基于多尺度无网格Galerkin方法的流动问题模拟

摘要

无网格Galerkin方法(EFG)是近年来迅速兴起的一种数值方法。该方法构造形函数时只需要具体的节点信息,而不要网格,因此可显著减少因网格畸变带来的困难。在涉及大变形、自由面、局部区域高梯度等问题的研究中,EFG方法显示出具有发展前景的明显优势。
　　目前,EFG方法在计算流体中的应用研究还比较少。一般在流动问题的求解中,EFG方法会遇到对流占优、速度-压力失耦、自由面难以追踪等问题。同时,在微尺度/纳米尺度下,EFG方法也不能模拟出流体运动的微观效应。针对上述问题,本论文为不可压流动问题的求解发展了相应的EFG方法。其主要工作和结论如下:
　　(1)针对EFG方法研究中形函数只有矩形、圆形影响域的研究现状,将其形函数拓展到了任意形状的影响域。数值实验表明:当影响因子趋于1时,EFG形函数具有类似于有限元形函数的单元分片性质,且在节点处近似满足Delta函数属性。
　　(2)针对EFG方法求解对流占优对流-扩散方程时出现的数值伪振荡现象,提出了变分多尺度无网格Galerkin(VMEFG)方法,即全局VMEFG(GVMEFG)方法和局部VMEFG(LVMEFG)方法,后者又包含LVMEFG数值(LVMEFG_N)方法和LVMEFG分析(LVMEFG_A)方法。数值实验表明:这些VMEFG方法均可很好地消除由对流项占优引起的数值伪振荡,但GVMEFG方法的计算量极大。
　　(3)针对EFG方法求解不可压流动问题时产生的速度-压力失耦现象,提出了LVMEFG方法,即LVMEFG_N方法和LVMEFG_A方法。数值实验表明:这些LVMEFG方法在速度-压力采用等低阶基函数近似时,能有效地解决速度-压力的失耦问题。然而,对于不可压流动问题,LVMEFG_N方法的计算量很大。
　　(4)针对温度场在EFG方法求解时因对流项占优引起的伪振荡现象,将求解等温不可压流动问题的LVMEFG_A方法拓展到了非等温不可压流动问题的求解。数值实验表明:LVMEFG_A方法确实能消除温度场在EFG方法求解时因对流项占优引起的伪振荡现象。
　　(5)为了准确地模拟自由面问题,将LVMEFG_A方法与自由面捕捉技术相结合。数值实验表明:基于LVMEFG_A方法和自由面捕捉技术可方便准确地追踪水波晃动现象中的自由面位置。
　　(6)为了反映微尺度/纳米尺度下的物理现象,针对等温/非等温不可压流动问题,将分子动力学模拟与LVMEFG_A方法基于“区域分解”技术相结合,建立了一种耦合分子动力学的“真正的”多尺度EFG方法。数值实验表明:在流体力学领域中,基于“区域分解”技术耦合分子动力学模拟与LVMEFG_A方法,能保证两者在重合区域耦合很好,数值解几乎重合。