多自由度强非线性随机系统的响应与稳定性研究

摘要

响应与稳定性分析一直是随机动力学研究的热点，但对于多自由度强非线性随机系统而言，上述分析具有极大的复杂性，本文即针对这一问题的某些方面进行深入探讨。
　　 第一部分分析响应预测。在精确平稳解方面，本文利用外微分方法和逆解法得到多自由度强非线性随机系统的具非能量依赖的精确平稳解。新得到的精确平稳解包含已有的能量依赖精确平稳解为其特例，是迄今为止最广泛的一类精确平稳解。除平稳解外，很多系统往往还需得到其瞬态响应，本文利用基于广义谐和函数的随机平均法，并将平均FPK方程的解近似表示为变系数的多重Laguerre正交基函数的级数和，由Galerkin法得到幅值响应的近似瞬态概率密度，进而导出位移及速度的近似联合概率密度。详细研究了Gauss白噪声激励的多自由度强非线性随机系统及具有时滞反馈控制的强非线性随机系统响应的近似瞬态概率密度。
　　 第二部分进行稳定性分析，在已有工作基础上应用Lyapunov函数法研究了多自由度拟Hamilton系统的概率为1渐近稳定性。对拟完全可积共振或部分可积系统，Lyapunov函数取为系统的独立对合首次积分的最优线性组合。结合拟Hamilton系统随机平均法导出系统的关于Lyapunov函数的平均It?随机微分方程，从而得到系统的概率为1渐近稳定的充分条件。值得指出的是，上述的稳定性分析最终可转化为求相应平均It?方程线性化漂移系数矩阵的特征值和特征向量的问题。
　　 第三部分对工程领域中具重要意义的含分数阶导数随机系统进行全面研究。对于线性系统，应用基于Laplace变换和加权广义Mittag-Leffler函数得到的Green函数，导出含两项任意阶次的分数阶导数的随机系统响应的Duhamel积分型封闭表达式，从而解析得到系统响应的统计量。还基于广义谐和函数建立了Gauss白噪声激励、阻尼包含分数阶导数的强非线性系统的随机平均法，并应用该平均法近似得到响应的平稳概率密度和最大Lyapunov指数。

目录

文摘

英文文摘

致谢

1 绪论

1.1 研究背景及意义

1.2 相关研究概况

1.2.1 FPK方程的精确平稳解

1.2.2 非线性随机系统的瞬态解

1.2.3 随机平均法

1.2.4 随机稳定性

1.2.5 分数阶导数

1.3 本文主要工作

2 强非线性随机系统的精确平稳解

2.1 单自由度强非线随机系统的非能量依赖的精确平稳解

2.1.1 精确平稳解的求解

2.1.2 几类特殊情形的精确平稳解

2.1.3 几个例子

2.2 多自由度强非线随机系统的非能量依赖的精确平稳解

2.2.1 精确平稳解的求解

2.2.2 几类特殊情形的精确平稳解

2.2.3 几个例子

2.3 本章小结

3 强非线性随机系统响应的近似瞬态概率密度

3.1 多自由度强非线性拟可积非共振Hamilton随机系统响应的近似瞬态概率密度

3.1.1 基于Laguerre多项式的多自由度强非线性随机系统响应的近似瞬态概率密度

3.1.2 算例分析

3.2 具时滞的单自由度非线性随机系统响应的近似瞬态概率密度

3.2.1 用正交分解法研究具时滞的随机系统响应的近似瞬态概率密度

3.2.2 算例分析

3.3 本章小结

4 用Lyapunov函数研究多自由度拟Hamilton系统的随机稳定性

4.1 用Lyapunov函数法研究拟Hamilton系统的概率为1渐近稳定

4.1.1 拟不可积情形

4.1.2 拟完全可积非共振情形

4.1.3 拟部分可积非共振情形

4.1.4 拟部分可积共振情形和拟完全可积共振情形

4.2 算例分析

4.2.1 三自由度拟部分可积非共振系统

4.2.2 四自由度拟部分可积随机系统

4.3 本章小结

5. 含分数阶导数的随机系统的响应与稳定性

5.1 含分数阶导数的线性随机系统响应的瞬态统计分析

5.1.1 含两项分数阶导数的随机系统响应分析

5.1.2 算例分析

5.2 具有分数阶导数阻尼的强非线性随机系统的稳态响应与稳定性

5.2.1 具有分数阶导数阻尼的单自由度强非线性随机系统的随机平均法均法

5.2.2 具分数阶导数阻尼系统的概率为1渐近稳定性

5.2.3 算例分析

5.3 本章小结

6 总结与展望

参考文献

附录

作者简历