基于数据驱动的时滞系统PID控制器镇定方法

摘要

一种基于数据驱动的时滞系统PID控制器镇定方法。首先利用多频率点的继电辨识，给出被控时滞对象的输入输出频域响应数据，并提取出特性参数；然后，由PID镇定的必要条件得到PID控制器中比例增益k

说明书

技术领域

本发明涉及的是一种用于工业过程控制技术领域的方法，具体是一种 基于数据驱动的时滞系统PID控制器镇定方法。

背景技术

工业生产过程中广泛地存在着时滞现象，时滞的存在使得被控量不能 及时地反映系统所承受的扰动，从而产生明显的超调，导致控制系统 的稳定性变差，调节时间延长，对控制系统的性能产生不良的影响， 甚至造成系统的不稳定，对系统的设计和控制增加了很大的困难。因 此，针对时滞过程的控制方法一直是控制领域研究的重要课题。

近几十年来，已有许多学者对时滞系统的稳定性和控制问题进了广泛 而深入的研究，取得了一些重要的研究成果，但目前对于该领域的理 论和工程实践研究仍有许多问题尚未完全解决，尤其是理论研究与工 程实践的脱节问题。虽然以H₂和H_∞为代表的现代控制理论，在时滞系 统控制的理论研究方面取得了一些成果，但是这些成果在用于工业过 程控制时有其本身的局限性，如对于线性时滞系统，利用这些方法所 得到的最优控制器均为真有理结构，而且往往阶次较高，一般与被控 对象的阶次相同，甚至更高，故控制器的实现成本很高，很难在工业 现场使用。因此，尽管许多现代控制方法不断推出，但在实际工业过 程中，PID控制器因其结构简单、阶次低、适用范围广、具有鲁棒性等 优点，仍被广泛应用于化工、冶金、机械、热工和轻工等工业过程控 制系统中。在工业过程控制中，95％以上的控制回路都是设计PID控制 器进行控制的。

目前，大多数PID控制方法是基于描述实际控制对象的数学模型，而所 获得的数学模型与相应的实际系统之间不可避免地存在模型误差，这 就导致较差的控 制性能，甚至使得在仿真实验中能镇定被控对象模型的PID控制器在应 用于相应的实际系统时无法保证系统的稳定性。

关于基于数据驱动的不依赖被控对象模型的PID控制器设计方法目前还 较少，最为代表的是Ziegler-Nichols特性法。但对于复杂的系统，Z iegler-Nichols特性法无法获得良好的控制效果，这主要是由于Zieg ler-Nichols特性法是基于临界频率响应数据得到PID控制参数的，未 能考虑影响控制性能的其它频域响应数据。保证闭环控制系统稳定是 PID控制器设计和整定的最基本要求。故不依赖于被控时滞对象模型， 仅基于其输入输出数据确定能够镇定闭环控制系统的所有PID控制参数 （即PID控制参数的稳定集）就显得尤为重要。只要在所获得的PID控 制参数稳定集中选取控制参数，均能保证系统是稳定的，从而实现PI D控制器对无模型被控对象的镇定。若基于具有时滞的被控对象的输入 输出数据，能够直接给出镇定被控对象的PID控制器稳定域，还可进一 步设计满足不同性能指标要求的PID控制器，即满意PID控制器。

针对无时滞的被控对象，Keel给出了不依赖数学模型的PID控制器稳定 域求解方法（PID Controller Synthesis Free of Analytical  Models, Proceedings of the 16th IFAC World Congress , 2005, 16: 367-372）。针对具有时滞的被控对象，Li基于D分割 法提出了基于频域响应数据的PID控制器稳定域求解方法（Synthesis  of PID-type controllers without parametric models: A  graphical approach，Energy Conversion and Management,  2008, 49(8): 2392-2402），并进一步给出了不依赖数学模型的H_∞PID控制器设计方法（Frequency parameterization of H_∞ PID  controllers via relay feedback: A graphical approach,  Journal of Process Control, 2011, 21(4): 448-461）。上 述方法必须通过在被边界线分割的许多不同区域内选取控制参数值进 行稳定性测试才能确定稳定域。为了避免进行稳定性测试的复杂性， 林示麟通过判断边界线的哪一侧具有更少的不稳定极点给出了无模型 单输入单输出时滞系 统的PID控制参数稳定域(无模型SISO时滞系统的PID参数稳定域研究,  控制理论与应用, 2009, 26(4): 443-445)。该方法虽然能够简 单有效地确定PID控制参数稳定域，但仍是一种图形法，而且所获得的 稳定域边界线是无规则的曲线，很难计算出所有能够使闭环控制系统 稳定的PID控制参数集合，从而也很难用于PID控制器的在线调节和满 足不同性能指标要求的PID控制器设计。

