非线性分数阶Volterra积分微分方程的小波数值解法

摘要

分数阶微积分的理论和模型广泛地应用在热传导现象、分数阶控制器设置、人口模型等领域中，从而使得分数阶微积分相关研究得到了蓬勃的发展，很多领域中的现象可以用分数阶积分微分方程描述。由于分数阶积分微分方程的解析解很难找到，因此发展这种方程的数值解法已经是迫不及待的研究问题。
　　本文主要研究了几类分数阶积分微分方程的小波数值解。第一章简要介绍了研究意义及国内研究现状。第二章推导出了一维Legendre小波的分数阶算子矩阵和二维Haar小波、Legendre小波的分数阶算子矩阵。第三章证明了第二类非线性分数阶Volterra积分方程组解的唯一性，并利用一维Legendre小波的分数阶算子矩阵求解了此方程的数值解，并针对精确解未知的情况给出了误差分析。第四章证明了二维非线性分数阶Volterra积分方程解的唯一性，分别运用二维Haar小波和二维Legendre小波的分数阶算子矩阵求解了原方程，数值算例的结果表明Legendre小波比Haar小波效果好。第五章利用了一维Legendre小波的分数阶算子矩阵求解非线性分数阶Volterra积分微分方程，弱奇异非线性分数阶Volterra积分微分方程及弱奇异非线性分数阶Volterra积分微分方程组，并由数值算例验证了本文所提到方法的有效性，第六章总结归纳了本文所做的工作，并进一步提出了以后需要做的工作。

目录

声明

摘要

第一章 绪论

1．1 课题研究背景和意义

1．2 国内外研究现状

1．3 本文研究的内容及章节安排

第二章 基本知识

2．1 预备知识

2．2 一维Legendre小波定义及算子矩阵

2．3 二维小波的定义及算子矩阵

2．3．1 二维Haar小波的定义及算子矩阵

2．3．2 二维Legendre小波的定义及算子矩阵

第三章 第二类非线性分数阶Volterra积分方程组的Legendre小波数值解

3．1 解的存在唯一性

3．2 Legendre小波求解第二类非线性分数阶积分方程组

3．2．1 第二类非线性分数阶积分方程组的Legendre小波解法

3．2．2 误差分析

3．2．3 数值算例

3．3 本章小结

第四章 二维非线性分数阶Volterra积分方程的小波数值解

4．1 解的存在性和唯一性

4．2 二维Haar小渡求锯二维非线性分数阶Vnlterra积分青程

4．2．1 二维非线性分数阶Volterra积分方程的二维Haar小波解法

4．2．2 误差分析

4．2．3 数值算例

4．3 二维Legendre小波求解二维非线性分数阶Volterra积分方程

4．3．1 二维非线性分数阶Vonerra积分方程的二维Legendre小波解法

4．3．2 误差分析

4．3．3 数值算例

4．4 本章小结

第五章 非线性分数阶Volterra积分微分方程的Legendre小波数值解

5．1 Legendre小波求解非线性分数阶Volterra积分微分方程

5．1．1 非线性分数阶Volterra积分微分方程Legendre小波解法

5．1．2 误差分析

5．1．3 数值算例

5．2 Legendre小波求解弱奇异非线性Volterra分数阶积分微分方程

5．2．1 弱奇异非线性Volterra分数阶积分微分方程的Legendre小波解法

5．2．2 误差分析

5．2．3 数值算例

5．3 Legendre小波求解弱奇异非线性Volterra分数阶积分微分方程组

5．3．1 弱奇异非线性Volterra分数阶积分微分方程组Legendre小波解法

5．3．2 误差分析

5．3．3 数值算例

5．4 本章小结

第六章 结论与展望

6．1 结论

6．2 展望

参考文献

致谢

个人简历、在硕士期间发表的论文