(ω_n′)>n)>

进一步，在Ti不变的条件下，由（29A）式可推出下式：

ζ′ω_n′＝ζω_n…（40A）

由（39）式与（40）式，可推出下式：

${\omega }_n\mathrm{\prime =}\sqrt{m}{\omega }_n\mathrm{\dots (42A)}$

如果没有过调发生的话，则调制以前的本征角频率ωn必须用下式来推导：

τ＝>n)>

式中，τ为阶跃响应上升至62%所需的时间，即由等式（43A）表示的时间常数，是从通过忽略掉等式（16A）分母中的二次项得到的一个近似表达式得到的。根据上述等式，当阻尼系数为0.6或者更大时，误差就不会达到显著程度。根据等式（38A），比例增益K_p是通过使m＝2获得的，因此可以得到采用上面得到的数值时的阶跃响应。其结果示于图26中。图26中的阶跃响应过调量Om及过调时间T_p的预测值是假定图25中所示的阶跃响应的阻尼系数为1而得到的。表4中示出了预测值和测量结果之间的比较。从图4中可以看出，在预测值的测量结果之间有一定大小的误差。但是，K_p可以根据等式（38A）来加以修正，因此，从不发生过调的情况是可以得到具有预定的过调量的响应的。

根据上面描述的那个本发明的实施例，等式（30A）至（32A）被用作比例增益K_p的修正等式。如果过程1（它比较容易识别）中的参数K可以知道，那么，如等式（21）所示，可以使用下面的等式：

K._p＝>i′ω_n′)/(2Kζ′)>

使用等式（44A）进行模拟的结果示于表5中。比较表2和表5可以得知，过调量m和过调时间To的预测误差值有一定程度的增大。

然而，它却显示了巨大的实用性。

在上面描述的那个实施例中，特征量被从控制系统的阶跃响应中求出，根据这样求出的特征量再来修正工作参数K_p和T_i。然而，过程1中的参数K，T和L可以通过上面提到的特征量来估计，也就是说，本征角频率ωn可以由特征量根据等式（26A）和（27A）来估计出;因此，过程1中的参数K，T，L也可以由上面提到的估计值及工作参数K_p和T_i根据等式（21A）和（22A）估计出。然而不管是参数T还是L（例如停滞时间L）都有必要独立地从控制系统的阶跃响应中获得。于是，在表2和表3所示的情况下，把估计出的阻尼系数ζ、本征角频率ωn和工作参数K_p和T_i代入等式（21A）和（22A）中，就能对被控制过程的K，T和L进行估计。其结果示于表6和表7中。从阶跃响应也对停滞时间L进行了估计。从这二张表中可以证实：虽然存在一定程度的误差，K，T和L可以从等式（21A）和（22A）估计出。而且过程增益K也可以从控制系统的阶跃响应的稳定增益得到。

虽然在本实施例中采用了PI控制器作为控制器，本发明可以应用于下列的多种控制器的调整：如PID（比例-积分-微分）控制器，I-PD（积分-比例-微分）控制器，I-P（积分-比例）控制器等等。

虽然在上面的那个本发明实施例中采用了二次标准模型作为标准模型，本发明还可用于由下面的等式表示的三次或更高次标准模型：

虽然在本发明的该实施例中采用了阶跃响应作为时间响应，本发明还可应用在采用多种时间响应（如斜波响应，随机响应，正常工作及其它类似响应）时的情形。

虽然在上面的实施例中只有可近似为“初始延迟+停滞时间”的过程受到控制，本发明以适用于具有多种特性的多种过程。

虽然在上面的本发明实施例中调整控制器的工作参数是为了使标准模型的模型参数成为期望值，本发明还可应用在下面的情形中：即调整控制器的工作参数使标准模型的频带特性（如相位裕度和增益裕度）为期望值。

虽然在上面的实施例中采用了过调量、过调时间或者阶跃响应上升至62%所需的时间作为特征量，本发明也能适用于使用一个特征量（如幅度衰减率，上升时间，延迟时间，稳定时间等等）时的情形。

图27中示出了本发明的另一个实施例。该实施例包括用来识别过程301的传递函数G_p（S）的过程识别系统303和用来根据识别出的过程301的传递函数G_p（S）确定PID控制器302的工作参数的工作参数确定系统304。

