一种多无线电系统中基于公平性和精细化带宽分配的资源分配方法

摘要

本发明针对基于OFDMA（Orthogonal Frequency Division Multiple Access）的多载波系统中用户比例公平性和系统效率问题进行了研究，提出了一种联合资源分配方法，不仅保证了用户比例公平性下系统的吞吐量，还充分考虑了分配的带宽是子信道带宽整倍数的特点，对分配给每个终端的带宽进行子信道整数倍调整。最后通过仿真对比，从吞吐量和公平性两方面说明了本发明的优越性。

说明书

技术领域：

本发明主要涉及基于OFDMA(Orthogonal Frequency Division Multiple Access)的无线异构网络系统的联 合资源分配问题，涉及到用户比例公平性和系统效率的平衡问题，特别涉及一种基于公平性和精细化带宽 分配的资源分配方法。

背景技术：

随着无线通信的飞速发展，出现了多种无线网络以及多模终端，为了容纳更多的用户，提供更高质量 的服务，下一代无线通信将是一种融合了多种无线接入技术(Radio Acess Technologies,RAT，如Wimax、LTE、 WCDMA、TD-SCDMA、WLAN等)的异构无线网络。异构网络融合的关键在于将不同接入网络的无线资源 进行联合管理，实现频谱资源在各无线接入网络之间的共享，从而提高频谱资源利用率，提高系统吞吐量。 在异构网络中有多种多址接入技术，其中OFDMA技术广泛应用于各种主流无线网络(LTE、Wimax等)中， 由于底层资源都是基于OFDMA的时频块，所以使用OFDMA方式的异构网络更容易进行资源联合管理 ^[1][2](Bashar,S.;Zhi Ding,"Admission control and resource allocation in a heterogeneous OFDMA wireless  network,"Wireless Communications,IEEE Transactions on,vol.8,no.8,pp.4200,4210,August2009)(Xing Zhang; Lei Fu;Xin Wu;Wenbo Wang,"On the Study of Radio Resource Allocation of Heterogeneous Services with Soft  QoS Traffics in OFDMA-based Wireless Networks,"Computer and Information Technology(CIT),2010IEEE10th  International Conference on,vol.,no.,pp.2556,2561,June292010-July12010)。

目前对于异构网络资源分配有着广泛的研究，文献^[3](Yonghoon Choi;Hoon Kim;Sang-wook Han; Youngnam Han,“Joint Resource Allocation for Parallel Multi-Radio Access in Heterogeneous Wireless Networks,” Wireless Communications,IEEE Transactions on,vol.9,no.11,pp.3324,3329,November2010)在异构网络中提 出了一种基于最大化上行吞吐量的联合资源分配方法；文献^[4](R.Shyam Sundar,S.Nanda Kumar. “Performance improvement of heterogeneous wireless networks using modified newton method,”[J].International  Journal of Software Engineering&Applications(IJSEA).May2012,3(3):79-90.)在文献^[3]的基础上进行了深入 研究，改进了求解中使用的牛顿迭代法，这些研究的总体最优化目标都是最大化系统吞吐量，信道质量较 好的用户能够得到较大的网络带宽，这对于信道质量差的用户很不公平；文献^[5](Shaat,M.;Bader,F., "Efficient resource allocation algorithm for uplink in multicarrier-based cognitive radio networks with fairness  consideration,"Communications,IET,vol.5,no.16,pp.2328,2338,November42011doi: 10.1049/iet-com.2010.1062)提出了一种考虑了公平性的两步走资源分配方法，首先根据信道质量为每一个用 户分配子载波，然后再进行发射功率的分配，这种非联合资源分配方法必定会损失部分系统吞吐量；总体 来说，以上涉及到OFDMA异构网络系统的文献中都没有很好地解决公平性和系统效率之间的关系，同时 假设了带宽是连续性变量且分配时没有考虑带宽是子信道整数倍的特点。

