使用量子拓扑相图对势能面提出的“分子中的原子”量子理论观点

摘要

一、量子化学的简介
　　量子化学是理论化学的一个分支，它是一门研究物质结构，组成，变化，性质的学科，主要目标是应用量子力学的基本原理来解决化学中的一些实际问题，根据微观体系中量子力学的基本原理与波函数信息，可以解决不含时的非相对论的薛定谔方程。利用量子化学来描述分子结构的三大基本理论分别是价键理论，分子轨道理论和配位场理论。量子化学可以广泛地应用于生物化学，物理化学，催化化学等其它学科。随着计算机技术的不断发展，量子化学的计算方法也得到了快速地发展，如:从头算方法，半经验方法，密度泛函理论，分子力学等。
　　从头算方法不依据任何的经验参数，它在物理模型上包括三个基本近似，即①Born-Oppenheimer近似，也称为绝热近似;②非相对论近似;③独立粒子近似。在从头算方法理论框架中，有一系列的近似方法来解决多粒子体系中不含时的、非相对论的薛定谔方程，如:HF方法，微扰理论方法，耦合簇方法，组态相互作用法。
　　二、QTAIM和发展的QTAIM的简介Bader和他的合作者依据电荷密度分布ρ(r)最早提出分子中原子量子理论，来解释化学现象中的一些特性。QTAIM可以通过理论计算方法来获得电荷密度分布函数，如:密度泛函理论，含时密度泛函理论，或者组态相互作用法等，同时也可以通过实验方法得到，如X-衍射实验或1HNMR光谱学。
　　QTAIM理论方法的核心是电子密度分布ρ(r)，电子密度的梯度矢量场▽ρ(r)和电子密度的二阶导数Laplacian值▽2ρ(r)决定了一个分子的电子密度分布的拓扑性质。若空间中某一点的电荷密度分布的一阶导数▽ρ(r)=0，则该点称为临界点，在该点处建立Hessian（3*3）矩阵，可得到三个本征值（λ1，λ2，λ3），Laplacian值▽2ρ(r)被定义为▽2ρ(r)=λ1+λ2+λ3.若▽2ρ(rc)＜0，表示该区域Laplacian值为负值，势能占优势，负电荷在该处集中，并且值越小，化学键的共价性越强;若▽2ρ(rc)＞0，表示该区域Laplacian值为正值，动能占优势，负电荷在该处分散，值越大，化学键的离子性越强;若▽2ρ(rc)接近于0时，一般形成的是较弱的化学键。临界点可以标记为(ω，σ），其中，ω代表矩阵的秩，等于临界点处电荷密度的非零特征值的数目，在临界点处ω只能等于3.符号σ代表的是临界点处三个特征值符号的代数和。（3，-3）称为核临界点（NCP），三个特征值均为负值，电荷密度ρ(r)为局部最大值;(3，-1)称为键临界点(BCP)，三个特征值其中一正两负，水平面上的电子密度ρ(r)为最大值，垂直于这个平面的方向上的电子密度ρ(r)为最小值，键临界点表明两原子之间的成键作用，那么一定存在一条从键鞍点出发连接两原子的键径;(3，+1)称为环临界点，三个特征值一负两正，水平面上的电子密度ρ(r)为最小值，垂直于这个平面的方向上的电子密度ρ(r)为最大值。(3，+3)称为笼临界点，三个特征值均为正值，电荷密度ρ(r)为局部最小值。对于一个独立稳定的分子，各临界点的个数满足Poincaré-Hopf关系式:n-b+r-c=1.键径的定义是在两个相邻的吸引子之间的“原子”界面，可存在一个BCP，由BCP出发分别终止于两个NCP的路径。通常键径是直线的，但在一些特殊的体系中，键径也可能是弯曲，曲线的弯曲程度越大表明体系越不稳定。键的椭圆率定义为ε=λ1/λ2-1，椭圆率值越大，化学键显示出明显的π键性质，反之，椭圆率值接近于0时，化学键显示出明显的σ键性质。
　　近些年来，我所在的科研小组对于QTAIM理论进行了一些研究与发展，在这部分中，我简单地介绍了:在QTAIM理论中，重新对分子的维度进行了新的定义，我们把含有至少一个CCP和至少2个RCPs的分子定义为3-DQT,把含有至少一个RCP的分子定义为2-DQT，把含有BCPs和NCPs的分子定义为1-DQT，只含有NCP的分子，即孤立的单原子结构，定义为0-DQT.这种维度的划分更细致，它和传统的欧几里得维度方法的区别在于，有效地区分了2-D和1-D的维度。我们还研究了维度之间的关系，引出了Drb和Drc的概念，分别表示最近的RCP和BCP的距离，以及最近的CCP与RCP的距离，当Drb的值越小，2-DQT越趋向于1-DQT，当Drc的值越小，3-DQT越趋向于2-DQT.