过程识别系统303对过程301的传递函数G_p（S）进行识别，并以先有技术中描述过的等式（1）表示的那种近似方式用“基本延迟+延迟时间”的方法来表示识别结果。工作参数确定系统304根据由“基本延迟+停滞时间系”的方法近似表示出的过程301的传递函数G_p（S）的参数（即根据增益K，时间常数T和停滞时间L）获得时间比例因子σ。工作参数确定系统304利用通过先有技术中描述的等式（8），（9）和（10）得到的σ还为PID控制器确定工作参数，即比例增益K_p、积分时间T_i和微分时间T_d。PID控制器302再利用上面确定的工作参数K_p，T_i和T_d来控制过程301。

时间比例因子σ是先有技术中描述的等式（11）的最小正实根，这个最小正实根是通过一个旨在缩短计算时间的近似表达式得到的。为得到上面这个根的近似表达式，理解由等式（11）定义的f（σ）的大致形状就显得极其重要。由“基本延迟+停滞时间系”所表示的控制特性很大程度上取决于停滞时间L和时间常数T之间的比值L/T。因此，L/T可以由下面的等式来定义：

把等式（13）和系数ai的值（在Kitamori模型中，a₂＝0.5，a₃＝0.15，a₄＝0.03，……）代入等式（11）中，经整理后得到：

f（σ）＝-0.005σ³+0.1（1+>2-0.5（>2σ+（>3……（14）

由于等式（14）中的三次系数为负数，因此可以给出下列关系：

lim    f（σ）＝-∞，lim    f（σ）＝+∞……（15）

σ→+∞    σ→-∞

另外，从等式（14），f′（σ）和f″（σ）可以由下面的等式来表示：

f′（σ）＝-0.015σ²+0.2（1+ 1/(n) ）Lσ-0.5（>2……（16）

f″（σ）＝-0.03σ+0.2（1+ 1/(n) ）L……（17）

从等式（14），（16）和（17）可以得出f（σ）在极值点上的值和σ值以及f（σ）在拐点上的值和拐点的σ值。图28中示出了σ的值。此外，从等式（14）和（16）f（o）和f′（o）可以表示成下列形式：

f（o）＝（>3＞0

（∵L，T＞0）……（18）

f′（o）＝-0.5（>2＜0

（∵L，T＞0）……（19）

正如等式（15）、（18）和（19）及图28所表示的那样f（σ）的大致形状如图29所示。从图29中可以看出，f（σ）＝0的所有的三个实根都是正实根。因此，最小正实根很显然是在0和σ之间具有最小值的那个根。

因此，选出f（σ）上位于0和σ之间的一些给出最小值的点利用泰勒展开进行近似计算。因此，得到使上面提到的近似表达式变零的σ的最小正实根作为f（σ）＝0的最小正实根的近似表示f（σ）的σ₀点附近的泰勒展开式的近似表示可以用下面的等式给出：

f（σ）＝f（σ）+f′（σ）（σ-σ₀）+>0）²+>

如果只算到σ的一次项的话，可得出下面的等式：

f（σ）＝f（σ₀）+f′（σ₀）（σ-σ₀）…（21）

令等式（14和（16）中的σ＝σ₀，把这二个等式代入等式（21）中，得到：

f（σ）＝｛-0.005σ₀³+0.1（>0²-0.5（>2σ₀+（>3｝+｛-0.015σ₀²+0.2（>0-0.5（>2｝（σ-σ₀）>

参阅图3，得到σ₀为0，L，1.2L和1.4L的各个点的近似表达式（22），从而计算出使等式（22）等于零的σ值。结果可以推出图30中所示的近似表达式。从图中可以很清楚地看出，f（σ）的最小正实根的近似表达式可以表示成n的函数与L的乘积。因此，可以认为，f（σ）＝0的最小正实根的实际值也可以表示成n的函数和L的乘积。

为了提高图30中所示的近似表达式的精确度，相对于多个L和T用计算机实际计算出f（σ）＝0的最小正实根，图31示出了假定上面提到过的实际值可以表示成n的函数和L的乘积时得到的调整值和从图30中所示的近似表达式得到的近似值。从图中可以看出，由下式表示的σ₀＝1.4L外f（σ）＝0的最小正实根的近似表示达到了最令人满意的精度（在满足实际使用的n＝0至5的满足范围内有三位有效数字与实际值一致）：