发明内容：

发明目的是提出一种比例公平性方法，即使得系统总速率在不同的用户间在某种意义上是公平的，同 时使得系统总速率在一定意义上最大。本发明解决的问题主要有两个：一是考虑了多系统用户联合资源分 配公平性和系统效率平衡的问题，提出了一种新的系统吞吐量损失较小的公平资源分配优化模型，最大限 度优化了公平效率问题；二是考虑了在以OFDMA为多址接入方式的系统中网络端分配给用户的带宽是子 信道带宽整倍数的特点，收集取整后的剩余带宽进行了重新分配，充分利用了带宽资源，提高了系统吞吐 量。

本发明将用户端功率和网络端带宽建模为联合最优化模型,通过梯度法求得近似最优解,然后对分配给 每个终端的带宽进行子信道整数倍调整；最后通过仿真对比，从吞吐量和公平性两方面说明了此方法的优 越性。

步骤一、将用户端功率和网络端带宽建模为基于公平性的联合最优化模型：

本发明所研究的问题基于说明书附图1所示的网络系统模型。采用分流控制方法，用户的业务将能够 同时由多个网络承载，也就是将业务分为若干个子业务流分配给不同的无线网络进行传输，最终在用户终 端重聚，这种方式能够平衡网络负载，大幅提高业务吞吐量^[6](赵远林.无线泛在网络下虚拟终端系统若干关 键技术研究[D].南京邮电大学,2013.)。

数据传输过程中，每一种NT都会为各个UE分配不同的带宽资源和发射功率，假设信道衰落是慢变的， 即信道在一个资源分配周期内保持固定，再假设网络t分配给用户s的子信道带宽是连续的，则异构系统中 UE_s(s=1,2,3…S)的吞吐量可表示为^[3]：

$R_s=\underset{t=1}{\overset{T}{\Sigma }}{r}_{\mathrm{st}}=\underset{t=1}{\overset{T}{\Sigma }}(1-{\eta }_{\mathrm{st}}){\beta }_t{x}_{\mathrm{st}}{\log }_2(1+\frac{{\left|H\right|}^2{p}_{\mathrm{st}}}{N_{\mathrm{st}}{x}_{\mathrm{st}}})---\left(1\right)$

通常我们取β_t=1，η_st=0，令因此式(1)可简化为：

$R_s=\underset{t=1}{\overset{T}{\Sigma }}{r}_{\mathrm{st}}=\underset{t=1}{\overset{T}{\Sigma }}{x}_{\mathrm{st}}{\log }_2(1+\frac{g_{\mathrm{st}}{p}_{\mathrm{st}}}{x_{\mathrm{st}}})---\left(2\right)$

下面我们将推出一种比例公平性方法，使得速率R_s在不同的用户间在某种意义上是公平的，同时使得 系统总速率之和在一定意义上最大，也就是说此方法同时兼顾了公平性和系统效率：将此问题写成最大化 用户的传输数据速率的对数和形式，则可将最优化问题建模为如式(3)所示，其近似最优解易通过最优化方 法中的梯度法得到，且其局部最优解即为全局最优解；

$\left(\begin{array}{c}\max \underset{s=1}{\overset{S}{\Sigma }}\ln R_s=\max \underset{s=1}{\overset{S}{\Sigma }}\ln \left(\underset{t=1}{\overset{T}{\Sigma }}{r}_{\mathrm{st}}\right)\\ =\max \underset{s=1}{\overset{S}{\Sigma }}\ln \left(\underset{t=1}{\overset{T}{\Sigma }}{x}_{\mathrm{st}}{\log }_2(1+\frac{g_{\mathrm{st}}{p}_{\mathrm{st}}}{x_{\mathrm{st}}})\right)\end{array}\right)$

