特殊函数的渐近展开式与不等式以及完全单调函数

摘要

本文证明了一些特殊函数的渐近展开式与不等式以及完全单调函数.主要结果如下：
　　1.2014年,陈超平[1]提出下面两个猜想:
　　(i)对所有的m∈N0,函数(此处公式省略)在(0,∞)上是完全单调的.
　　(ii)对所有的m∈N0,函数(此处公式省略)在(0,∞)上是完全单调的.
　　在第一章第二节,我们证明了这两个猜想(见定理1.2.1和定理1.2.2).在第三节,我们建立了伽马函数对数的渐近展开式,利用了Polygamma函数(见定理1.3.1和定理1.3.2).作为副产品,我们导出了Bernoulli数的递推公式(此处公式省略)和(此处公式省略)第一章的结果发表在Math.Inequal.Appl.18(2015),no.1,379–388(SCI杂志).
　　2.阶乘函数有下面逼近公式:(此处公式省略)
　　这里ω=(3-√3)/6. Burnside[2]证明了公式(0.0.2),公式(0.0.3)和(0.0.4)属于Mortici[3].利用Maple,我们发现下面更快的逼近:(此处公式省略)
　　在第二章,我们的定理2.1.1统一处理了逼近公式(0.0.1)–(0.0.6),并发展它们成为完全渐近展开式.更精确地说,我们证明了下面结果:设a,b,r∈R,r≠0,则伽马函数有下面渐近展开式:(此处公式省略)系数qj≡qj(a,b,r)(j∈N)由下面公式给出:(此处公式省略)求和是对满足方程k1+2k2+···+j kj=j,的所有非负整数kj求和,这里(此处公式省略)pj≡pj(a,b,r)=r(Bj+1/j(j+1)+(-1)j-1aj+1/j+1-(-1)j-1ajb/j,Bn表示Bernoulli数.
　　第二章的定理2.1.2给出了伽马函数新的渐近展开式,定理2.1.3和定理2.1.4建立了伽马函数的对称双边不等式.
　　第二章的结果发表在J.Number Theory149(2015),313–326(SCI杂志).
　　3.在第三章,我们建立了加强的Euler–Mascheroni常数不等式.结果发表在大学数学,30(2014),no.6,26-31.

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1 伽马函数对数的完全单调性质与渐近展开式

1.1 引言

1.2 完全单调函数

1.3 渐近展开式

2 伽马函数的不等式与渐近展开式

2.1 引言

2.2 引理

2.3 定理2.1.1的证明

2.4 定理2.1.2的证明

2.5 定理2.1.3和定理2.1.4的证明

3 加强的Euler–Mascheroni 常数不等式

3.1 引言

3.2 引理

3.3 定理3.1.1的证明

4 总结与展望

参考文献

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