函数Riemann和式的类Taylor级数展开式

摘要

如果一元解析函数f(x)无f限阶可导,其Taylor级数展开式f(x)=f(0)+f'(0)x+f″(0)/2!x^2+…+f^((k))(0)/k!x^k+…=∞∑k=0f^((k))(0)/k!x^k.本文讨论将一元无限阶可导函数f(x)在区间[a,b]上的Riemann和式b-a/nn∑k=1f(a+k/n(b-a))展开成1/n的级数:b-a/nn∑k=1f(a+k/n(b-a))=A_0+A_1·1/n+A_2/2!·(1/n)~2+···+A_i/i!·(1/n)~i+···可以看到,这个展开式在形式上与函数的Taylor级数展开式非常相似.