基于断层识别和算子逼近的图像矢量化方法和系统

摘要

本发明公开了一种基于断层识别和算子逼近的图像矢量化方法及系统，该方法包括：提取图像的R、G、B三基色分量，并分别形成三个单基色点阵图后，将每个单基色点阵图的横坐标、纵坐标、颜色值分别作为三维坐标系的X、Y、Z坐标，构建三维立体图，然后对每个基色的三维立体图进行断层识别后，将每个三维立体图分割为多个三维连续区域，进而对每个三维连续区域进行采样后，采用算子逼近算法获得每个三维连续区域的曲面方程，同时采用边缘检测算法获得代表每个三维连续区域的边缘曲线的方程组。本发明矢量化效果好，所需矢量化数据少，而且无须人为的介入即可完成图像矢量化，工作效率高且准确性高，可广泛应用于图像的矢量化领域中。

说明书

技术领域

本发明涉及图像处理领域，特别是涉及一种基于断层识别和算子逼近的图像 矢量化方法和系统。

背景技术

在传统的工程图矢量化方面，主要通过识别线、简单形状等，实现对工程图 例如建筑图纸、机械设计图纸的图像矢量化，这种方法只适用于具有较多规程的 几何形状且背景图纸单一的图像的矢量化，适用范围比较窄，不适用于其它各类 图像例如自然图像的矢量化。近年提出的基于梯度网格的图像矢量方法，提出了 一种新的图像矢量化的思路，该方法通过梯度网络的划分将图像切分为一系列三 角形或四边形，然后对每个三角形或四边形，判断是否能够用一个曲面方程描述 其中内容，进而进行细分处理实现图像矢量化。但是这种方法在梯度网络的划分 中，需要人为的参与，协助进行梯度网格的划分，不能实现完全自动的图像矢量 化，工作效率低，而且由于人为介入的主观性因素，可能会带来较大的误差。

发明内容

为了解决上述的技术问题，本发明的目的是提供基于断层识别和算子逼近的 图像矢量化方法，本发明的另一目的是提供基于断层识别和算子逼近的图像矢量 化系统。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：

基于断层识别和算子逼近的图像矢量化方法，包括：

S1、提取图像的R、G、B三基色分量，并分别形成三个单基色点阵图；

S2、将每个单基色点阵图的横坐标、纵坐标、颜色值分别作为三维坐标系的 X、Y、Z坐标，构建三维立体图；

S3、对每个基色的三维立体图进行断层识别后，将每个三维立体图分割为多 个三维连续区域；

S4、对每个三维连续区域进行采样后，采用算子逼近算法获得每个三维连续 区域的曲面方程，同时采用边缘检测算法获得代表每个三维连续区域的边缘曲线 的方程组。

进一步，所述步骤S3，包括：

S31、对每个基色的三维立体图，根据下式计算其各点的一阶偏导复合值， 进而建立一阶偏导复合矩阵：

$B=\max \left(\right|\frac{\partial z}{\partial x}|+|\frac{\partial z}{\partial y}\left|\right)$

上式中，B表示每一点的一阶偏导复合值；

S32、根据一阶偏导复合矩阵的值，对应地建立一个表示三维立体图的断层 情况的断层矩阵：逐一判断一阶偏导复合矩阵中的每个一阶偏导复合值是否大于 设定阈值ζ，若是，则将该一阶偏导复合值对应的断层矩阵的元素值设为1，反 之设为0；

S33、根据断层矩阵建立一个离散粗边缘点阵图后，进行靠近的孤立点连接， 进而建立一个连续粗边缘点阵图，然后进行粗边缘细化后得到一个连续细边缘点 阵图；

S34、根据连续细边缘点阵图将三维立体图分割为多个三维连续区域。

进一步，所述步骤S4，包括：

S41、将每个三维连续区域旋转后使其沿最长径横放；

S42、按照预设采样方法对三维连续区域进行采样；

S43、采用算子逼近算法获得三维连续区域的曲面方程，同时采用边缘检测 算法获得代表每个三维连续区域的边缘曲线的方程组。

进一步，所述步骤S42，其具体为：

根据下式计算采样点数量后，根据采样点位置设置方法确定所有采样点的位 置，进而对三维连续区域进行采样：

n＝H×W×η

其中，n表示采样点数量，H、W分别表示当前三维连续区域的长、宽，η 表示采样密度。

进一步，所述采样点位置设置方法包括：

按行列等距均匀设置方法：将三维连续区域从上到下划分成相同大小的k 行、j列，并使得k×j＝n，将划分后的每个单元的中心位置作为采样点位置；

或

按中心向外辐射式设置方法：在三维连续区域的中心点设置一个采样点，并 从该采样点开始，每次增加半径r逐次向外扩大圆周，使得从内到外的圆周半径 依次为r、2r、3r、……、ir，在第i个圆周上均匀选择p个采样点，使得不同圆 周上的相邻两个采样点的距离相等；

