椭圆型方程混合边值问题的一类高精度紧有限体积格式

摘要

本文研究一维及二维椭圆型方程混合边值问题的紧有限体积方法,紧方法来源于有限差分方法,主要指节点少精度高的一类有限差分格式.紧有限差分格式对于第一椭圆边值问题的处理非常成功,但对于第二,第三椭圆边值问题的处理困难较大.众所周知,有限体积方法对于第二,第三边值条件处理方便.本文在充分吸收紧差分格式构造思想的基础上,用有限体积方法离散方程,得到了一类高精度的有限体积格式,称为紧有限体积格式.全文共分三章,第一章为引言,综述有限体积元方法和紧差分方法的研究进展,并简述了本文格式的主要构造思想.第二章针对常系数和变系数两点混合边值问题提出了一种紧有限体积格式,该格式形成的线性代数方程组具有三对角性质,可以使用追赶法求解.证明了格式按照H1半范数具有四阶收敛精度.利用节点计算值,给出了单元中点值和一阶导数值的高精度后处理计算公式,这两个公式同样具有四阶精度.数值算例验证了理论分析的正确性,并说明了格式的有效性.第三章研究二维椭圆型方程混合边值问题,使用有限体积离散方法,在充分吸收紧差分格式离散思想的基础上,构造了一类具有3阶精度的有限体积格式.该格式具有对称和正型性质,且不可约对角占优,可以使用SOR迭代法求解.本章使用能量分析方法证明了格式的收敛性,并用数值例子验证了格式的有效性.

目录

摘要

Abstract

第一章 引言

第二章 两点混合边值问题的紧有限体积格式

§2.1 两点混合边值问题的紧有限体积格式的构造

§2.2 截断误差估计与收敛性分析

§2.3 格式推广与高精度后处理

§2.4 数值算例

第三章 二维椭圆型方程混合边值问题的一类高精度有限体积格式

§3.1 高精度有限体积格式的构造

§3.2 截断误差估计与收敛性分析

§3.3 数值算例

参考文献

致谢