一类GL(3)上L-函数的混合亚凸界

摘要

自守L-函数的亚凸界问题是解析数论的核心问题之一.在近几十年里，经过诸多数学家的努力，对于次数为1和2的情况，亚凸界问题已基本被解决了.近几年，GL(3)上L-函数的亚凸界的研究有了重大的突破.然而，目前所有已知的GL(3)上的亚凸界结果都只是在一个方面达到.本文第一次得到了一类GL(3)上L-函数的混合亚凸界.具体地说，令q是一个大素数，x是模q的二次特征.令φ是SL(3，Z)的自对偶的Hecke-Maass尖形式，uj是Γ0(q)(∈)SL(2，Z)的谱参数为tj的Hecke-Maass尖形式.我们证明了以下L-函数的混合亚凸界，即对任意的ε＞0我们有L(1/2，φ×uj×x)(《)φ，ε(q(1+|tj|)3/2-θ+ε，和L(1/2+ it，φ×x)(《)φ，ε(q(1+|t|))3/4-θ/2+ε，其中我们可以取θ=1/23.
　　为了证明我们的主要结果，我们将利用两种不同的方法来证明L-函数以下两类不同的上界:
　　L(1/2，φ×uj×x(《)φ，εq5/4+ε(1+|tj|)3/2+ε，L(1/2+it，φ×x)(《)φ，ε q5/8+ε(1+|t|)3/4+ε，以及
　　L(1/2，φ×uj×x)(《)φ，εq4+ε(1+|tj|)4/3+ε，L(1/2+it，φ×x)(《)φ，εq2+ε(1+|t|)2/3+ε，对任意的ε＞0成立.然后经过适当的修正，我们可以得到主要结果的证明.这些上界的证明都利用了一族L-函数在其中心处小区间上的一次均值估计.
　　本文里证明的最大的创新在于对S L(3，Z)的Voronoi公式右端权函数的处理.这使得我们可以用上混合大筛法型不等式，从而证明以上 L-函数的第一类上界.注意到这个结果在q方面已经达到了亚凸界，而在t方面恰好是凸界.于是我们需要一个在t方面达到亚凸界的结果.幸运的是我们通过修正前人的工作可以得到以上第二类上界，进而证明我们的混合亚凸界.

目录

声明

摘要

符号说明

第一章 简介

第二章 预备知识

§2．1 自守形式

§2．2 L-函数及其渐近函数方程

§2．3 Γ0(q)的Kuznetsov公式

§2．4 S L(3，Z)的Voronoi公式

§2．5 稳定相引理

第三章 定理1．2的证明

§3．1 定理1．2证明的初步

§3．2 解析方法分离变量

§3．3 大筛法的应用

§3．4 定理1．2的证明

第四章 定理1．3和1．1的证明

§4．1 定理1．3证明的初步

§4．2 积分变换和特殊函数

§4．3 余项的贡献

§4．4 定理1．3和1．1的证明

参考文献

致谢

攻读博士期间发表论文