具有奇性的Liénard方程周期解存在性的研究

摘要

随着非线性微分方程的应用不断扩大和深入，对于具有奇性的微分方程的研究更加具有重要的科学意义和应用价值.此外，周期解问题一直是微分方程定性理论研究中的重要问题之一，许多学者都十分关注此类问题的研究.本文主要研究三类具有奇性的Liénard方程的周期解的存在性.全文分为四个部分，主要内容如下: 第一章介绍关于具有奇性的非线性微分方程的研究背景和发展状况，简要介绍一些研究周期解常用的数学工具以及叙述本文的主要工作. 第二章研究一类具有排斥型奇性的Liénard方程的周期解存在性，利用Mawhin重合度拓展定理，证明该方程至少存在一个T-周期正解，同时还得到方程存在T-周期正解存在的充要条件. 第三章在第二章的基础上，利用Mawhin重合度拓展定理来研究具有排斥型奇性Liénard方程的周期解存在性，证明此方程至少存在一个T-周期正解. 第四章在第二章的基础上研究一类具有奇性的Liénard方程的周期解存在性，然而不同的是本章中我们研究的方程中恢复力项在x=0处的奇性为不定型.利用Mawhin重合度拓展定理，证明该方程至少存在一个T-周期正解. 本文创新的是我们探讨的方程中恢复力项在x=0处允许具有弱奇性且阻尼项中系数函数f(x)在x=0处同样允许具有奇性.此外，恢复项的奇性可以是不定型，即α(t)为一个可变号的函数.在此情形下，现有文献中周期解先验界估计的方法不再适用于本文的研究.为了克服周期正解先验界估计的困难，我们系统地分析了阻尼项中系数函数和恢复力项在x=0处奇性之间关系，揭示了这种关系对方程周期正解上、下界影响的信息.在此基础上，形成了具有特色的奇性微分方程周期正解先验界估计新方法.

目录

声明

摘要

第一章前言

1．1研究的背景及其发展概况

1．2本文的主要工作

1．3本文的创新点

1．4研究工具

第二章具有奇性的Liénard方程周期解存在性的研究(Ⅰ)

2．1引言

2．2预备引理

2．3主要结果及证明

第三章具有奇性的Liénard方程周期解存在性的研究(Ⅱ)

3．1引言

3．2预备引理

3．3主要结果及证明

第四章具有奇性的Liénard方程周期解存在性的研究(Ⅲ)

4．1引言

4．2预备引理

4．3主要结果及证明

参考文献

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