一类高阶分数阶偏微分方程的全离散局部间断有限元方法研究韦雷雷

摘要

分数阶微积分是传统的整数阶微积分的推广,是数学建模过程中一个非常有用的工具.经过三个多世纪的发展,已经引起了越来越多的学者及工程技术人员的兴趣和重视.目前分数阶偏微分方程模型已经在越来越多的领域中得到应用,如导体物理、软物质、控制工程、电容理论、反常扩散、生物数学、统计力学、电解化学、流变学、光学、热学系统、材料和力学系统、信号处理和系统识别、凝聚态物理等.
　　最近几十年对分数阶偏微分方程的研究日益广泛和深入.但对于大多数分数阶偏微分方程,解析解的形式太过复杂,而且一般不能显式地表示出来,很难在科学及工程实践中得到应用,所以运用数值计算方法得到分数阶偏微分方程的数值解就成为一个很好的选择,对这类方程的数值解法进行研究有着重要的理论和实践意义.目前对于含有高阶空间导数的分数阶偏微分方程数值方法方面的研究非常有限,这就促使着我们从这个方向上做出努力.本文应用全离散的间断有限元方法对一类含有高阶空间导数的分数阶偏微分方程进行研究,包括时间分数阶扩散方程、时间分数阶KdV方程、时间分数阶Kawahara方程和时间分数阶四阶问题.
　　分数阶扩散模型能够克服经典的整数阶模型在模拟反常扩散问题时理论与实验结果吻合不好的缺点.我们在有界区域上考虑时间分数阶扩散问题,在时间方向上用有限差分方法离散,空间方向上用间断有限元方法离散,得到了一种隐式的、全离散局部间断有限元方法.理论分析表明所得到的格式是无条件稳定的和收敛的.相关的数值实验结果表明,对P k次多项式,在L2和L∞范数意义下空间精度均能达到最优的k+1阶收敛,时间方向2α阶收敛.
　　KdV方程是一类重要的波动方程,用来描述一大类与波的传播有关的物理现象.我们对时间分数阶KdV方程的全离散局部间断有限元方法进行研究.给出了详尽的稳定性分析,得到了误差估计.数值模拟说明了格式的求解效率.
　　Kawahara方程是一类重要的五阶KdV方程,广泛应用于描述等离子体中磁声波、冰薄层中液体的长波等不同介质中长波的传播问题.我们发展了全离散的局部间断有限元方法对包含五阶空间导数的时间分数阶Kawahara方程进行研究.通过详尽的理论分析,证明了格式是无条件稳定的和收敛的,数值实验结果表明格式是有效的.
　　四阶问题广泛应用在薄梁和平板问题、应变梯度弹性力学和混合物的相分离等问题的建模中.对时间分数阶四阶问题的全离散的局部间断有限元方法进行讨论,理论分析表明格式是无条件稳定的,相关的数值实验结果表明,我们得到的格式达到O(hk+1+(?t)2?α)收敛,表明全离散局部间断有限元方法求解这类问题是非常有效的.
　　大量数值实验结果表明,全离散的间断有限元方法能够很好地处理含有高阶空间导数的分数阶偏微分方程,具有独特的优势,是研究这类问题的一个很好工具.

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1 绪论

1.1 论文背景

1.2 论文的研究现状

1.3 本文主要工作和主要结构

2 预备知识

2.1 函数空间

2.2 网格剖分和投影算子

2.3 数值流通量

2.4 分数阶微积分的定义

3 时间分数阶扩散方程的隐式全离散局部间断有限元方法

3.1 前言

3.2 全离散的局部间断有限元格式

3.3 稳定性

3.4 误差估计

3.5 数值实验

4 时间分数阶KdV方程的隐式全离散局部间断有限元方法

4.1 前言

4.2 全离散的局部间断有限元方法

4.3 稳定性

4.4 误差估计

4.5 数值实验

5 时间分数阶Kawahara方程的隐式全离散局部间断有限元方法

5.1 前言

5.2 全离散局部间断有限元方法

5.3 稳定性

5.4 误差估计

5.5 数值实验

6 时间分数阶四阶问题的隐式全离散局部间断有限元方法

6.1 前言

6.2 全离散的局部间断有限元格式

6.3 稳定性

6.4 误差估计

6.5 数值实验

7 概要与展望

7.1 概要

7.2 下一步计划

参考文献

致谢

攻读博士学位期间的研究成果

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