　　为了能更好的预测，解释和构建复杂的势能面，我们研究组发展了一种新的量子拓扑理论，这种新的量子拓扑理论称为概念量子拓扑理论，在这种理论的框架中，我们构建出了量子拓扑相图，它能更直观地将同分异构体拓扑量进行可视化。在不断地研究中，我们发展了2种量子拓扑相图，即2D的量子拓扑相图和3D的量子拓扑相图。对于2D的量子拓扑相图，以BCP的数目为X轴，RCP的数目为Y轴，构建格子式的图形，切线CCP=0，将整个相图分为两个区域，右下区域的点代表不满足Poincaré-Hopf关系式的结构，左上角区域的点代表满足Poincaré-Hopf关系式的结构，将其细分可分为，稳定点，即已知的拓扑结构;遗漏点，即除去已知的结构，剩下的未发现的结构;不稳定点，即随着CCP数目的增加，键径将承受更大的张力，结构趋向于不稳定的结构。3D的量子拓扑相图的提出，有利于解决NNAs存在的情况下，无论是建立3DNNA还是3D CCP量子拓扑相图，都能预测数目相等的遗漏结构。（详细请见第三章的阐述）
　　在研究双金属纳米团簇Au6Pt时，我们提出了一种新的描述掺杂分子中指定原子活性的拓扑学指标，即邻环临界点数目（NNR CPs）的观点，它是一种比原子配位数更精确的方法。通过对邻环临界点的研究，我们还发现当NNRCP=0这种情况下，形成了一种比化学键更弱的原子之间的相互作用了。
　　三、利用量子拓扑相图提出一个关于Si6Li6势能面的QTAIM观点量子化学的一个核心应用是研究势能面的稳定点以及连接稳定点的路径，按照惯例，绝热势能面的形貌被认为是核骨架的一个模型，忽略了总电荷密度分布提供的大量信息。势能面的精确模型，例如，一个化学反应要求反应物和产物分子的每一个可能的取向和考虑每一个分子取向的电子能。获得电子能一般有大约105次可能的取向，然后这些能量值满足复杂的多维函数。重要的是，研究势能面不能只单单关注全局最优化，而忽略局部最小值。针对这个因素，我们研究组将研究重点放在同分异构体上，因为它们不仅能提供了解生成物特性的重要方法，而且对异构体间的统计比较分析是一种更有效地确定适合的量子力学计算方法。在本研究课题中，在分子原子量子理论框架中，研究异构体将解决复杂的势能面。NNAs（也称为“赝原子”或“伪原子”）存在很大强度上增大了势能面的复杂度，最初，对NNAs存在各种争议，Platts和他的研究团队首先在实验上注意到。Glaser提出在Li和Na团簇，NNAs可能出现在低极化率的长键上，核的作用很小，总电荷的径向价轨道分布占居主导作用。
　　碱金属和硅团簇被认为具有巨大的相关性，因为碱金属吸附在半导体的表面，可以用来做很好的催化剂。本研究的最主要的目的是为了更好的理解影响Si6Li6势能面的因素。Juan和他的团队探索了7种异构体，发现最稳定的结构不是平面，而是一种紧凑的结构。他们分析了极化率与能量稳定性之间的关系，证明与极化率最小化原则一致。传统描绘势能面的方法缺少预测遗漏结构的能力，因为它们使用的是全局指标来分析，如:总能量和总的核骨架。因此，我们在“分子中原子”理论的框架中，研究总电子电荷密度ρ(r)来分析。
　　通过高斯和AIMALL的计算，我们找到了17种新的拓扑学结构，见图3.2.在计算的过程中，我们发现了NNAs的存在，为了解决利用2-D量子拓扑相图无法将所有的同分异构体拓扑量准确的可视化，我们增加了Z轴的方法来解决这个问题，因此我们研究了3-D NNA和3-D CCP量子拓扑相图，见图3.5。通过对比，我们可以发现3-D NNA量子拓扑相图中，四个区域的布局和2-D量子拓扑相图一样，CCP=0紧挨着“禁止”区域，但3-D CCP量子拓扑相图中的“不稳定”和“禁止”区域刚好和2-D量子拓扑相图中的布局刚好相反，NNA=0紧挨着“禁止”区域。无论是使用3-D NNA还是3-D CCP量子拓扑相图，预测到的“遗漏点”结构的数目都是一样的。最稳定的结构M4并不位于任何一种3-D量子拓扑相图的中心位置，这与之前(SiO2)6，(H2O）6和Au6Pt的研究结果不一致，它位于右上角的位置，详细位置见图3.5。这是因为由于Li原子的总电子密度低导致分子图中更多的键结合。