步骤二、忽略条件d的前提下，通过梯度法求得近似最优解，所述方法如下：

本发明提出的最优化问题的拉格朗日函数为：

$\left(\begin{array}{c}L(x,p;\lambda ,\mu )=\underset{s=1}{\overset{S}{\Sigma }}\left(\underset{t=1}{\overset{T}{\Sigma }}{x}_{\mathrm{st}}{\log }_2(1+\frac{g_{\mathrm{st}}{p}_{\mathrm{st}}}{x_{\mathrm{st}}})\right)\\ +\underset{t=1}{\overset{T}{\Sigma }}{\lambda }_t(X_t-\underset{s=1}{\overset{S}{\Sigma }}{x}_{\mathrm{st}})+\underset{s=1}{\overset{S}{\Sigma }}{\mu }_s(P_s-\underset{t=1}{\overset{T}{\Sigma }}{p}_{\mathrm{st}})\\ =\underset{s=1}{\overset{S}{\Sigma }}[\ln \left(\underset{t=1}{\overset{T}{\Sigma }}{x}_{\mathrm{st}}{\log }_2(1+\frac{g_{\mathrm{st}}{p}_{\mathrm{st}}}{x_{\mathrm{st}}})\right)-\underset{t=1}{\overset{T}{\Sigma }}{\lambda }_t{x}_{\mathrm{st}}+{\mu }_s{P}_s-{\mu }_s\underset{t=1}{\overset{T}{\Sigma }}{p}_{\mathrm{st}}]\\ +\underset{t=1}{\overset{T}{\Sigma }}{\lambda }_t{X}_t\end{array}\right)---\left(4\right)$

其中λ=[λ₁，λ₂，...λ_m]是与接入点带宽分配约束相关的乘子向量，而μ=[μ₁，μ₂，...μ_n]是与用户端发送功率约束 关的乘子向量；

利用KKT条件^[10]求得带宽分配与功率分配之间的关系：

$p_{\mathrm{st}}=x_{\mathrm{st}}·{[\frac{1}{\ln 2·R_s{\mu }_S}-\frac{1}{g_{\mathrm{st}}}]}^{+}---\left(5\right)$

其中[a]⁺＝max{a,0}；

本方法采用梯度法更新带宽^[10]，选取合适的步长a则x_st,可收敛：

$x_{\mathrm{st}}^{k+1}={[x_{\mathrm{st}}^k-a\frac{\partial L}{\partial x_{\mathrm{st}}}]}^{+},\forall s,t---\left(6\right)$

在已知x_st,下，根据式(5)，则可求得p_st,

同样采用梯度法更新拉格朗日乘子λ和μ，如下：

${\lambda }_t^{k+1}={[{\lambda }_t^k-b(X_t-\underset{s=1}{\overset{S}{\Sigma }}{x}_{\mathrm{st}})]}^{+},\forall t---\left(7\right)$

${\mu }_s^{k+1}{[{\mu }_s^k-c(P_s-\underset{t=1}{\overset{T}{\Sigma }}{p}_{\mathrm{st}})]}^{+},\forall s---\left(8\right)$

其中k为迭代轮次，b和c为迭代步长。通过选取合适的迭代步长理论上可以保证收敛；

由式(5)我们可以看到，功率分配p_st、带宽分配x_st和用户当前速率R_s之间相互关联，因此需要采用如 下的迭代方法求解；R_s更新如下：

$R_s^{m+1}=R_s^m-d^m(R_s^m-\underset{s=1}{\overset{S}{\Sigma }}\ln \left(\underset{t=1}{\overset{T}{\Sigma }}{x}_{\mathrm{st}}{\log }_2(1+\frac{g_{\mathrm{st}}{p}_{\mathrm{st}}}{x_{\mathrm{st}}})\right))---\left(9\right)$

其中m为速率迭代次数，d是UE_m速率更新迭代步长。通过选取合适的迭代步长可以保证速率的收敛性；

步骤三、根据步骤二求出的近似最优解，对所有求得的带宽χ_st取向下的最大子信道带宽整数倍：

其中d_t代表网络NT_t的子信道带宽，然后对于每一个NT，统计剩余带宽资源 为了保证公平性，对于每一个NT，将剩余带宽资源按照子信道带宽为单元分配给带 宽最小的UE_s：

