基于Higdon余弦型加权的混合吸收边界条件方法

摘要

一种基于Higdon余弦型加权的混合吸收边界条件方法，属于地震勘探正演模拟领域，具体包括以下步骤：采用二维标量声波方程进行有限差分数值模拟，将整个研究区域分成中心波场区域、过渡区域及边界区域；在中心波场区域及过渡区域，求解二维标量声波双程波方程，得到双程波波场；在过渡区域及边界区域，求解二阶Higdon吸收边界方程，得到单程波波场；在过渡区域，将双程波波场和单程波波场进行余弦型加权叠加，得到最终的波场。本发明采用余弦型加权混合方式来构造混合吸收边界，使得内边界与中心波场区域耦合更好，从而有效地压制了混合吸收边界的内边界反射。

说明书

技术领域

本发明属于地震勘探正演模拟领域，具体涉及一种基于二阶Higdon余弦型加权的混合吸收边界条件方法。

背景技术

地震波正演模拟技术是地震勘探领域中的重要研究内容之一，其除了用于理论分析之外，还可广泛应用于观测系统的优化设计与地震数据处理和解释结果的正确性检验。通过各种模型正演，可分析地震波在地下介质中的传播规律，为后续反演解释工作奠定基础。在地震波正演模拟中，有限差分法以其计算速度快、易于实现等特点受到业内人士的青睐。基于有限差分法进行地震波正演模拟时，必须引入人工边界来界定计算区域，而人工边界的处理效果严重影响着中心波场模拟的精度，因此采用合适的吸收边界条件以较好地压制人工边界反射显得尤为重要。

基于单程波近似的吸收边界条件方法是当前较为常用的人工边界处理方法，其是一种利用Pade序列对波动方程的频散关系进行拟合的吸收边界条件，这种吸收边界具有易于实现、计算量及内存消耗小等优点。然而，传统的低阶吸收边界条件由于拟合精度较低，只可吸收一定角度的入射波，其整体吸收效果并不理想，而高阶吸收边界又会出现零频漂移失稳问题，这严重限制了该类方法在实际波场模拟中的应用。

为提升传统吸收边界条件方法的吸收效果，Liu和Sen于2010年首次提出了混合吸收边界条件，其在中心波场与边界之间增加一个过渡区域，通过线性加权双程波波场与单程波波场实现波场平滑过渡，进而实现了人工边界的高效吸收，为传统吸收边界条件在高精度模拟的应用中提供了一种新的思路。然而现有的混合吸收边界方法仍然存在以下问题，用以构造混合吸收边界的CE、Higdon等单程波边界的边界残余反射主要以内边界反射为主，而常规混合吸收边界通常采用简单的线性混合方式来构造混合吸收边界，并未考虑到这一特点，因此采用此种线性混合方式并没有使混合吸收边界达到最优的吸收效果。

发明内容

本发明要解决的技术问题在于提供一种基于二阶Higdon余弦型加权的混合吸收边界条件方法。本发明充分利用了二阶Higdon吸收边界的边界残余反射主要以内边界反射为主的特点，采用余弦型加权混合方式来构造混合吸收边界。与简单的线性混合方式相比，余弦型的波场加权系数在内边界处变化更为缓慢，而在外边界处变化较快，在实现由中心波场双程波到边界波场单程波平稳过渡的基础上更好地压制了混合吸收边界的内边界反射。因此，在吸收边界层数相同的情况下，其可获得更优的边界反射吸收效果，进一步提升地震勘探正演模拟的精度，从而更有利于分析地震勘探中地震波在地下介质中的传播规律。

本发明采取以下技术方案：

一种基于二阶Higdon余弦型加权的混合吸收边界条件方法，具体包括以下步骤：

(1)采用二维标量声波方程进行有限差分正演模拟，将整个研究区域分成中心波场区域、过渡区域及边界区域，即在常规正演模拟的中心波场区域与边界区域之间增加一个过渡区域；

(2)在中心波场区域及过渡区域，求解二维标量声波双程波方程，可得到双程波波场P_two；地震波的传播应用二维标量声波方程描述：

式(1)中，P为应力，x、z分别为空间坐标，v为声波速度，t为时间；采用时间二阶精度、空间2N阶精度的差分格式来求解声波方程，其具体形式为：

式(2)中，i、j分别是x、z方向上空间离散点序号，k为时间离散点序号，△t为时间离散步长，△x、△z分别为x、z方向上空间离散步长，C_m、C₀均为差分系数，P为应力，x、z分别为空间坐标，v为声波速度，N为空间差分精度的一半，其具体表达式如下：

(3)在过渡区域及边界区域，求解二阶Higdon吸收边界方程，得到单程波波场P_one；以左边界为例，二阶Higdon吸收边界方程为：

式(5)中，P为应力，x为空间坐标，t为时间，α₁、α₂为两个可选择的角度参数，其相应的差分格式为：

式(6)中，

式(7)中，l₁＝△x*cosα₁+v*△t，l₂＝△x*cosα₁-v*△t，l₃＝-△x*cosα₁+v*△t，l₄＝-△x*cosα₁-v*△t，r₁＝△x*cosα₂+v*△t，r₂＝△x*cosα₂-v*△t，r₃＝-△x*cosα₂+v*△t，r₄＝-△x*cosα₂-v*△t，△x为x方向上空间离散步长，△t为时间离散步长，α₁、α₂为两个可选择的角度参数，k为时间离散点序号。

(4)在过渡区域，将双程波波场P_two和单程波波场P_one进行余弦型加权叠加，得到最终的波场：

P_i＝ω_iP_two+(1-ω_i)P_one(8)