发明内容

为了克服现有PID控制器的镇定与设计方法在应用于实际时滞系统的控 制中所存在的缺陷和不足，本发明拟基于被控时滞对象的输入输出频 域响应数据，确定能保证闭环控制系统稳定的PID控制参数集合，提出 基于数据驱动的时滞系统PID控制器镇定方法。所获得的控制参数集合 最显著的特点是具有线性规划的特性，即当比例增益给定时，能保证 系统稳定的积分增益值和微分增益值的二维空间集合是一个或若干个 多边形。只要在该集合中选取PID控制参数，均能够使得PID控制器镇 定该被控的时滞对象。

首先利用多频率点的继电辨识，给出被控时滞对象的输入输出频域响 应数据，并提取出特性参数；然后，根据频域响应数据和特性参数， 得到能使闭环系统稳定的充要条件；由PID镇定的必要条件得到比例增 益k_p的最大取值范围；对于固定的k_p取值，得到能使闭环系统稳定的 (k_d,k_i) (k_d和k_i分别是微分增益和积分增益)控制参数区域；遍历k _p，即可得到所以能使系统稳定的控制参数集。只要在所获得的控制参 数稳定集中选取控制参数，均能实现PID控制器对被控时滞对象的镇定 。

本发明解决其技术问题所采用的技术方案是：

一种基于数据驱动的时滞系统PID控制器镇定方法包括以下步骤：

(1) 给被控对象一个阶跃输入信号u，对控制系统输出进行滤波，测 量其输出端开始出现响应信号y的时间。该时间为被控对象的时滞，用 θ表示；

(2) 建立图1中的继电反馈系统，其中的G(s)为被控时滞对象，C(s) 为具有 以下形式的PID控制器：

$C\left(s\right)=k_p+\frac{k_i}{s}+k_{d}s---\left(1\right)$

其中，k_p、k_i和k_d分别为控制器的比例、积分和微分增益。将图1中的 开关拨至继电器输入端；

(3) 由继电反馈下的输入和输出数据，利用继电反馈辨识，获得被控 对象的多点频率响应数据，并根据频率响应数据绘制被控对象的Bode 图和Nyquist图；下面分别考虑被控对象为稳定系统和不稳定系统两种 情况：

(a)稳定的被控时滞对象

把被控过程在继电反馈下的响应分为稳态部分和暂态部分：

u(t)=Δu(t)+u_s(t)，y(t)=Δy(t)+y_s(t)(2)

其中，u(t)和y(t)分别为输入和输出响应，u_s(t)和y_s(t)分别为输入 和输出响应的稳态部分，Δu(t)和Δy(t)分别为输入和输出响应的暂 态部分。设系统在t=T_f时达到稳态的周期振荡，达到振荡后的振荡周 期为T_c，则被控对象的频率响应数据可由下式获得：

$G\left(j{\omega }_l\right)=\frac{T\underset{k=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}\mathrm{\Delta y}\left(\mathrm{kT}\right)e^{-j{\omega }_l\mathrm{kT}}+\frac{T}{1-e^{-j{\omega }_l{T}_c}}\underset{k=0}{\overset{N_c}{\Sigma }}{y}_s\left(\mathrm{kT}\right)e^{-j{\omega }_l\mathrm{kT}}}{T\underset{k=0}{\overset{N-1}{\Sigma }}\mathrm{\Delta u}\left(\mathrm{kT}\right)e^{-j{\omega }_l\mathrm{kT}}+\frac{T}{1-e^{-j{\omega }_l{T}_c}}\underset{k=0}{\overset{N_c}{\Sigma }}{u}_s\left(\mathrm{kT}\right)e^{-j{\omega }_l\mathrm{kT}}}---\left(3\right)$

