局部化-局部源的相互作用与奇性解的渐近行为

摘要

本文研究几类具有局部与局部化源的非线性抛物方程(组)奇性解的渐近行为，具体涉及五个同时具有局部源和局部化源的模型.我们的兴趣在于这两类源相互作用对解的奇性的产生与传播的影响，重点讨论blow-up集，首先考虑两类分别由局部化源和局部源耦合的热方程组解的全局与单点blow-up问题，通过比较发现这两类耦合源对解的blow-up集等性质的影响有本质性区别；接着我们讨论局部化源与局部源相互作用对非线性扩散问题解的blow-up速率，blow-upprofile，blow-up集的影响；最后，我们通过研究局部化源项对抛物型方程(组)解Fujita指标的影响发现：与通常的局部源情形不同，局部化源的存在可以使相关模型具有无限Fujita指标(亦即，排除解对大初值blow-up、小初值整体存在的指标情形)。 本文的主要结果概述如下： (I)关于全局与单点blow-up第二章考虑具有局部源和耦合局部化源的热方程组ut=△u+um＋vp(O，t)，vt=△v+vn十uq(0，t)，(x，t)∈Ω×(0，T)的齐次Dirichlet问题.解的性质依赖于局部源、耦合局部化源，以及扩散和零边值之间的相互作用.我们得到关于非整体解全局与单点blow-up的完全的指标分类.讨论还涉及不同占优机制所导致的解的同时与非同时blow-up，以及解的多重blow-up速率.顺便指出，此前的已有文献中未曾发现有人讨论过方程组情形解的全局与单点blow-up问题。 第三章研究具有局部化源和耦合局部源的热方程组ut=△u+um(0，t)+vp，vt=△v+vn(0，t)+uq，(x，t)∈Ω×(0，T)的齐次Dirichlet问题，进行了与第二章模型的平行讨论，亦即奇性解的全局与单点blow-up，同时与非同时blow-up等.特别地，将本章与上一章的结果进行比较，可以看出这两类不周的耦合关系所造成的关于解的奇性产生与传播的某些本质不同.例如，第二章模型指标分类中解的一个分量全局blow-up而另一个分量单点blow-up的现象对本章所讨论的模型却没有出现。 在第四章，我们研究具有齐次Dirichlet边界条件的局部非线性扩散问题ut=△um+λ1up+λ2uq(0，t)，其中p，q≥0，max{p∶g}＞m＞1，且λ1，λ2＞0.我们通过研究局部化源、局部源、非线性扩散以及齐次Dirichlet边界条件之间的相互作用给出解在不同占优机制下的blow-up速率和一致blow-upprofiles.关于解的blow-up集，我们发现非线性扩散对解的全局与单点blow-up无影响。 (II)关于Fujita指标第五章考虑非线性扩散模型ut=△um+λ1up1(x，t)+λ2up2(x*(t)，t)的Cauchy问题，其中m≥1，pi，λi≥0(i=1，2)并且x*(t)Holder连续.我们发现这样一个新现象：当λ2>0时该模型的临界Fujita指标pc=+∞.也就是说，只要p=max{p1，p2}>1，则解对非平凡非负初值必发生blow-up.我们进一步证明，这一结果对于其他形式的局部化源情形(哪怕是衰减的)以及具有局部化源的耦合组均成立。 第六章研究具有局部化源与局部源耦合的反应扩散方程组ut=△u+vp(x*(t)，t)，vt=△v+uq.为了研究局部源与局部化源间的相互作用，我们分别考虑Cauchy问题以及具有齐次Dirichlet边界的初边值问题.对于初边值问题我们证明了解在整个区域内处处blow-up，并具有一致的blow-upprofiles.对于Cauchy问题，我们给出一个有趣的结论：它所对应的Fujita指标为无穷大，亦即，只要pq>1，则解对于任意非平凡非负初值都blow-up。

目录

文摘

英文文摘

声明

1绪论

1.1问题的背景及发展现状

1.1.1基本背景

1.1.2 blow-up点集及临界Fujita指标问题发展概况

1.2本文主要内容介绍

2局部化-局部源相互作用对blow-up集的影响：局部化源耦合情形

2.1问题介绍

2.2同时与非同时blow-up

2.3 Blow-up速率

2.4全局与单点blow-up

2.5讨论

2.6附录

3局部化-局部源相互作用对blow-up集的影响：局部源耦合情形

3.1问题介绍

3.2预备知识

3.3全局blow-up

3.4单点blow-up

3.5注记

4局部化-局部源相互作用对blow-up集的影响：非线性扩散情形

4.1问题介绍

4.2 Blow-up速率和一致blow-up profiles

4.3 Blow-up集

4.4讨论

5局部化-局部源相互作用对Fujita指标的影响

5.1问题介绍

5.2问题(5.1)的Fujita指标

5.3模型(5.2)的Fujita指标

5.4具有其他非线性形式源的模型

5.5注记

6局部化-局部源相互作用对Fujita指标的影响：混合耦合情形

6.1问题介绍

6.2(PD)问题解的一致blow-up profiles

6.3问题(PC)的Fujita指标

6.4注记

结 论

参考文献

攻读博士学位期间发表学术论文情况

致 谢