式(8)中，P_i为过渡区域最终的波场值，i为控制加权系数的变量，由数值模拟的网格点空间决定，ω_i为加权系数，其表达式为：

式(9)中，M为吸收边界的厚度。

本发明与现有技术相比的有益效果：

1、相对于简单的线性混合方式而言，余弦型的波场加权系数在内边界处变化更为缓慢，而在外边界处变化较快，本发明即在混合吸收边界的过渡区域中，将双程波波场和单程波波场进行余弦型加权叠加，其充分利用了二阶Higdon吸收边界的边界残余反射主要以内边界反射为主的特点，使得内边界与中心波场区域耦合更好，从而有效地压制了混合吸收边界的内边界反射。在吸收边界层数相同的情况下，其可实现边界反射的高效吸收，显著提升地震勘探波场模拟的精度。通过各种模型的高精度正演模拟，即可分析地震波在地下介质中的传播规律，从而为后续地震勘探的偏移成像及反演解释工作奠定良好的基础；

2、本发明可直接应用于实际地震勘探复杂介质的高精度正演模拟中，也可进一步应用于地震勘探逆时偏移、全波形反演等领域中。

附图说明

图1为声波方程混合吸收边界条件示意图；

图2为两种混合方式的波场加权曲线(层厚为20)；

图3(a)直线型加权混合吸收边界400ms时刻的波前快照(层厚为20)，(b)直线型加权混合吸收边界600ms时刻的波前快照(层厚为20)；

图4(a)余弦型加权混合吸收边界400ms时刻的波前快照(层厚为20)，(b)余弦型加权混合吸收边界600ms时刻的波前快照(层厚为20)。

具体实施方式

下面通过实施例结合附图来对本发明的技术方案作进一步解释，但本发明的保护范围不受任何形式上的限制。

实施例1

本发明提出的一种基于二阶Higdon余弦型加权的混合吸收边界条件方法，即基于二阶Higdon吸收边界，并采用余弦型加权混合方式来构造混合吸收边界，其显著提高了正演模拟的边界吸收效果，进一步提高了地震勘探正演模拟的精度。在实施过程中首先确定采用二维标量声波方程进行有限差分正演模拟，然后确定研究区域、观测系统等信息，并于研究区域的中心点激发震源，即可模拟出由震源激发的地震波在研究区域中的传播情形，其具体实施方式如下：

(1)采用二维标量声波方程进行有限差分正演模拟，将整个研究区域分成中心波场区域(区域Ⅰ)、过渡区域(区域Ⅱ：B₂，B₃，……，B_N)及边界区域(区域Ⅲ：B₁)，声波方程混合吸收边界条件示意图如图1所示；

(2)在中心波场区域及过渡区域，求解二维标量声波双程波方程，可得到双程波波场P_two；地震波的传播应用二维标量声波方程描述：

式(10)中，P为应力，x、z分别为空间坐标，v为声波速度，t为时间；采用时间二阶精度、空间2N阶精度的差分格式来求解声波方程，其具体形式为：

式(11)中，i、j分别是x、z方向上空间离散点序号，k为时间离散点序号，△t为时间离散步长，△x、△z分别为x、z方向上空间离散步长，C_m、C₀均为差分系数，P为应力，x、z分别为空间坐标，v为声波速度，N为空间差分精度的一半，其具体表达式如下：

(3)在过渡区域及边界区域，求解二阶Higdon吸收边界方程，得到单程波波场P_one；以左边界为例，二阶Higdon吸收边界方程为：

式(14)中，P为应力，x为空间坐标，t为时间，α₁、α₂为两个可选择的角度参数，其相应的差分格式为：

式(15)中，

式(16)中，l₁＝△x*cosα₁+v*△t，l₂＝△x*cosα₁-v*△t，l₃＝-△x*cosα₁+v*△t，l₄＝-△x*cosα₁-v*△t，r₁＝△x*cosα₂+v*△t，r₂＝△x*cosα₂-v*△t，r₃＝-△x*cosα₂+v*△t，r₄＝-△x*cosα₂-v*△t，△x为x方向上空间离散步长，△t为时间离散步长，α₁、α₂为两个可选择的角度参数，k为时间离散点序号。

(4)在过渡区域，将双程波波场P_two和单程波波场P_one进行余弦型加权叠加，得到最终的波场：

P_i＝ω_iP_two+(1-ω_i)P_one(17)

式(17)中，P_i为过渡区域最终的波场值，i为控制加权系数的变量，由数值模拟的网格点空间决定，ω_i为加权系数，其表达式为：

式(18)中，M为混合吸收边界的厚度。

混合吸收边界的过渡区域主要功能即是实现由中心波场双程波到边界波场单程波的平稳过渡。由图2可知，直线型的波场加权系数在内边界(靠近中心一侧)与外边界处(远离中心波场一侧)的变化速率相同。与直线型相比，余弦型的波场加权系数在内边界处变化更为缓慢，更为平稳，而在外边界处变化较快。对比图3、图4可知，在相同层厚的情况下，采用余弦型混合方式的混合吸收边界可获得更优的吸收效果，显著提高了地震勘探正演模拟的精度。其主要原因为：通常情况下，二阶Higdon吸收边界条件其边界残余反射主要以内边界反射为主，而相对于直线型而言，余弦型混合的波场加权系数在内边界处变化更为缓慢，使得内边界与中心波场区域耦合更好，从而更有效地压制了内边界反射。因此，本发明提出的一种基于二阶Higdon余弦型加权的混合吸收边界条件方法的边界吸收效果相比常规混合吸收边界的效果得到了显著提高，其可为实际地震勘探波场高精度模拟的应用提供一种高效的吸收边界条件方法。采用本发明的边界条件方法来进行地震勘探正演模拟更有利于分析地震波在地下介质中的传播规律，其可为后续地震勘探的偏移成像及反演解释工作奠定良好的基础。