其中，T是采样周期，Δy(kT)和y_s(kT)分别是Δy(t)和y_s(t)在t=KT时 刻的采样值，Δu(kT)和u_s(kT)分别是Δu(t)和u_s(t)在t=KT时刻的采 样值，N和N_c是分别满足等式(N-1)T=T_f和N_c=(T_c-T)/T的正整数，k=0 ,1,2,…,N-1，ω_l=2πl/(NT)。被控对象G(s)的频域响应在频域控制 理论中可被描述为

G(jω)=G_r(ω)+jG_i(ω)                      (4)

其中，G_r(ω)和G_i(ω)分别为被控对象的频域响应数据的实部和虚部 ，从而可绘出被控对象的Bode图和Nyquist图；

(b)不稳定的被控时滞对象

如果被控对象G(s)是不稳定的，则无法利用式(3)直接获得频率响应数 据。将 首先通过手动调节给出一个能使G(s)稳定的PID控制器G₀(s)，接着根 据稳定的被控对象的频率响应数据的获取方法，给出由控制器G₀(s)和 被控对象G(s)组成的闭环系统的频率响应数据T(jω_l)，最后由下式给 出被控时滞对象G(s)的频率响应数据

$G\left(j{\omega }_l\right)=\frac{T\left(j{\omega }_l\right)}{C_0\left(j{\omega }_l\right)(1-T\left({\mathrm{j\omega }}_l\right))}---\left(5\right)$

并由频率响应数据绘出被控对象的Bode图和Nyquist图；

(4) 基于步骤(3)中所获得的Bode图和Nyquist图，计算确定PID控制 器稳定域所必需的特性参数。将G(s)写成如下的形式

$G\left(x\right)=\frac{N\left(s\right)}{D\left(s\right)}{e}^{-\mathrm{\theta s}}---\left(6\right)$

其中，N(s)和D(s)是关于s的多项式，θ表示时滞；令n和m分别为式( 6)中D(s)和N(s)的最高阶次，r(N)、l(N)和j(N)分别为G(s)在右半平 面、左半平面和虚轴上的零点，r(D)、l(D)和j(D)分别为G(s)在右半 平面、左半平面和虚轴上的极点；由Bode图和Nyquist图给出确定PID 稳定域所需的被控对象的特性参数值n-m，r(N)，r(D)，j(N)和j(D)：

(a) 根据下式确定n-m的值

$n-m=-\frac{1}{20}·{\frac{d{P}_{\mathrm{db}}\left(\omega \right)}{d\left({\log }_{10}\omega \right)}|}_{\omega \to \infty }---\left(7\right)$

其中，P_db(ω)=20log₁₀|G(jω)|，dP_db(ω)/d(log₁₀ω)表示函数P_db(ω) 关于log₁₀ω的一阶导数；

(b) 计算j(N)和j(D)的值

若Bode图中的幅值曲线有突变，则必存在虚轴零点或极点，若是上升 突变，则为虚轴极点，若为下降突变，则为虚轴零点。令突变点的个 数为V，所对应的ω值为ω_v，其中v=1,2,…,V。接着，绘制的幅值曲 线图，其中，u_v=1,2,…，直至幅值曲线图上的突变情况消失。假定突 变情况消失时，u_v=U_v。对于上升突变的情况，则虚轴极点的个数