For NT t=1：T

$\mathrm{While}(X_t^{*}>d_t)$

选取带宽最小的UE_s，分配一个d_t给它，更新UE_s带宽以及剩余带宽资源;

End While

End For

步骤四、为了衡量用户比例公平性，我们引入Jain公平性因子(Fairness index，FI)^[11]来表示方法的公平 性，FI定义为：

$\mathrm{FI}={\left(\underset{s=1}{\overset{S}{\Sigma }}{R}_s\right)}^2/(S·\underset{s=1}{\overset{S}{\Sigma }}{R}_s^2)---\left(10\right)$

可以看出，FI为小于1的正数，并且其取值越接近于1，说明方法的用户比例公平性越好。

有效效果：

1、仿真结果见说明附图图2，给出了四种方法下系统吞吐量随着用户数目的变化曲线。可以看出，四 种方法的系统吞吐量都随着用户数目的增加而增大，其中曲线最高的是对比方法1，因为此方法的唯一优化 目标就是最大化系统吞吐量，在此种方法下，信道质量较好的用户能够得到较大的网络带宽，整个系统充 分利用了带宽资源；本发明所提方法的系统吞吐量略低于对比方法1，一方面本发明考虑了公平性，信道质 量差的用户对于带宽资源的利用率不高，导致了系统吞吐量有所下降，另一方面本发明调整带宽为子信道 整数倍之后又收集了剩余带宽进行重新分配，充分利用了带宽资源，提高了系统吞吐量；对比方法2的系 统吞吐量低于本发明所提方法，因为其未收集剩余带宽进行重新分配，浪费了一定的带宽资源；对比方法3 的系统吞吐量最低，因为它没有将功率和带宽进行联合资源分配，不利于资源分配方法的优化，而且此方 法也未收集剩余带宽重新分配，没有充分利用带宽资源；总的来说，本发明所提方法既考虑了公平性，又 很好的利用了剩余带宽，贴近现实应用。

2、仿真结果见说明附图图3，给出了四种方法在不同用户数下公平性因子的变化曲线。图中可以看出， 在不同用户数目下，本发明所提方法的用户公平性因子是最大的，一方面是因为本发明使用了数据传输速 率的对数和形式，考虑了用户比例公平性，另一方面本发明还进行了倾向于用户比例公平性的带宽调整过 程；对比方法2的公平性也明显高于其他方法，正是因为该方法在求解最大化系统吞吐量的过程中考虑了 用户公平性问题；对比方法1为最大化吞吐量方法，公平性最低，这是因为该方法中信道质量较好的用户 总是能够得到较大的网络带宽，没有考虑公平性因素；仿真结果说明了带宽调整的有效性。

附图说明：

图1是本发明的网络系统模型；

图2是系统吞吐量的仿真结果；

图3是用户比例公平性的仿真结果。

具体实施方式：以下结合说明书附图对本发明创造作进一步的详细说明。

如图1所示，针对本发明的研究提出了一种网络系统模型，根据这个模型，本发明提出了一种多系统 中基于公平性的联合资源分配方法，该方法包括如下步骤：

步骤一、将用户端功率和网络端带宽建模为基于公平性的联合最优化模型：

本发明所研究的问题基于说明书附图1所示的网络系统模型，数据传输过程中，每一种NT都会为各个 UE分配不同的带宽资源和发射功率，假设信道衰落是慢变的，即信道在一个资源分配周期内保持固定，再 假设网络t分配给用户s的子信道带宽是连续的，则异构系统中UE_s(s=1,2,3…S)的吞吐量可表示为^[3]：

$R_s=\underset{t=1}{\overset{T}{\Sigma }}{r}_{\mathrm{st}}=\underset{t=1}{\overset{T}{\Sigma }}(1-{\eta }_{\mathrm{st}}){\beta }_t{x}_{\mathrm{st}}{\log }_2(1+\frac{{\left|H\right|}^2{p}_{\mathrm{st}}}{N_{\mathrm{st}}{x}_{\mathrm{st}}})---\left(1\right)$

