一类非线性发展方程的全离散有限体积方法及间断Galerkin有限元方法

摘要

现代科学、技术、工程中的大量问题，通过抽象处理得到的数学模型都可用偏微分方程尤其是非线性偏微分方程来描述。而与时间相关的问题则通常用线性或者非线性的发展方程来描述。由于现实问题一般都很复杂，所以由这些问题抽象得到的发展方程，尤其是非线性发展方程一般情况下也都比较复杂，其分析解无法得到或者是非常复杂而不实用，从而寻求用数值方法求解就显得非常有必要。有限差分法、有限体积法、有限元方法等都是非常有效的数值计算方法。
　　 关于神经传导方程，由于在这类非线性发展方程中，存在着关于时间变量与空间变量的混合高阶偏导数，直接建立高阶相容的有限差分格式存在着比较大的难度，而其他的数值方法又不太易于实现。目前关于这类方程数值方面的研究还比较少。这类方程已有的数值研究主要有：有限差分方面的研究，一维问题情况下的有限体积方法，交替方向的变网格有限元方法，传统有限元方法的数值分析等。而且，已有的这些研究还可以进行相应的推广以及改进，而其它的一些非常有效的数值计算方法还没有应用到这类方程中。本文将从这两方面对这类方程的数值解法的实现进行研究。
　　 在本文中，主要是研究这一类非线性发展方程的有限体积解法以及间断Galerkin有限元解法。本文的主要贡献有：
　　 (1)在文章的第二章中，将应用于一维神经传导问题的基于变分原理的有限体积计算方法，推广到广义的二维神经传导方程情况下，得到了一个有效的全离散的计算格式，该计算格式的精度是O(△t+h2)；
　　 (2)在文章的第三章中，引进间断Galerkin有限元方法的思路，给出了这一类方程的一种间断Galerkin有限元解法，并对这种数值解法进行了相应的误差分析，得到其精度为O(△t+hk+1)；
　　 (3)通过数值例子及其结果分析，验证了这两种数值计算方法的有效性。

目录

文摘

英文文摘

声明

第一章引言

1.1非线性发展方程的研究背景综述

1.2论文基本框架

第二章广义神经传导方程的一种全离散有限体积方法

2.1一维神经传导方程的有限体积方法

2.2二维广义神经传导方程的一种全离散有限体积方法

2.3数值例子

第三章广义神经传导方程的一种间断Galerkin有限元解法

3.1间断Galerkin有限元的历史背景

3.2一维广义神经传导方程的间断Galerkin有限元解法

3.3二维广义神经传导方程的间断Galerkin有限元解法

3.4误差分析

3.5数值例子

第四章文章总结

参考文献

致谢