其中，k、j、i均为自然数。

本发明另一解决其技术问题所采用的技术方案是：

基于断层识别和算子逼近的图像矢量化系统，包括：

第一模块，用于提取图像的R、G、B三基色分量，并分别形成三个单基色 点阵图；

第二模块，用于将每个单基色点阵图的横坐标、纵坐标、颜色值分别作为三 维坐标系的X、Y、Z坐标，构建三维立体图；

第三模块，用于对每个基色的三维立体图进行断层识别后，将每个三维立体 图分割为多个三维连续区域；

第四模块，用于对每个三维连续区域进行采样后，采用算子逼近算法获得每 个三维连续区域的曲面方程，同时采用边缘检测算法获得代表每个三维连续区域 的边缘曲线的方程组。

进一步，所述第三模块，包括：

第一子模块，用于对每个基色的三维立体图，根据下式计算其各点的一阶偏 导复合值，进而建立一阶偏导复合矩阵：

$B=\max \left(\right|\frac{\partial z}{\partial x}|+|\frac{\partial z}{\partial y}\left|\right)$

上式中，B表示每一点的一阶偏导复合值；

第二子模块，用于根据一阶偏导复合矩阵的值，对应地建立一个表示三维立 体图的断层情况的断层矩阵：逐一判断一阶偏导复合矩阵中的每个一阶偏导复合 值是否大于设定阈值ζ，若是，则将该一阶偏导复合值对应的断层矩阵的元素值 设为1，反之设为0；

第三子模块，用于根据断层矩阵建立一个离散粗边缘点阵图后，进行靠近的 孤立点连接，进而建立一个连续粗边缘点阵图，然后进行粗边缘细化后得到一个 连续细边缘点阵图；

第四子模块，用于根据连续细边缘点阵图将三维立体图分割为多个三维连续 区域。

进一步，所述第四模块，包括：

第五子模块，用于将每个三维连续区域旋转后使其沿最长径横放；

第六子模块，用于按照预设采样方法对三维连续区域进行采样；

第七子模块，用于采用算子逼近算法获得三维连续区域的曲面方程，同时采 用边缘检测算法获得代表每个三维连续区域的边缘曲线的方程组。

进一步，所述第六子模块具体用于：

根据下式计算采样点数量后，根据采样点位置设置方法确定所有采样点的位 置，进而对三维连续区域进行采样：

n＝H×W×η

其中，n表示采样点数量，H、W分别表示当前三维连续区域的长、宽，η 表示采样密度。

进一步，所述采样点位置设置方法包括：

按行列等距均匀设置方法：将三维连续区域从上到下划分成相同大小的k 行、j列，并使得k×j＝n，将划分后的每个单元的中心位置作为采样点位置；

或

按中心向外辐射式设置方法：在三维连续区域的中心点设置一个采样点，并 从该采样点开始，每次增加半径r逐次向外扩大圆周，使得从内到外的圆周半径 依次为r、2r、3r、……、ir，在第i个圆周上均匀选择p个采样点，使得不同圆 周上的相邻两个采样点的距离相等；

其中，k、j、i均为自然数。

本发明的有益效果是：本发明的一种基于断层识别和算子逼近的图像矢量化 方法，通过提取图像的R、G、B三基色分量，并分别形成三个单基色点阵图后， 将每个单基色点阵图的横坐标、纵坐标、颜色值分别作为三维坐标系的X、Y、 Z坐标，构建三维立体图，然后对每个基色的三维立体图进行断层识别后，将每 个三维立体图分割为多个三维连续区域，进而对每个三维连续区域进行采样后， 采用算子逼近算法获得每个三维连续区域的曲面方程，同时采用边缘检测算法获 得代表每个三维连续区域的边缘曲线的方程组，完成图像矢量化，本方法通过判 断三维立体图是否存在断层来进行边缘判断并进行区域分割，进而进行图像矢量 化，矢量化效果好，所需矢量化数据少，而且无需人为介入，提高了图像矢量化 效率，而且降低了人为影响带来的误差，工作效率高且准确性高。