其中r_st为UE_s在NT_t内的数据速率，η_st(0≤η_st≤1)为UE_s到NT_t的平均误比特率^[7](J.Stoer,R.Bulirsch, R.Bartels,W.Gautshi,and C.Witzgall,in introduction to Numerical Analysis,3rd edition. Springer,2002,pp.289-363)，其值为远远小于1的正数，β_t(0≤β_t≤1)为NT_t的系统效率^[8](3G Americas white  paper(2008,Sep.).EDGE,HSPA,LTE–Broadband Innovation.[Online].Available:http://www.3gamericas.org.)， 其值和信道的编码方式有关，x_st为网络NT_t分配给UE_s的带宽，p_st为UE_s在NT_t的发射功率，|H_st|²表示信 道传输增益，N_st表示此时的噪声功率谱密度。

通常我们取β_t=1，η_st=0，令因此式(1)可简化为：

$R_s=\underset{t=1}{\overset{T}{\Sigma }}{r}_{\mathrm{st}}=\underset{t=1}{\overset{T}{\Sigma }}{x}_{\mathrm{st}}{\log }_2(1+\frac{g_{\mathrm{st}}{p}_{\mathrm{st}}}{x_{\mathrm{st}}})---\left(2\right)$

设置一种比例公平性方法，即使得速率R_s在不同的用户间在某种意义上是公平的，同时使得系统总速 率在一定意义上最大。

文献^[9](Kelly,F.P.;Maulloo,A.K.;Tan,D.K.H."Rate control for communication networks:Shadow prices, proportional fairness and stabilityJournal of the Operational Research Society,"v49,n3,p237-252,Mar1998)提出 了一种单系统MAC层中调度比例公平性的定义，我们将其扩展到异构分流系统的资源分配中来。

定义：比例公平性

多无线电系统中，用户的数据传输速率分配是比例公平的，当且仅当对于任何其 它可行的资源分配方法来说，下式成立：

$\underset{s=1}{\overset{S}{\Sigma }}\frac{R_s^{\left(K\right)}-R_s^{\left(J\right)}}{R_s^{\left(J\right)}}\le 0---\left(11\right)$

其中和分别表示采用K和J两种不同的分配方法时多无线电系统中用户s的数据传输速率，也 就是多无线电系统中各个网络分配给该用户的数据传输速率之和，其值分别表示如下：

$F\left(\overrightarrow{R^{\left(J\right)}}\right)=\underset{s=1}{\overset{S}{\Sigma }}\ln \left(R_s^{\left(J\right)}\right)---\left(12\right)$

$R_s^{\left(J\right)}=\underset{t=1}{\overset{T}{\Sigma }}{r}_{\mathrm{st}}^{\left(J\right)}=\underset{t=1}{\overset{T}{\Sigma }}{x}_{\mathrm{st}}^{\left(J\right)}{\log }_2(1+\frac{g_{\mathrm{st}}{p}_{\mathrm{st}}^{\left(J\right)}}{x_{\mathrm{st}}^{\left(J\right)}})---\left(13\right)$

因此在多无线电系统中，满足比例公平性的联合资源分配方法应当满足以下条件：

$\left(\begin{array}{c}\left(a\right)\underset{s=1}{\overset{S}{\Sigma }}\frac{R_s^{\left(K\right)}-R_s^{\left(J\right)}}{R_s^{\left(J\right)}}\le 0\\ \left(b\right)\underset{s=1}{\overset{S}{\Sigma }}{x}_{\mathrm{st}}^{\left(K\right)}\le X_t,\underset{s=1}{\overset{S}{\Sigma }}{x}_{\mathrm{st}}^{\left(J\right)}\le X_t,\forall t\\ \left(c\right)\underset{t=1}{\overset{T}{\Sigma }}{p}_{\mathrm{st}}^{\left(K\right)}\le P_s,\underset{t=1}{\overset{T}{\Sigma }}{p}_{\mathrm{st}}^{\left(J\right)}\le P_s,\forall s\\ \left(d\right)x_{\mathrm{st}}^{\left(K\right)},x_{\mathrm{st}}^{\left(J\right)},p_{\mathrm{st}}^{\left(K\right)},p_{\mathrm{st}}^{\left(J\right)}\ge 0,\forall s,t\end{array}\right)---\left(14\right)$

