Kommutatoren und Ito's Satz über Charaktergrade

摘要

Stets sei G eine endliche Gruppe. Zweck dieser Note ist die Wiedergabe einfacher Beweise der Sätze von Ito sowie von Curtis-Fossum und Keller über die Grade der irreduziblen komplexen Charaktere von G und die Zurückführung dieser beiden Resultate auf zwischen den Kommutatoren und den Charaktergraden von G bestehende Zusammenhänge. Satz 1, aus dem dann Ito's Resultat abgeleitet wird, beinhaltet ein sowohl hinreichendes als auch notwendiges - von Begriffen der Darstellungstheorie freies - Kriterium dafür, daß eine gegebene natürliche Zahl sämtliche Co-Grade der irreduziblen komplexen Charaktere von G teilt. Im Zentrum der Betrachtung stehen dabei die Zahlen v_n(g) (n ∈ N, g ∈ G), wobei v_n(g) die Anzahl der Elemente (x, y) ∈G~n x G~n mit [x_1, y_1] [x_2, y_2]·····[x_n, y_n] = g bezeichnet. Insgesamt benötigen wir zum Nachweis des Satzes von Ito nur die ersten Orthogonalitätsrelationen, Grundkenntnisse über das Zentrum der Gruppenalgebra C[G] und Methoden der Linearen Algebra; ganze algebraische Zahlen werden (von Z abgesehen) nicht verwendet.