本发明的另一有益效果是：本发明的一种基于断层识别和算子逼近的图像矢 量化系统，可用于提取图像的R、G、B三基色分量，并分别形成三个单基色点 阵图后，将每个单基色点阵图的横坐标、纵坐标、颜色值分别作为三维坐标系的 X、Y、Z坐标，构建三维立体图，然后对每个基色的三维立体图进行断层识别 后，将每个三维立体图分割为多个三维连续区域，进而对每个三维连续区域进行 采样后，采用算子逼近算法获得每个三维连续区域的曲面方程，同时采用边缘检 测算法获得代表每个三维连续区域的边缘曲线的方程组，完成图像矢量化，本系 统通过判断三维立体图是否存在断层来进行边缘判断并进行区域分割，进而进行 图像矢量化，矢量化效果好，所需矢量化数据少，而且无需人为介入就可实现图 像矢量化，提高了图像矢量化效率，而且降低了人为影响带来的误差，工作效率 高且准确性高。

附图说明

下面结合附图和实施例对本发明作进一步说明。

图1是本发明的一种基于断层识别和算子逼近的图像矢量化方法的流程 图；

图2是本发明的一种基于断层识别和算子逼近的图像矢量化方法的一具体 实施例中的示意图。

具体实施方式

参照图1，本发明提供了一种基于断层识别和算子逼近的图像矢量化方法， 包括：

S1、提取图像的R、G、B三基色分量，并分别形成三个单基色点阵图；

S2、将每个单基色点阵图的横坐标、纵坐标、颜色值分别作为三维坐标系的 X、Y、Z坐标，构建三维立体图；

S3、对每个基色的三维立体图进行断层识别后，将每个三维立体图分割为多 个三维连续区域；

S4、对每个三维连续区域进行采样后，采用算子逼近算法获得每个三维连续 区域的曲面方程，同时采用边缘检测算法获得代表每个三维连续区域的边缘曲线 的方程组。

进一步，所述步骤S3，包括：

S31、对每个基色的三维立体图，根据下式计算其各点的一阶偏导复合值， 进而建立一阶偏导复合矩阵：

$B=\max \left(\right|\frac{\partial z}{\partial x}|+|\frac{\partial z}{\partial y}\left|\right)$

上式中，B表示每一点的一阶偏导复合值；

S32、根据一阶偏导复合矩阵的值，对应地建立一个表示三维立体图的断层 情况的断层矩阵：逐一判断一阶偏导复合矩阵中的每个一阶偏导复合值是否大于 设定阈值ζ，若是，则将该一阶偏导复合值对应的断层矩阵的元素值设为1，反 之设为0；

S33、根据断层矩阵建立一个离散粗边缘点阵图后，进行靠近的孤立点连接， 进而建立一个连续粗边缘点阵图，然后进行粗边缘细化后得到一个连续细边缘点 阵图；

S34、根据连续细边缘点阵图将三维立体图分割为多个三维连续区域。

进一步，所述步骤S4，包括：

S41、将每个三维连续区域旋转后使其沿最长径横放；

S42、按照预设采样方法对三维连续区域进行采样；

S43、采用算子逼近算法获得三维连续区域的曲面方程，同时采用边缘检测 算法获得代表每个三维连续区域的边缘曲线的方程组。

进一步，所述步骤S42，其具体为：

根据下式计算采样点数量后，根据采样点位置设置方法确定所有采样点的位 置，进而对三维连续区域进行采样：

n＝H×W×η

其中，n表示采样点数量，H、W分别表示当前三维连续区域的长、宽，η 表示采样密度。

进一步，所述采样点位置设置方法包括：

按行列等距均匀设置方法：将三维连续区域从上到下划分成相同大小的k 行、j列，并使得k×j＝n，将划分后的每个单元的中心位置作为采样点位置；

或

按中心向外辐射式设置方法：在三维连续区域的中心点设置一个采样点，并 从该采样点开始，每次增加半径r逐次向外扩大圆周，使得从内到外的圆周半径 依次为r、2r、3r、……、ir，在第i个圆周上均匀选择p个采样点，使得不同圆 周上的相邻两个采样点的距离相等；