其中X_t和P_s分别表示接入点的总带宽和用户端的总发射功率

现在我们需要做的是找到一种资源分配方法使得式(16)成立，大多数文献在考虑公平性时，没有考虑在 多无线电系统中同时兼顾公平性和系统效率的问题，我们提出了一种方法，使得系统吞吐量在一定意义下 最大，同时满足式(16)。

为此，我们定义函数

$F\left(\overrightarrow{R^{\left(J\right)}}\right)=\underset{s=1}{\overset{S}{\Sigma }}\ln \left(R_s^{\left(J\right)}\right)---\left(15\right)$

是用户对数速率的和，一定意义上反映了系统吞吐量的大小。

将式(4)进行变形可得：

$\underset{s=1}{\overset{S}{\Sigma }}\frac{R_s^{\left(K\right)}-R_s^{\left(J\right)}}{R_s^{\left(J\right)}}=(\frac{1}{R_1^{\left(J\right)}},\frac{1}{R_2^{\left(J\right)}}...\frac{1}{R_S^{\left(j\right)}})·{(R_1^{\left(K\right)}-R_1^{\left(J\right)},R_2^{\left(K\right)}-R_2^{\left(J\right)}...R_S^{\left(K\right)}-R_S^{\left(J\right)})}^T=▿F{\left(\overrightarrow{R^{\left(J\right)}}\right)}^T·(\overrightarrow{R^{\left(K\right)}}-\overrightarrow{R^{\left(J\right)}})---\left(16\right)$

上式中▽代表对函数求取一阶导数，上标T代表求取矩阵的转置。

下面我们将证明存在这样一种比例公平性资源分配方法，它使得用户对数速率的和最大，同时 满足比例公平性要求。

证明：

首先证明这个最大化问题有唯一解。

函数是凹函数(对数函数是凹函数)的线性组合，所以它本身也是凹函数，又因为可行集(网络带 宽和发射功率的限制条件)是凸集，所以函数的任何局部最大值一定是全局最大值。

一方面，通过求的二次导数可知其Hesse矩阵是负定的，因此是严格的凹函数，而一个 严格的凹函数在凸集上最多只有一个最大值；另一方面，是连续性的，并且其可行域是一个有界限 的集合(实数集合的子集)，所以它在可行域上至少有一个最大值。上述两点证明了在可行域上有且 仅有一个最大值，并且任何局部最大值一定就是全局最大值。

下面证明最大化时的唯一解也满足比例公平性要求。

假设对于任意均是可行解。

$F(\overrightarrow{R^{\left(J\right)}}+\overrightarrow{\delta })-F\left(\overrightarrow{R^{\left(J\right)}}\right)=▿F{\left(\overrightarrow{R^{\left(J\right)}}\right)}^T·\overrightarrow{\delta }+\frac{1}{2}{\overrightarrow{\delta }}^T·{▿}^{2}F\left(\overrightarrow{R^{\left(J\right)}}\right)·\overrightarrow{\delta }+o\left({\left|\right|\overrightarrow{\delta }\left|\right|}^2\right)---\left(17\right)$

上式中的代表二阶无穷小，代表函数的二阶导数。由于是严格的凹 函数，是一个负数，所以对于充分小的来说，下式成立：

$\frac{1}{2}{\overrightarrow{\delta }}^T·{▿}^{2}F\left(\overrightarrow{R^{\left(J\right)}}\right)·\overrightarrow{\delta }+o\left({\left|\right|\overrightarrow{\delta }\left|\right|}^2\right)<0---\left(18\right)$

假设数据传输速率分配是比例公平的，即满足：

$▿F{\left(\overrightarrow{R^{\left(J\right)}}\right)}^T·\overrightarrow{\delta }\le 0---\left(19\right)$

