关于一道高考试题的探究

摘要

@@今年高考数学(理)试题第18题，主要考查线线、线面关系.其中问题(Ⅲ)侧重考查学生探索、分析和逻辑推理能力.《标准答案》只是直接给出答案：(CD)/(CC1)=1，将其作为条件推证A1C⊥平面C1BD，但(CD)/(CC1)=1从何而来?对任意平行六面体，使A1C⊥平面C1BD的条件又是什么?本文试作如下探究，请同行赐教.rn1原题　如图1，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°.rn　　(Ⅰ),(Ⅱ)(略).rn　　(Ⅲ)当(CD)/(CC1)的值是多少时，能使A1C⊥平面C1BD?请给出证明.rn　　分析　如图1所示，O为底面ABCD的对角线交点，G为△C1BD的重心，因为几何体是平行六面体，所以其对角线A1C过△C1BD和△AB1D1的重心，且被它们三等分(证略)，又据已知条件可证得平面C1BD⊥平面A1C1C(证略).此两平面的交线为C1O，在平面A1C1C内，从A1作C1O的垂线(图中略去)，则此垂线也就是平面C1BD的垂线，所以∠A1GC1即为斜线A1C和平面C1BD所成的角.当∠A1GC1为直角时，A1C⊥平面C1BD，由此可寻求CD与CC1的关系.rn由余弦定理得