$j\left(D\right)=\underset{v=1}{\overset{V}{\Sigma }}2U_v---\left(8\right)$

利用上述计算上升突变情况下的虚轴极点个数的方法，可得到下降突 变时的虚轴零点个数j(N)；

(c) 计算r(D)和r(N)的值

(i) 稳定的被控时滞对象

由于被控对象是稳定的，因此r(D)=0。令L^*为一足够大的正整数。G( jω)在ω由0变化到2 L^*π/θ的相位差为：

${\Delta }_0^{2L^{*}\pi /\theta }\angle G\left(\mathrm{j\omega }\right)=-(n-m)·\frac{\pi }{2}-2[r\left(N\right)-r\left(D\right)]·\frac{\pi }{2}-[j\left(N\right)-j\left(D\right)]\frac{\pi }{2}-2L^{*}\pi ---\left(9\right)$

由式(9)可推导出

$r\left(N\right)=\mathrm{int}(-\frac{1}{\pi }{\Delta }_0^{2L^{*}\pi /\theta }\angle G\left(\mathrm{j\omega }\right)+\frac{1}{2}(m-n)+r\left(D\right)-\frac{1}{2}[j\left(N\right)-j\left(D\right)]-2L^{*})---\left(10\right)$

其中，为取整函数。

(ii) 不稳定的被控时滞对象

令能使闭环系统稳定的控制器C₀(s)的传递函数的分子和分母多项式分 别为N_C(s)和D_C(s)，n_c为多项式D_C(s)的最高阶次，l(N_C)和r(N_C)分别 为N_C(s)的左半平面零点个数和右半平面零点个数。包含控制器C₀(s) 和被控对象G(s)的闭环传递函数T(s)为

$T\left(s\right)=\frac{N_C\left(s\right)N\left(s\right)}{e^{\mathrm{\theta s}}{D}_C\left(s\right)D\left(s\right)+N_C\left(s\right)N\left(s\right)}---\left(11\right)$

则闭环传递函数为

δ(s)=e^θsD_C(s)D(s)+N_C(s)N(s)                    (12)

由于该系统是稳定的，所以闭环特征函数δ(s)的所有零点都在左半平 面。由改进的Hermite定理知δ(jω)在ω∈((2L^*π+η)/θ,(2L^*π+ η)/θ)间的幅角变化为(4L^*+n+n_c)π，其中η的值可在区间[0, π /4]内进行选择。因此，当s=jω时，T(jω)在ω由(-2L^*π+η)/θ变 化到(2L^*π+η)/θ的相位差可表示为：

$\left(\begin{array}{c}{\Delta }_{(-2L^{*}\pi +\eta )/\theta }^{(2L^{*}\pi +\eta )/\theta }\angle T\left(\mathrm{j\omega }\right)=[l\left(N\right)-r\left(N\right)]\pi +[l\left(N_C\right)-r\left(N_C\right)]\pi -(4L^{*}+n+n_c)\pi \\ =-(n-m)-[j\left(N\right)+2r\left(N\right)]-[n_c-l\left(N_C\right)+r\left(N_C\right)]-4L^{*}\end{array}\right)---\left(13\right)$

根据T(jω)的Bode图和Nyquist图可计算出，因此根据上式可以获取 r(N)的值。由G(jω)的Bode图和Nyquist图可计算出，因此，进一步 根据式(9)可获取r(D)；

(5)令z=θω，由频域响应数据G_r(ω)和G_i(ω)获得G_r(z)，G_i(z)和，其中，G_r(z)和G_i(z)分别为G(jz/θ)的实部和虚部；

(6) 将图1中的开关拨至控制器输入端；

(7) 选取足够大的正整数l^*和在区间[0,π/4]内的η值，确定能使闭 环系统稳定的k_p的最大可允许稳定范围。令W为函数f₁=k_p和 在(0, 2l^*π+η)间的交点个数，则能使闭环系统稳定的k_p必须满足下述条件 ：

从而由上式可得到k_p的最大可允许稳定范围。

(8) 令k_p的最大可允许稳定范围为[k_pmin,k_pmax]，将k_p值在该范围内进行 等间隔的遍历，即每个遍历点为，其中F为遍历点之间的间隔，w=0, 1,…,F。