由(19)可知所以函数在处有局部最大值，也就是全局最大值。

同样，假设函数在处有全局最大值，令是任意一个可行解，把D记作：

$D=▿F{\left(\overrightarrow{R^{\left(J\right)}}\right)}^T·(\overrightarrow{R^{\left(K\right)}}-\overrightarrow{R^{\left(J\right)}})---\left(20\right)$

由于可行集是凸集，所以D又可以表示为下式：

$D=\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{F(\overrightarrow{R^{\left(J\right)}}+t(\overrightarrow{R^{\left(K\right)}}-\overrightarrow{R^{\left(J\right)}}))-F\left(\overrightarrow{R^{\left(J\right)}}\right)}{t}---\left(21\right)$

由假设可知函数处有全局最大值，所以D≤0，由式(20)、(16)和(11)知用户数据传输速 率分配是比例公平的。

因此本发明得到了一种考虑了公平性和效率平衡的多系统用户联合资源分配方法，本发明的最优化问 题可抽象为式(24)所示。约束条件d是本发明充分考虑了带宽为子信道整数倍的特点后得出的，也是区别于 其他文献的地方。式(24)中优化目标为关于{x,p}的凹函数，根据文献^[10](Stephen Boyd,Lieven Vandenberghe. Convex Optimization[M].New York,USA,Cambridge University Press，2004.)中的证明可知其近似最优解很容 易求得，且其局部最优解即为全局最优解。

步骤二、忽略条件d的前提下，通过梯度法求得近似最优解，所述方法包括以下步骤：

最优化问题的拉格朗日函数为：

$\left(\begin{array}{c}L(x,p;\lambda ,\mu )=\underset{s=1}{\overset{S}{\Sigma }}\left(\underset{t=1}{\overset{T}{\Sigma }}{x}_{\mathrm{st}}{\log }_2(1+\frac{g_{\mathrm{st}}{p}_{\mathrm{st}}}{x_{\mathrm{st}}})\right)\\ +\underset{t=1}{\overset{T}{\Sigma }}{\lambda }_t(X_t-\underset{s=1}{\overset{S}{\Sigma }}{x}_{\mathrm{st}})+\underset{s=1}{\overset{S}{\Sigma }}{\mu }_s(P_s-\underset{t=1}{\overset{T}{\Sigma }}{p}_{\mathrm{st}})\\ =\underset{s=1}{\overset{S}{\Sigma }}[\ln \left(\underset{t=1}{\overset{T}{\Sigma }}{x}_{\mathrm{st}}{\log }_2(1+\frac{g_{\mathrm{st}}{p}_{\mathrm{st}}}{x_{\mathrm{st}}})\right)-\underset{t=1}{\overset{T}{\Sigma }}{\lambda }_t{x}_{\mathrm{st}}+{\mu }_s{P}_s-{\mu }_s\underset{t=1}{\overset{T}{\Sigma }}{p}_{\mathrm{st}}]\\ +\underset{t=1}{\overset{T}{\Sigma }}{\lambda }_t{X}_t\end{array}\right)---\left(4\right)$

其中λ=[λ₁，λ₂，...λ_m]是与接入点带宽分配约束相关的乘子向量，而μ=[μ₁，μ₂，...μ_n]是与用户端发送功率约束 相关的乘子向量。

利用KKT条件^[10]求得带宽分配与功率分配之间的关系：

$p_{\mathrm{st}}=x_{\mathrm{st}}·{[\frac{1}{\ln 2·R_s{\mu }_S}-\frac{1}{g_{\mathrm{st}}}]}^{+}---\left(5\right)$

其中[a]⁺＝max{a,0}；

本方法采用梯度法更新带宽^[10]，选取合适的步长a则x_st,可收敛：

$x_{\mathrm{st}}^{k+1}={[x_{\mathrm{st}}^k-a\frac{\partial L}{\partial x_{\mathrm{st}}}]}^{+},\forall s,t---\left(6\right)$

