微分方程的复振荡理论与函数的唯一性理论

摘要

1925年，R．Nevanlinna引入亚纯函数的特征函数并给出了两个基本定理，这建立了亚纯函数的Nevanlinna理论．半个多世纪，Nevanlinna理论得到了很好的发展并应用于复微分方程和亚纯函数的唯一性理论的研究．微分方程的复振荡理论是边缘领域交叉的学科，是应用复分析的理论和方法来研究微分方程．自从s.Bank和I Laine在上世纪八十年代得到了一些原始结果之后，复振荡理论非常流行．许多数学家都曾进行了深入的研究并长期关注它，其中中国高仕安教授和陈宗煊教授做出了很大的贡献并推动了这领域的研究．函数的唯—性理论是国际上最近二十多年一直热门的研究课题．处理分担值的亚纯函数的唯—性理论的研究是始于R.Nevanlinna的研究工作，他开创了唯—性理论的研究．自次以后，许多数学家得到了很多优美的结果．中国的仪洪勋教授在这领域研究了二十多年，得到了很多有益结果，为函数唯—性理论的发展做出很大的贡献． 本敝中，我们介绍作者在仪洪勋教授指导下对微分方程的复振荡理论和函数唯—性理论两个领域所做的研究工作．全文分五章． 第1章，我们简要介绍Nevanlinna理论(见[35]，[75]，[81]，[471)和、vinman-Valiron理论(见[40]，[47])的基本结果，它们是研究复微分方程和亚纯函数唯—性的重要工具． 第2章，我们研究平面c上迭代级亚纯系数的线性微分方程的复振荡理论，推广和改进了[24],[45]，[20]，[12]等的一些结果．现在给出我们主要结果中的三个定理．定理0.0.1．设B<,0>…，B<,k-1>是亚纯函数使得i(B<,0>=p(0(B<,j>)：j=1，…，K-1}<σ<,p>(B<,0>)=：σ和max{λ<,1>-(1/B<,j>)：j=0，1，…，k-1}<σ<,1>(B<,0>).的每个亚纯解f≠O满足i(f)=p+1和σ<,p+1>(f)=σ<,p>(B<,0>)．定理0.0.2．设B<,0>…．B<,k-1>是亚纯函数使得则方程i(B<,s>)=p(0(B<,j>)：j≠s}<σ<,p>(B<,s>)：σmax{λ<,1>(1/B<,j>):j=0,1，…，K-1}<σ<,1>(B<,s>).f<'(k)>+B<,k-1>，f<'(k-1)>+…+B<,s>f<'(s)>+…+B<,0>f，=0 (0.0.2)的每个超越亚纯解f满足p≤ i(f)≤p+1和σ<,p+1>(f)≤σ<,P>(B<,s>)≤σ<'p>(f)．进一步，若方程(2．1．4)所有解是亚纯函数，则至少存在一个亚纯解f<,1>满足i(f<,1>)=p+1和σ<,p＋1>(f<,1>)=σ<,p>(B<,s>)．定理0.0.3．设B<,0>，B<,1>，…，B<,k-1>是亚纯函数．存在某个B<,s>(0≤s≤k-1)使得则方程(0.0．2)的所有超越亚纯解f满足i(f)=2和σ2(f)=σ(B<,s>)，且方程(0.0．2)的每个非超越的亚纯解，是次数为deg(f)≤s-1的多项式． 第3章，我们考虑单位圆内线性微分方程的复振荡理论．第一节中，我们研究方程，f

目录

文摘

英文文摘

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第一章Nevanlinna理论与Wiman-Valiron理论的基本结果

§1.1 Nevanlinna理论

§1.2 Wiman-Valiron理论

第二章平面上的线性微分方程的复振荡理论

§2.1引言与主要结果

§2.2引理

§2.3定理2.1.9-定理2.1.14的证明

第三章 单位圆内线性微分方程的复振荡理论

§3.1二阶微分方程f"+A(z)f=0的复振荡，其中A(z)是单位圆内的解析函数

§3.1.1引言与主要结果

§3.1.2引理

§3.1.3定理3.1.3-定理3.1.6的证明

§3.1.4结论注记

§3.2关于单位圆内线性微分方程的解，其中系数解析且次数有穷

§3.2.1引言与主要结果

§3.2.2引理

§3.2.3定理3.2.2和定理3.2.6的证明

§3.3单位圆内解析系数的高阶线性微分方程的复振荡

§3.3.1引言与主要结果

§3.3.2引理

§3.3.3定理3.3.3-定理3.3.6的证明

§3.4单位圆内迭代级系数的线性微分方程解的增长性

§3.4.1引言与主要结果

§3.4.2引理

§3.4.3定理3.4.1-定理3.4.5的证明

第四章平面上亚纯函数分担小函数的重值和唯一性

§4.1引言和主要结果

§4.2基本符号和引理

§4.3定理4.1.2的证明

第五章平面上代数体函数的唯一性理论

§5.1引言与主要结果

§5.2引理

§5.3定理5.1.4，定理5.1.5和定理5.1.6的证明

§5.4结论注记

参考文献

致谢

博士期间发表及完成的论文