一类具有晶场相互作用的量子Ising模型的严格解

摘要

本论文严格求解了一类具有晶场相互作用的量子Ising模型。包括自旋为1的在各向异性晶体场中的量子Ising模型和混自旋s=1/2与S=1的同时存在横向和纵向晶体场的一维量子Ising模型，近邻相互作用是均匀的，也可以是交替变化的。这类模型是凝聚态物理中少有的可严格求解的模型，揭示了低维量子自旋系统丰富的物理相图和量子行为，为实验上混自旋磁性材料的合成和研究提供理论上的依据，也为寻求其他混自旋或高维量子自旋模型的严格解提供新的思路。本文的主要研究工作如下:
　　一、自旋为1的一维量子Ising模型的严格解
　　本文介绍了自旋为1的有各向异性晶体场的量子Ising模型，在分析了此模型的一般性质的基础上，结合Jordan-Wigner变换等解析方法，严格求解了自旋为1的量子Ising均匀链及二聚化链，给出这两种情况下的基态能量、激发能谱等基态性质。在此基础上，利用配分函数从数值上严格给出模型的内能、熵和比热等热力学量。还给出了基态相图，结果表明随着晶体场二聚化强度不同会呈现一系列量子相变现象，量子临界点也可精确得到。
　　二、混自旋s=1/2与S=1的同时存在横向和纵向晶体场的量子Ising均匀链的基态性质的严格解
　　此模型存在一种隐藏的守恒量，即空穴数目。这里将自旋本征值m=0的格点称为一个空穴。空穴数是守恒量，它与模型中各种参数的取值无关。本文的中心思想是把整个系统的希尔伯特空间按照这种好量子数划分为一系列子空间，每个子空间对应一个固定空穴数目的子系统，通过分别求解各个子系统，则整个系统的性质就由这些子系统的性质共同决定。由于系统的基态总是处于无空穴的子空间中，通过Jordan-Wigner变换等可以将基态时混自旋s=1/2与S=1的同时存在横向和纵向晶体场的量子Ising模型严格映射到自旋为1/2的横场Ising模型，而后者是可以精确求解的。然后严格对角化所有用空穴数目标记的子系统，最后用数值方法及解析方法得到本征态及激发能谱。严格得到了基态能量、最小能隙、横向磁矩、横向磁化率、最近邻纵向自旋-自旋关联函数及基态相图。我们得到的重要结论是此模型当纵向晶体场为正值时，对任意有限的横向晶体场，系统没有量子临界点，系统处于量子有序相，与系统取何种边界条件无关。
　　三、混自旋s=1/2与S=1的同时存在横纵向晶体场的量子Ising交替变化链的基态性质的严格解
　　利用与研究均匀链同样的方法我们可以得到当近邻相互作用交替变化时此系统的基态性质的严格结果。我们发现当纵向晶体场为正值时，系统同样没有量子无序相。交替变化链与均匀链相比只是前者会从量值上改变系统的基态性质，而不会出现新的量子相变现象。与自旋为1/2或自旋为1的量子Ising二聚化链迥然不同，后者会随着二聚化参数的不同而出现一系列量子相变现象。
　　四、混自旋s=1/2与S=1的同时存在横纵向晶体场的量子Ising均匀链的热力学性质
　　在基态性质已知的基础上给出计算配分函数的迭代方法，通过无空穴时子系统的配分函数，可以处理对所有各种可能的空穴构形的统计求和。热力学量如自由能、内能、熵及比热都可以由配分函数来严格得到。我们发现比热在低温时呈现一个尖峰，而低温时系统恰好由空穴激发占主导地位，由此我们得出结论空穴加强了热涨落效应。
　　本论文首次得到混自旋s=1/2与S=1的同时存在横纵晶体场的一维量子Ising模型的严格解。由于空穴数是一个好量子数，通过Jordan-Wigner变换等方法将其严格映射到自旋为1/2的交替变化横场Ising模型来精确求解。得到基态能量、激发能谱和基态相图等基态性质。在基态能量已精确求解的基础上，利用配分函数的迭代公式，从无空穴时子系统出发，得到整个系统的热力学量如自由能，内能，熵及比热等。

目录

声明

摘要

第一章 绪论

1．1 量子多体系统的严格解问题

1．2 物质的磁性

1．2．1 磁性的产生

1．2．2 磁性的分类

1．2．3 铁磁性的基本理论

1．3 量子相变

1．3．1 相变

1．3．2 量子相变

1．4 低维磁性系统：晶格统计模型

1．5 本文的选题背景，研究内容及创新点

1．5．1 选题背景

1．5．2 研究内容

1．5．3 本文的创新点

第二章 一维自旋为1／2的量子Ising模型

2．1 自旋为1／2的横磁场Ising模型

2．1．1 模型哈密顿量

2．1．2 TIM模型的基本性质

2．2 自旋为1／2的混合磁场Ising模型

2．2．1 微扰方法求解混合磁场中的反铁磁Ising模型

2．2．2 微扰方法求解混合磁场中的铁磁Ising模型

2．3 自旋为1／2的周期变化的横场Ising模型

2．3．1 连续分数法求解模型

2．3．2 周期变化的相互作用及横场对量子相变的影响

2．4 本章小结

第三章 晶体场中自旋为1的量子Ising模型

3．1 研究背景

3．2 一类自旋为1的量子Ising模型的基本定理

3．3 晶体场中自旋为1的量子Ising均匀链

3．3．1 基态性质

3．3．2 热力学性质

3．4 晶体场中自旋为1的量子Ising二聚化链

3．4．1 基态性质

3．4．2 热力学性质

3．5 本章小结

第四章 混自旋s=1／2与S=1量子Ising模型基态性质的严格解

4．1 模型及方法

4．1．1 模型哈密顿量

4．1．2 映射到自旋为1／2的横场Ising链

4．2 严格对角化过程

4．2．1 对角化p=0的子系统

4．2．2 对角化p=1的子系统

4．2．3 对角化任意空穴数p>1的子系统

4．3 混自旋均匀链的基态性质

4．3．1 基态能谱

4．3．2 低能激发

4．3．3 基态能量及基态相图

4．4 混自旋交替变化链的基态性质

4．4．1 基态能谱

4．4．2 低能激发

4．4．3 基态能量及基态相图

4．5 本章小结

第五章 混自旋s=1／2与S=1量子Ising模型的热力学性质

5．1 配分函数及其迭代公式

5．2 其他热力学量的基本公式及系统的热力学性质

5．3 本章小结

第六章 结论

参考文献

致谢

攻读学位期间发表的论文及科研情况

作者简介