(9) 对于其中一个遍历点，根据以下步骤确定能够保证闭环系统稳 定的(k_d,k_i)二维稳定域：

(a) 根据系统的闭环特征函数得到

$\bar{Q}\left(s\right)=\frac{1}{D\left(s\right)D(-s)}[{\mathrm{se}}^{\mathrm{\theta s}}D\left(s\right)N(-s)+(k_i+k_{p}s+k_d{s}^2)N\left(s\right)N(-s)]---\left(15\right)$

令s=jz/θ，可得到的实部和分别为

${\bar{Q}}_r(z,k_i,k_d)=\frac{z}{\theta }{G}_i\left(z\right)+(k_i-k_d\frac{z^2}{{\theta }^2})[G_r^2\left(z\right)+G_i^2\left(z\right)]---\left(16\right)$

${\bar{Q}}_i(z,k_p)=\frac{z}{\theta }\{G_r\left(z\right)+k_p[G_r^2\left(z\right)+G_i^2\left(z\right)\left]\right\}---\left(17\right)$

确定在区间 [0,2l^*π+η)的实根，按从小到大的顺序表示为z₀,z₁,z₂,…,z_d-1，其中，z₀=0，d为在区间 [0,2l^*π+η)的实数个数。

(b) 令I={i₀,i₁,…,i_d-1}，根据下述稳定性的充分必要条件确定I：

γ(I)=4l^*+(n-m)+j(N)+2r(N)              (18)

其中，

，ε是一足够小的正实数，t=0,1,2,…d时所对应的i_t需满足下述条 件之一：

(i)若被控对象在虚轴上有零点z_t/θ，则i_t =0；

(ii)若被控对象在原点处有零点，则，其中，表示函数关于z的一 阶导数；

(iii) 对其它的t=0,1,2,…d-1，i_t=1或-1；

(c) 对于遍历点，(k_d,k_i)二维稳定域由下式决定:

$[k_i-k_d\frac{{z_t}^2}{{\theta }^2}+\frac{z_t}{\theta }\frac{G_i\left(z_t\right)}{G_r^2\left(z_t\right)+G_i^2\left(z_t\right)}]i_t>0---\left(19\right)$

其中，z_t为在区间 [0,2l^*π+η)的实根，t=0,1,2,…d-1。通过求 取所有z_t所对应的由(19)所决定的不等式组的交集，即可确定具有凸 多边形特性的(k_d,k_i)二维稳定域；

(10) 对于步骤(8)中所给出的k_p的每个遍历点，都重复步骤(9)，确 定能使闭环系统稳定的所有PID控制器集合；

(11) 在所获得的PID控制器稳定集合中选取控制参数，执行被控对象 的PID 镇定控制：首先对控制系统输出采样滤波，经模拟量输入通道传输信 号，并将信号接入检测变送装置，再经A/D转换后得到数字量输入信号 与此时的系统设定值比较后得到不同时刻的跟踪误差，基于跟踪误差 ，按照离散域PID控制算式计算控制信号增量Δu(n)的值，与前一时刻 的控制信号u(n-1)通过加法器进行加法运算就得到当前时刻的输出控 制信号u(n)，其中，n为当前时刻的采样步数。Δu(n)计算公式如下：

Δu(n)=b₁e(n)+b₂e(n-1)+b₃e(n-2)             (20 )

其中，b₁=(k_pR+k_d+R²k_i)/R，b₂=-(k_pR+2k_d)/R，b₃=k_d/R ，R为系统 采样周期，Δu(n)为当前采样步数为n时控制器输出信号增量，e(n)为 当前采样步数为n时的跟踪误差，e(n-1)为采样步数为n-1时的跟踪误 差，e(n-2)为采样步数为n-2时的跟踪误差。输出控制信号u(n)由D/A 转换后输出至执行器，由执行器作用到被控对象，使被控对象运行在 稳定状态，从而实现被控对象的PID镇定控制。