其中，k、j、i均为自然数。

根据本发明的另一方面，本发明还提供了一种基于断层识别和算子逼近的图 像矢量化系统，包括：

第一模块，用于提取图像的R、G、B三基色分量，并分别形成三个单基色 点阵图；

第二模块，用于将每个单基色点阵图的横坐标、纵坐标、颜色值分别作为三 维坐标系的X、Y、Z坐标，构建三维立体图；

第三模块，用于对每个基色的三维立体图进行断层识别后，将每个三维立体 图分割为多个三维连续区域；

第四模块，用于对每个三维连续区域进行采样后，采用算子逼近算法获得每 个三维连续区域的曲面方程，同时采用边缘检测算法获得代表每个三维连续区域 的边缘曲线的方程组。

进一步，所述第三模块，包括：

第一子模块，用于对每个基色的三维立体图，根据下式计算其各点的一阶偏 导复合值，进而建立一阶偏导复合矩阵：

$B=\max \left(\right|\frac{\partial z}{\partial x}|+|\frac{\partial z}{\partial y}\left|\right)$

上式中，B表示每一点的一阶偏导复合值；

第二子模块，用于根据一阶偏导复合矩阵的值，对应地建立一个表示三维立 体图的断层情况的断层矩阵：逐一判断一阶偏导复合矩阵中的每个一阶偏导复合 值是否大于设定阈值ζ，若是，则将该一阶偏导复合值对应的断层矩阵的元素值 设为1，反之设为0；

第三子模块，用于根据断层矩阵建立一个离散粗边缘点阵图后，进行靠近的 孤立点连接，进而建立一个连续粗边缘点阵图，然后进行粗边缘细化后得到一个 连续细边缘点阵图；

第四子模块，用于根据连续细边缘点阵图将三维立体图分割为多个三维连续 区域。

进一步，所述第四模块，包括：

第五子模块，用于将每个三维连续区域旋转后使其沿最长径横放；

第六子模块，用于按照预设采样方法对三维连续区域进行采样；

第七子模块，用于采用算子逼近算法获得三维连续区域的曲面方程，同时采 用边缘检测算法获得代表每个三维连续区域的边缘曲线的方程组。

进一步，所述第六子模块具体用于：

根据下式计算采样点数量后，根据采样点位置设置方法确定所有采样点的位 置，进而对三维连续区域进行采样：

n＝H×W×η

其中，n表示采样点数量，H、W分别表示当前三维连续区域的长、宽，η 表示采样密度。

进一步，所述采样点位置设置方法包括：

按行列等距均匀设置方法：将三维连续区域从上到下划分成相同大小的k 行、j列，并使得k×j＝n，将划分后的每个单元的中心位置作为采样点位置；

或

按中心向外辐射式设置方法：在三维连续区域的中心点设置一个采样点，并 从该采样点开始，每次增加半径r逐次向外扩大圆周，使得从内到外的圆周半径 依次为r、2r、3r、……、ir，在第i个圆周上均匀选择p个采样点，使得不同圆 周上的相邻两个采样点的距离相等；

其中，k、j、i均为自然数。

下面结合具体实施方式对本发明做进一步说明：

实施例一

参照1及图2，一种基于断层识别和算子逼近的图像矢量化方法，包括：

S1、提取图像的R、G、B三基色分量，并分别形成三个单基色点阵图。

S2、将每个单基色点阵图的横坐标、纵坐标、颜色值分别作为三维坐标系的 X、Y、Z坐标，构建三维立体图。

S3、对每个基色的三维立体图进行断层识别后，将每个三维立体图分割为多 个三维连续区域，包括：

S31、对每个基色的三维立体图，根据下式计算其各点的一阶偏导复合值， 进而建立一阶偏导复合矩阵：

$B=\max \left(\right|\frac{\partial z}{\partial x}|+|\frac{\partial z}{\partial y}\left|\right)$

上式中，B表示每一点的一阶偏导复合值，表示该点的Z坐标值(即三 维高度值，也即该点的颜色值)与该点的临近点相比的改变值，分别表 示该点的X、Y方向的变化值(即单位像素宽度)；

