振荡乘子及一类多性算子在函数空间上的有界性

摘要

自20也纪五、六十年代，A.P．Calderón和A.Zygmund建立奇异积分理论以来，以Calderón-Zygmund奇异积分算子为核心的各类算子（如振荡乘子算子，多线性积分算子等）成为近代调和分析理论研究中最为活跃的课题之一，由此形成并发展起来的许多方法和技巧已被广泛应用于算子有界性的研究当中。它们在复分析、位势论、算子理论、非线性分析等众多数学分支中都有广泛应用，相关文章参看[2、3、6、10、14-17、19、27、32、33、53、54]等。其中，各类算子在各种函数空间的有界性一直是调和分析研究的中心问题之一。
　　 本学位论文主要致力于调和分析中振荡乘子算子、多线性积分算子在Triebel-Lizorkin空间、Herz空间以及Herz型Hardy空间上的有界性研究。目前，这些算子在Lp空间、Hp空间或L(?)空间等一些经典函数空间上的有界性已有广泛的研究，可参见文献[29、30、35-37、63、64、69]。但由于齐次型Trieble-Lizorkin空间包括了我们经常用到的Lp空间、Hp空间、Sobolev空间及BMO空间等一些重要的函数空间，而且Herz空间是一定条件下加幂权Lebesgue空间的等价表达形式。所以本文的结果可以看成是已有算子有界性理论的推广。但在证明算子有界时，我们需要采用新的方法。
　　 本文主要分为四章：
　　 第一章主要探讨了当0＜β＜1时，振荡乘子算子Tα,β在齐次型TriebelLizorkin空间中的有界性。结合[36、41]的证明方法，并利用齐次型TriebelLizorkin空间原子分解，部分推广了[28、48、55、65]的结果；
　　 第二章主要受[12、25|启发，证明了当β=1时，振荡乘子算子Tαβ在齐次型Triebel-Lizorkin空间中的有界性。由于β取不同的范围使得核函数的奇性不同，从而核函数有不同的估计，导致在估计算子有界性时，证明方法有所不同。同时，我们也得到了当β＞i时，振荡乘子算子在齐次型Triebel-Lizorkin空间中的有界性；1或α足够大时，全面推广了Li和Lu[39]非加权情形的有界性结果；另一方面，对β≥1，本章即使对于非加权有界性结果也是新的；
　　 第四章主要研究了当核函数满足一定条件时，通过弱化[68]中定理的核函数的条件，证明了带变核的多线性分数次积分算子在Herz型Hardy空间以及Hardy空间中的有界性。将部分已知结果进行了推广。