　　我们探索了NNA BCPs的种类与相对能AE和极化率α之间的关系，见图3.3。我们发现两者之间存在一个好线性关系，相关系数为0.912。图中可见，▽2ρ（rb)＜0的Si-NNA BCPs具有低的极化率值，▽2ρ（rb)＜0的Si-NNA BCPs能引起Si原子的电子密度重新分配。我们还探索了包括S i-NNA或者包括Li-NNA在内的最长的键径的局部能量密度H(rb)与金属率ξ(rb）之间的关系，发现两者之间符合指数关系，Y=0.0133e8.9800-0.0007，相关系数为0.914，见图3.4。
　　在本研究中，发现能量和拓扑学最稳定的结构是3-DQT，能量最不稳定的结构是2-DQT。见图3.1-3.3和表3.1。特别注意的是，M13分子图是3-DQT，但它拓扑学不稳定，因为CCP由不完整的RCP到BCP路径包围，它也是本研究中唯一包含NNA-NNA BCP的分子图，见图3.2。比较我们早期的(SiO2)6研究中，能量最稳定的结构是2-DQT，并且没有金属结合作用，但本研究中，能量最稳定的结构是3-DQT，并且Si-Si BCPs具有金属性，见表3.1和图3.4。与我们早期的(H2O)6研究比较，能量最稳定的结构都是3-DQT。总之，能量最稳定的分子图是3-DQT和拥有▽2ρ(rb)＜0的Si-NNA BCPs和具有金属性的Si-Si BCPs，能量稳定性低的分子图是2-DQT和包含至少4个Li-NNA BCPs的分子图。
　　相对于其它的Si化合物，如(SiO2)6,NNAs的存在增加了“遗漏点”异构体的数量，这是因为非常轻的Li原子非常能适应于Si原子的任意轻微的改变。能量最不稳定的M11，M10，M17和不包含▽2ρ（rb)＜0的Si-NNA BCPs的M23，它们是2-DQT和包含4个或更多的Li-NNA BCPs。Li原子的电荷密度的稀少产生NNAs和划分成一个平坦区域的势能面。早期的(SiO2)6研究，分子图不包含NNAs。势能面的平坦区域似乎可以从这个角度去看，相对能△E小于24 kcal/mol的范围内，(SiO2)6只有4种分子图，而本研究中有12种。(SiO2)6拥有18个原子，本应该有更多的独特的QTAIM分子图，但情况并不是这样的，在以前的研究中，只发现11种独特的拓扑学结构，其中包括一种不稳定的拓扑结构。
　　在本研究中，发现了17种新的独特的拓扑结构，并介绍了一种新的量子拓扑相图，NNAs和CCPs均可以作为Z轴构建成3-D的相图，它能定量的预测“遗漏”结构的数量;还揭露了NNAs的种类与极化率和相关能之间为良好的线性和与局部能量密度和金属率之间成指数的关系。▽2ρ(rb)＜0的Si-NNA BCPs的存在可以描述成“Li原子的性质”，来解释极化率值降低的现象。能量稳定性低的分子图中不含有▽2ρ(rb)＜0的Si-NNA BCPs和具有高的极化率。另外，能量最稳定的分子图中最长的Si-Si键径具有金属性，而能量稳定性低的分子图中不会出现。使用量子拓扑定义分子图的维度和分析金属性，允许我们定量的理解分子的形态学的改变会改变极化率。
　　四、基于量子拓扑相图，电子密度和分子静电势的混合分析水分子团簇由于水团簇的复杂和独特的化学特性，受到很多理论和计算化学家的关注，理解水团簇中的氢键的细微差别是了解大体积水性质的开始。已经提出了几种水的势能面的经验模型，经验势与实验值相符，但不幸地是，不能复制水的所有性质。虽然如此，这些经验势模型适合于评估水的一些性质，如:分子的溶剂化作用，蒸发热等。使用这些模型来精确地计算能量和预测结构的构型是一项非常大的任务。由于近些年来，计算资源的不断更新与进步，可以利用从头算方法计算大的水团簇，如:W16。