非线性Volterra积分微分方程及分数阶微分方程的谱配置法

摘要

谱方法是求解微分方程的一种重要数值方法，己被广泛应用于科学和工程问题的数值模拟中。谱方法的主要优点是计算的高精度，也就是所谓的”无穷阶”收敛性，即真解越光滑，谱方法的收敛速度越快。Volterra型积分微分方程和分数阶微分方程等都具有记忆性质，在物理、生物、激光以及人口增长等模型中得到广泛应用，相关的数值研究正日益受到重视，并己成为该领域的一个新热点，而谱方法是一种整体方法，非常适合该类问题的数值模拟。现有的针对Volterra型积分、微分方程谱方法的研究主要基于单步格式，并不适合奇性解或长时间的计算。此外，所研究的问题主要是线性的或仅讨论光滑解情形，而实际问题大多是非线性的且解呈弱奇异性的。因此本文主要工作之一是研究带弱奇异核的非线性Volterra型积分微分方程的多步谱方法。我们建立了相关问题的多步谱配置格式，并对所提算法进行了误差分析，数值结果表明该方法对光滑解和弱奇性解的模拟都非常有效。对于非线性Caputo型分数阶微分方程的边值问题，本文将在前人的基础上提出一种新的谱配置法。为了适应分数阶方程的整体性特点，并克服非线性项的存在所造成的理论分析的困难，我们采用两种多项式插值，即Legendre-Gauss与Jacobi-Gauss插值，构造相应的Legendre-Jacobi单步谱配置法，并分析了该算法的数值误差。数值算例验证了该算法的有效性。
　　本研究分为四个部分：第一章回顾了谱方法的基本思想及发展概况，介绍了Volterra积分微分方程与Caputo型分数阶微分方程的问题背景及数值方法的研究进展。第二章介绍了与本文工作相关的基础知识：Jacobi多项式及其插值误差，移位Jacobi多项式，移位Legendre多项式及其插值误差，并给出了本文工作所需的几个重要引理。第三章对带有弱奇异核的非线性Volterra积分微分方程提出了一个结构简单、容易实现的算法，然后详细地分析了多步谱配置格式的收敛性，获得了该方法在丑1范数下的hp型误差估计，最后通过数值算例展示了该方法的高效性。第四章考察了Caputo型分数阶微分方程的两点边值问题，提出了基于等价积分方程的Legendre-Jacobi单步谱配置法，详细地分析了谱配置格式在L2及L∞范数下的误差上界，并通过数值算例验证了该方法的有效性。

目录

第一个书签之前