S32、根据一阶偏导复合矩阵的值，对应地建立一个表示三维立体图的断层 情况的断层矩阵：逐一判断一阶偏导复合矩阵中的每个一阶偏导复合值是否大于 设定阈值ζ，若是，则将该一阶偏导复合值对应的断层矩阵的元素值设为1，反 之设为0；这里，断层矩阵的元素值用于表示三维立体图的断层情况，其矩阵的 行列数与一阶偏导复合矩阵相同，根据一阶偏导复合矩阵的每个值来设定断层矩 阵的相应的元素值，例如一阶偏导复合矩阵的第3行第3列的一阶偏导复合值的 值大于设定阈值ζ，则将断层矩阵的第3行第3列的元素值设为1。

S33、根据断层矩阵建立一个离散粗边缘点阵图后，进行靠近的孤立点连接， 进而建立一个连续粗边缘点阵图，然后进行粗边缘细化后得到一个连续细边缘点 阵图；进行靠近的孤立点连接可以采用常见的边缘连接算法，例如论文“图像分 割中一种多层次自适应的算法研究”中的边缘连接算法等；进行粗边缘细化可以 采用常见的曲线插值算法来实现。

S34、根据连续细边缘点阵图将三维立体图分割为多个三维连续区域。这里， 获得连续细边缘点阵图后，采用常见的边缘提取算法例如论文“基于特征曲线的 图像矢量化编辑与渲染系统”中的边缘提取算法即可将三维立体图分割为多个三 维连续区域。

本步骤中，通过计算一阶偏导复合值来判断三维立体图是否存在断层从而进 行边缘判断然后进行区域分割，而不是采用传统方法中根据判断颜色变化是否超 过阈值或者根据梯度网络的人工协助划分方法来划分区域，因此，可以识别的图 像区域面积将更大，即分割得到的三维连续区域的面积将比采用传统方法划分的 区域大，因此，根据分割后的三维连续区域进行图像矢量化，避免了传统方法中 将图像分割的过于零碎的缺点，可以用更少的数据量来描述原图，即矢量化数据 量更少，矢量化效果更好，提高了矢量化效率。

S4、对每个三维连续区域进行采样后，采用算子逼近算法获得每个三维连续 区域的曲面方程，同时采用边缘检测算法获得代表每个三维连续区域的边缘曲线 的方程组，包括：

S41、将每个三维连续区域旋转后使其沿最长径横放；这里，将三维连续区 域旋转一定角度，使之沿最长径横放，可以形成标准归一的三维连续区域，使得 后续的处理更加方便和准确；旋转时，同时记录旋转角度，最后跟矢量化结果一 起存储或输出。

S42、按照预设采样方法对三维连续区域进行采样，具体为：

根据下式计算采样点数量后，根据采样点位置设置方法确定所有采样点的位 置，进而对三维连续区域进行采样：

n＝H×W×η

其中，n表示采样点数量，H、W分别表示当前三维连续区域即旋转后的三 维连续区域的长、宽，η表示采样密度；

采样点位置设置方法包括：

按行列等距均匀设置方法：将三维连续区域从上到下划分成相同大小的k 行、j列，并使得k×j＝n，将划分后的每个单元的中心位置作为采样点位置；前 面提到n＝H×W×η，通过合理选择k、j的值，可以满足k×j＝n，实际上，因为在 处理过程中，n的值可能很大，所以只要满足k×j的值接近n也可，细微相差不 会影响矢量化的结果及精度；

或

按中心向外辐射式设置方法：在三维连续区域的中心点设置一个采样点，并 从该采样点开始，每次增加半径r逐次向外扩大圆周，使得从内到外的圆周半径 依次为r、2r、3r、……、ir，在第i个圆周上均匀选择p个采样点，使得不同圆 周上的相邻两个采样点的距离相等；这些圆周分别称为第1、2、3……、i个圆 周，而中心点的采样点称为第0个圆周；假设不同圆周上的相邻两个采样点的距 离为d，则第i个圆周上的采样点个数p满足p＝f(r,d,η)，令半径r、距离d与采 样密度η相关，即可使得不同圆周上的相邻两个采样点的距离相等；

