与微分、差分算子有关的全纯曲线第二基本定理和一些复方程解

摘要

上世纪二十年代，著名数学家R.Nevanlinna通过建立亚纯函数值分布理论推广了经典的Picard定理.为了纪念他，我们将其称为Nevanlinna理论.Nevanlinna理论的核心是第一基本定理和第二基本定理.Nevanlinna理论不仅具有其自身的理论研究价值，而且被广泛应用到其他复分析领域，如亚纯函数唯一性，正规族，复动力系统，复微分方程等等.1933年，Cartan[3]将Nevanlinna理论推广至射影空间中与处于一般位置超平面相交的全纯曲线，得到了Cartan定理.1941年，Ahlfors[1]沿着Wyls[57]的工作，采用几何方式证明射影空间全纯曲线的Nevanlinna理论.Cartan定理在很多复分析问题中具有十分重要的应用，例如解析函数华林问题，费马型方程等.
　　最近，受复差分多项式和复差分方程解研究的影响，Halburd和Korhonen[19-21]建立了Nevanlinna基本定理的差分形式.后来，Halburd等人[22]和Wong[58]等人分别独立地给出了射影空间中全纯曲线第二基本定理.进一步，Korhonen[28]等人还得到了全纯曲线涉及慢增长移动周期函数Cartan定理的差分形式.最近与Nevanlinna理论差分形式有关的研究被广泛关注.同时，利用差分形式Nevanlinna理论对复差分方程的研究也成为一个十分重要的课题，大量研究成果被得到.
　　本文主要研究了与微分、差分算子有关的全纯曲线第二基本定理和一些复方程解.文章主要分为以下四章:
　　第一章为预备知识，简单介绍了Nevanlinna和差分Nevanlinna值分布理论以及有关全纯曲线涉及固定超平面和移动超平面的值分布理论相关的基本知识和结果.
　　第二章，我们首先定义了一个与函数的导数和差分有关的朗斯基行列式，该朗斯基行列式是Wong[58]中定义的差分朗斯基行列式的推广.并且利用该新定义的朗斯基行列式研究了一类特殊全纯曲线的第二基本定理.其次，利用Fujimoto[16]和Kornonen[28]等人的技术证明了超级小于1的一般退化全纯曲线的截断型第二基本定理差分形式.该方面结果首先是由Cartan[3]提出的，并最终由Nochka[37，38]完全解决.我们的结果推广Wong[58]和文献[19-21，28]的结果.
　　第三章，利用Ru[46]的想法研究了一类全纯曲线涉及移动超平面的截断型第二基本定理差分形式.这方面结果首先是Korhonen等人[28]利用Gundersen[18]的结果和方法得到的，他们的结果推广了Halburd等人[22]的结果.但是值得注意的是在[28]的结果中，他们考虑的全纯曲线约化表示函数必须要在复平面内超级小于1且周期为c∈C的亚纯函数构成的函数域上线性无关，而对于线性相关的情形，他们没有进行讨论.利用Ru[46]的方法，我们研究了这种情形，对Halburd等人[22]的结果做了一定补充.
　　第四章，我们首先研究一类微分方程的超越亚纯解，我们的结果改进了Zhang和Liao[67]的结果.并且我们还对两类差分方程的有限级超越亚纯解进行了讨论，得到了两个重要结果，改进了Liu和Yang[35]的结果.

目录

声明

摘要

第一章 预备知识

§1．1 与Nevanlinna值分布理论相关的基本知识和结果

§1．2 全纯曲线涉及固定超平面的值分布基本知识和结果

§1．3 全纯曲线涉及移动超平面的值分布基本知识和结果

第二章 全纯曲线涉及微分和差分算子的第二基本定理

§2．1 研究背景和主要结果

§2．2 主要引理

§2．3 定理2．3 和推论2．1 的证明

§2．4 定理2．6 的证明

第三章 全纯曲线涉及移动超平面第二基本定理的差分形式

§3．1 研究背景和主要结果

§3．2 主要引理

§3．3 定理3．5 证明

§3．4 定理3．6 证明

§3．5 定理3．3 和定理3．4 证明

第四章 非线性复微分和差分方程解

§4．1 研究背景和主要结果

§4．2 主要引理

§4．3 定理4．4 证明

§4．4 定理4．8 证明

§4．5 定理4．9 证明

参考文献

致谢