什么是双曲3维流形?

摘要

双曲流形最简单的例子便是双曲空间本身,我们使用Poincaré(庞加莱)圆盘模型来描述它.在图1中,我们可以看到双曲空间的2维版本H2和3维版本H3分别为2维单位圆盘和3维单位圆盘的内点集.在这两个空间,测地线恰是垂直于缺失边界的直径或圆弧.可以看到,任何以测地线为边的三角形内角和均小于180°.对测地线的这种选取会决定一个相应的度量,并且我们可以证明该度量具有恒定的截面曲率一1,从而印证了双曲空间曲率为负这一陈述.