在已知x_st,下，根据式(26)，则可求得p_st,

同样采用梯度法更新拉格朗日乘子λ和μ，如下：

${\lambda }_t^{k+1}={[{\lambda }_t^k-b(X_t-\underset{s=1}{\overset{S}{\Sigma }}{x}_{\mathrm{st}})]}^{+},\forall t---\left(7\right)$

${\mu }_s^{k+1}{[{\mu }_s^k-c(P_s-\underset{t=1}{\overset{T}{\Sigma }}{p}_{\mathrm{st}})]}^{+},\forall s---\left(8\right)$

其中k为迭代轮次，b和c为迭代步长。通过选取合适的迭代步长理论上可以保证收敛；

由式(26)可以看到，功率分配p_st、带宽分配x_st和用户当前速率R_s之间相互关联，因此需要采用如下的 迭代方法求解；R_s更新如下：

$R_s^{m+1}=R_s^m-d^m(R_s^m-\underset{s=1}{\overset{S}{\Sigma }}\ln \left(\underset{t=1}{\overset{T}{\Sigma }}{x}_{\mathrm{st}}{\log }_2(1+\frac{g_{\mathrm{st}}{p}_{\mathrm{st}}}{x_{\mathrm{st}}})\right))---\left(9\right)$

其中m为速率迭代次数，d是UE_m速率更新迭代步长。通过选取合适的迭代步长可以保证速率的收敛性；

通过以下顺序求解得出近似最优解：

(1)初始化功率迭代轮次k=0，初始化迭代步长a、b和c，初始化χ_st、p_st,

(2)初始化速率迭代轮次m=0，并初始化

(3)For UE s=1：S

For NT t=1：T

根据式(27)计算χ_st,根据式(26)计算p_st,

End For

End For

For UE s=1：S

根据式(30)更新速率R_s,

E_nd Fo_r

(4)令m=m+1，重复步骤(3)直到R_s,收敛；

(5)根据公式(28)和(29)更新λ_t和μ_s，；

(6)令k=k+1，返回步骤(2)直到p_st和χ_st收敛

步骤三、根据步骤二求出的近似最优解，对所有求得的带宽χ_st取向下的最大子信道带宽整数倍：

其中d_t代表网络NT_t的子信道带宽，然后对于每一个NT，统计剩余带宽资源 为了保证公平性，对于每一个NT，将剩余带宽资源按照子信道带宽为单元分配给带 宽最小的UE_s：

For NT t=1：T

$\mathrm{While}(X_t^{*}>d_t)$

选取带宽最小的UE_s，分配一个dt给它，更新UE_s带宽以及剩余带宽资源;

End While

End For

步骤四、为了衡量用户比例公平性，引入Jain公平性因子(Fairness index，FI)^[11](Jain R，Hawe W，Chiu  D.A Quantitative M easure of Fairness and Discrimination for Resource Alloeation in Shared Computer Systems， DEC-TR-301[R].Maynard，MA，USA：DEC，1984.)来表示方法的公平性，FI定义为：

$\mathrm{FI}={\left(\underset{s=1}{\overset{S}{\Sigma }}{R}_s\right)}^2/(S·\underset{s=1}{\overset{S}{\Sigma }}{R}_s^2)---\left(10\right)$

可以看出，FI为小于1的正数，并且其取值越接近于1，说明方法的用户比例公平性越好。

综上所述，本发明针对基于OFDMA的多载波系统中对于用户比例公平性和系统效率问题进行了研究， 提出了一种联合功率和系统带宽的资源分配方法，既保证了用户比例公平性，又在一定程度上优化吞吐量 性能，同时考虑了分配的带宽是子信道带宽整倍数的特点，对分配给每个终端的带宽进行整数倍调整，以 求贴近OFDMA系统的实际，并充分利用取整后的剩余带宽。仿真结果表明，本发明所提方法在吞吐量相 对损失较小的情况下，保持了较高的用户公平性，最大限度优化了公平性和系统效率问题，同时也说明了 本发明所提带宽调整过程的有效性。