本发明的目的在于，针对无法建立模型或无准确模型的线性时滞系统 ，给出基于数据驱动的时滞系统PID控制器镇定方法。首先利用多频率 点的继电辨识方法，给出被控时滞对象的输入输出频域响应数据，并 提取出特性参数。然后，由PID镇定的必要条件得到k_p的最大可允许稳 定范围。对于固定的k_p取值，给出能使闭环系统稳定的(k_d,k_i)二维稳 定区域。所获得的(k_d,k_i)二维稳定区域具有凸多边形的特性。通过遍 历k_p的最大可允许稳定范围，即可得到能使系统稳定的PID控制参数集 。

该方法避免了模型辨识的复杂计算过程，以及模型辨识误差所导致的 控制结果不准确性，为实际工业控制过程中无法建立模型或无精确模 型的线性时滞系统的PID控制器设计提供了简单有效的途径。该方法适 用于最小相位、非最小相位、稳定、不稳定以及具有虚轴零极点的所 有线性时滞系统，还可进一步扩展应用于无模型时滞被控对象的PID控 制器最优设计和同时满足不同性能指标要求的PID控制器满意设计。

附图说明

图1为本发明采用的继电反馈系统框图。

其中C为控制器，G为被控对象，r和y分别为闭环系统的输入和输出， u为控制器输出。

图2为本发明实施例中系统的Nyquist图。

图3为本发明实施例中系统的Bode图。

图4为本发明实施例中，函数f₁=k_p 和 的曲线。

图5为本发明实施例中，当k_p=-0.5时(k_d,k_i)的稳定域。

图6为本发明实施例中，能使系统稳定的PID控制器稳定集。

图7为k_p=-0.5，k_d=1，k_i=0.04时，闭环系统的输出响应曲线图。

具体实施方式

下面结合附图和实施例对本发明作进一步描述。

参照图2—图6，一种基于被控对象的输入输出频率响应数据的PID控制 器镇定方法，首先利用对控制对象进行多点频率的继电反馈辨识；根 据频率响应数据绘制频率特性曲线，包括Bode图和Nyquist图；基于改 进的Hermite-Biehler推广定理，根据闭环系统稳定的充分必要条件获 得能使闭环系统稳定的k_p的最大可允许稳定范围；对于固定的k_p值， 基于频域响应数据和所获得的得到能使闭环系统稳定的(k_d,k_i)控制参 数区域；遍历k_p的最大可允许稳定范围，得到能使系统稳定的PID控制 器三维稳定集。

实施例：将本发明提出的控制方法用于造纸生产过程自动控制系统。 在被控对象为稳定对象且模型未知的情况下，设计出能使系统稳定的 PID控制参数稳定集。只要在该集合中选取PID控制参数，就能保证闭 环系统的稳定。

接下来给出具体实施步骤：

(1) 给被控对象一个输入信号u，对控制系统输出进行滤波，测量其 输出端开始出现响应信号y的时间，可得到被控对象的时滞θ=1；

(2) 建立图1所示的继电反馈系统，它包括被控时滞对象G(s)、PID控 制器C(s)、继电器以及变换开关。将继电反馈系统中的开关拨至继电 器端；

(3) 将实际的稳定的被控对象进行多点频率的继电反馈辨识。根据被 控对象在继电反馈下的输出响应，可得到输入输出频率响应数据，并 进一步基于频率响应数据，绘制如图2所示的Nyquist图和如图3所示的 Bode图；

(4) 由被控对象的Nyquist图和Bode图，计算确定PID控制器稳定域所 必需的特性参数。

(a) 由图3和式(7)可得出n-m=1；

(b) Bode图中的幅值曲线无突变，因此不存在虚轴零点或极点，即j (N)=j(D)=0；(c) 取L^*=4，由图2可得：

${\Delta }_0^{4\pi }\angle G\left(\mathrm{j\omega }\right)=-\frac{19}{2}\pi$

被控对象是稳定的，因此r(D)=0。从而，根据式(10)可计算出r(N)=1 。

(5) 由于θ=1，故令z=ω，因而频域响应数据G_r(ω)=G_r(z)，G_i(ω )=G_i(z)；

(6) 将图1所示的继电反馈系统中的开关拨至控制器端；

(7) 选取l^*=4，η=0.1，绘制的曲线，如图4所示。根据系统稳定的 必要条件，如果PID控制器能够镇定该被控对象，则根据式(14)，直线 f₁=k_p与曲线f₂在区间(0,25.233)中的交点个数必须大于或等于9。由 图4可看出，仅当k_p∈(-1,4.6)时，上述条件才能够满足。因此，k_p的 最大可允许稳定范围是(-1,4.6)。