其中，k、j、i均为自然数。

S43、采用算子逼近算法获得三维连续区域的曲面方程，同时采用边缘检测 算法获得代表每个三维连续区域的边缘曲线的方程组。三维连续区域的边缘曲线 可看作多段曲线首尾相接构成的，因此通过边缘检测算法获得这些曲线的方程组 来描述三维连续区域的边缘曲线。算子逼近算法和边缘检测算法均可以采用现有 技术中比较成熟的算法，例如算子逼近算法可以参考论文“若干类正算子逼近性 态的研究(谢林森.上海大学)”、“若干算子逼近与插值逼近问题的研究(冯悦. 内蒙古师范大学)”及“有理曲面的区间Bézier曲面的逼近(孟祥国；王仁宏。 数值计算与计算机应用期刊)”中提到的算法。获得三维连续区域的曲面方程相 当于获得了该三维连续区域内部颜色值计算规律的公式，结合代表三维连续区域 的边缘曲线的方程组，即获得该三维连续区域的矢量化结果。

图2是本方法的处理过程示意图，参照图2中所示，本方法通过对每个单基 色点阵图对应的三维立体图的所有三维连续区域进行矢量化后，即获得整个图像 的矢量化结果，无需人为介入，提高了矢量化效率，而且降低了人为影响带来的 误差，具有工作效率高而且准确性高的特点。

实施例二

本实施例是与实施例一一一对应的软系统，因此只作简单描述，细节部分可 参考实施例一。

一种基于断层识别和算子逼近的图像矢量化系统，包括：

第一模块，用于提取图像的R、G、B三基色分量，并分别形成三个单基色 点阵图；

第二模块，用于将每个单基色点阵图的横坐标、纵坐标、颜色值分别作为三 维坐标系的X、Y、Z坐标，构建三维立体图；

第三模块，用于对每个基色的三维立体图进行断层识别后，将每个三维立体 图分割为多个三维连续区域，包括：

第一子模块，用于对每个基色的三维立体图，根据下式计算其各点的一阶偏 导复合值，进而建立一阶偏导复合矩阵：

$B=\max \left(\right|\frac{\partial z}{\partial x}|+|\frac{\partial z}{\partial y}\left|\right)$

上式中，B表示每一点的一阶偏导复合值；

第二子模块，用于根据一阶偏导复合矩阵的值，对应地建立一个表示三维立 体图的断层情况的断层矩阵：逐一判断一阶偏导复合矩阵中的每个一阶偏导复合 值是否大于设定阈值ζ，若是，则将该一阶偏导复合值对应的断层矩阵的元素值 设为1，反之设为0；

第三子模块，用于根据断层矩阵建立一个离散粗边缘点阵图后，进行靠近的 孤立点连接，进而建立一个连续粗边缘点阵图，然后进行粗边缘细化后得到一个 连续细边缘点阵图；

第四子模块，用于根据连续细边缘点阵图将三维立体图分割为多个三维连续 区域。

第四模块，用于对每个三维连续区域进行采样后，采用算子逼近算法获得每 个三维连续区域的曲面方程，同时采用边缘检测算法获得代表每个三维连续区域 的边缘曲线的方程组，包括：

第五子模块，用于将每个三维连续区域旋转后使其沿最长径横放；

第六子模块，用于按照预设采样方法对三维连续区域进行采样，具体用于： 根据下式计算采样点数量后，根据采样点位置设置方法确定所有采样点的位置， 进而对三维连续区域进行采样：

n＝H×W×η

其中，n表示采样点数量，H、W分别表示当前三维连续区域的长、宽，η 表示采样密度；

采样点位置设置方法包括：

按行列等距均匀设置方法：将三维连续区域从上到下划分成相同大小的k 行、j列，并使得k×j＝n，将划分后的每个单元的中心位置作为采样点位置；

或

按中心向外辐射式设置方法：在三维连续区域的中心点设置一个采样点，并 从该采样点开始，每次增加半径r逐次向外扩大圆周，使得从内到外的圆周半径 依次为r、2r、3r、……、ir，在第i个圆周上均匀选择p个采样点，使得不同圆 周上的相邻两个采样点的距离相等；

其中，k、j、i均为自然数。

第七子模块，用于采用算子逼近算法获得三维连续区域的曲面方程，同时采 用边缘检测算法获得代表每个三维连续区域的边缘曲线的方程组。

以上是对本发明的较佳实施进行了具体说明，但本发明创造并不限于所述实 施例，熟悉本领域的技术人员在不违背本发明精神的前提下还可做出种种的等同 变形或替换，这些等同的变型或替换均包含在本申请权利要求所限定的范围内。