(8) 取F=56，遍历k_p的最大可允许稳定范围(-1,4.6)，则每个遍历点 为，其中，w=0,1,…,56；

(9) 对于其中一个遍历点，根据下述步骤确定能够保证闭环系统稳 定的(k_d,k_i)二维稳定域。

(a) 根据式(17)确定在[0,25.233)中的零点为

z₀=0，z₁=0.123，z₂=0.895，z₃=3.232，z₄=6.399，z₅=9.456，z₆=1 2.625，z₇=15.727，z₈=18.889，z₉=22.005，z₁₀=25.162。

(b) 由闭环系统稳定的充分必要条件(18)可得：

$i_0-2i_1+2i_2-2i_3+2i_4-2i_5+2i_6-2i_7+2i_8-\frac{3}{2}{i}_9+\frac{1}{2}{i}_{10}=19$

因此，得到满足该式的i₀,i₁,i₂,…,i_d序列的取值：

{i₀,i₁,i₂,i₃,i₄,i₅,i₆,i₇,i₈,i₉,i₁₀}={1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,1,-1 ,1}

(c) 由式(19)可得到关于k_i和k_d的线性不等式组：

k_i＞0, k_i＜0.0152k_d+0.1, k_i＞0.8008k_d-1.5, k_i＜10.448k_d+2 3.2,

k_i＞39.6749k_d-88.8, k_i＜89.4140k_d+200.9, k_i＞159.388k_d-358 .3,

k_i＜247.3291k_d+556.2,k_i＞356.7830k_d-802.5,k_i＜484.1980k_d+108 9.1,

k_i＞633.1313k_d-1424.4, k_i＞713.077k_d-30.2966,

求解以上线性不等式组，可获得当k_p=-0.5所对应的(k_d,k_i)二维稳定 域，如图5所示。

(10) 遍历k_p的稳定范围。确定每一个遍历点所对应的(k_d,k_i)的稳定 域，从而确定(k_p,k_i,k_d)空间的参数稳定域。如图6所示。

(11)在所获得的PID控制器稳定集合中选取控制参数k_p=-0.5，k_d=1， k_i=0.04，执行被控对象的PID控制：首先对控制系统输出采样滤波， 经模拟量输入通道传输信号，并将信号接入检测变送装置，再经A/D转 换后得到数字量输入信号与此时的系统设定值比较后得到不同时刻的 跟踪误差，基于跟踪误差，按照离散域PID控制算式计算控制信号增量 Δu(n)的值，与前一时刻的控制信号u(n-1)通过加法器进行加法运算 就得到当前时刻的输出控制信号u(n)，其中，n为当前时刻的采样步数 。令采样周期R=0.1ss，计算Δu(n)的算式为

Δu(n)=9.504e(n)-19.5e(n-1)+10e(n-2)              (21)

其中，e(n)为当前采样步数为n时的跟踪误差，e(n-1)为采样步数为n -1时的跟踪误差，e(n-2)为采样步数为n-2时的跟踪误差。输出控制信 号u(n)由D/A转换后输出至执行器，由执行器作用到被控对象，所获得 的输出响应曲线如图7所示。由图7知，所选取的PID控制参数能够使被 控对象运行在稳定状态。

本发明采用的算法简单结果直观准确，不仅具有理论价值还有实用价 值。采用本发明设计的基于PID控制器，在没有获得系统模型的情况下 ，基于频率响应数据，能够获得PID控制器稳定集。基于该方法，还可 进一步发展满足不同性能指标要求且不依赖于时滞模型的PID控制器设 计方法。