但是，水的势能面由于弱的和扩展的氢键网络拥有许多局部最小值，局部最小值数量的增加随着团簇的尺寸的增加，这将增大研究全局最小值和其它能量稳定结构的难度。图论的程序最近被用来预测拥有不同的氢键网络的水团簇的局域最小值的可能数目。其它的产生水的局域最小值方法包括蒙特卡罗采样和基于蒙特卡罗模拟退火程序。尽管图论可以将势能面的复杂性进行量化，但是随着团簇的增长，它不能提供任何的见解在改变不同结构之间的平衡上。例如，对于W4和W5，能量偏爱于平面结构过渡到W6的三维形态。能量集中的方法能决定势能面的复杂度和最低能量结构。但是，对于一个给定的团簇大小，基于能量的方法后得到的能量最低结构不能对为什么这个特定的形态是首选结构提出见解。通过能量集中的方法和电子密度的拓扑分析的结合可以对这个问题提出见解。之前，从拓扑学和能量的角度一起解释了W4-W6的过渡。
　　本研究的目的在于将传统的基于能量方法和拓扑学相结合，首先，分子电子密度和一个混合的方法涉及分子静电势。因为同分异构体有孤立的最小值组成，它不可能直接的描绘势能面的单个拓扑学结构。但是，通过构建扩展的量子拓扑相图，它可以从分子电子密度的量子拓扑相图中得到异构体的势能面的全景图。在早期的W4-W6的研究中，发现全局最小值的位置依据于异构体的大小。在本研究中，我们将对W4-W6进行更详细的研究和构建W7-W10的量子拓扑相图来调查它们的结构与全局最小值在相图中的对应的位置。我们还将研究平面结构和紧凑结构之间的变化平衡，对于更小的团簇拓扑学的预期变化。这些标量的另一个应用是在通过计算能量之前，就能对拓扑学的变化进行预期的猜测。量子拓扑相图能将所有已知的和未知的可能的异构体同时概述。
　　电子密度的标量定量氢键，然而通过分子静电势来揭露电子定位，如:氧原子的孤电子对。鉴于这个，目前的工作是介绍混合量子拓扑相图的概念。
　　对于Wn，n=7-10，全局最小值和拓扑复杂度高的分子图列举在图4.1(a-d)，拥有CCPs的低洼同分异构体最小值的数目随着水团簇尺寸的增加而增加，对于W7，能量低洼的结构的分子图中只含有一个CCP，对于W8和W9，排在前5和前6的能量最稳定的分子图中均含有CCPs。对于W10，大多数的分子图趋向于含有一个CCP，证明3-DQT的增长优势，详情可见表4.1-4.4.
　　能量稳定性和拓扑复杂度之间的关系显示合理但又不是普遍的一致性。对于W8和W10，被发现全局最小值的分子图的结构更接近于正多面体，高的拓扑复杂度的分子图具有高的相对能△E，这能用来解释这些不规则非多面体的几何构型。例如:H2O-10-t23的拓扑复杂度值超过全局最小值的拓扑复杂度值，它的拓扑结构非常不规则而且不像一个规则的正多面体，见表4.4和图4.1(d)。对于W10，全局最小值符合量子拓扑相图上限的定义，因此，H2O-10-t23位于上界之上。
　　水分子单体个数为偶数的W8和W10的全局最小值是多面体几何构型，然而更多的复杂的拓扑结构是不规则的几何构型。W7和W9却不是这样的，于是拓扑学复杂度Σbrc并不是一种作为量子拓扑相图指标的可靠方法。我们将分析这些结构和量子拓扑相图的多样性。
　　对于W4, W5，W6的量子拓扑相图中，分别有3种，5种，6种独特的拓扑学结构，在本课题中，W7，W8，W9分别有6种，5种，4种，但是W10却有9种独特的拓扑学结构。W9是本研究中唯一不含有O---O BCPs的水团簇，这可能与W9只发现4种拓扑学结果有关了，这个与早期W4-W6的研究中得到的结论不谋而合。于是，我们推测O---O BCPs是拓扑学结构多变的原因。W4-W10的量子拓扑相图中，W10是唯一的3-DQT拓扑结构多于2-DQT，这表明了过渡到紧凑的拓扑行为。
　　对于W7-W9，团簇大小的增加与发现的拓扑学结构的数目反而减少看起来似乎很矛盾，我们介绍DL和DU的衡量指标。DL的定义是指最简单的拓扑学结构即最低限度b=3n与全局最小点的距离，其中，n指水单体的数目。DU的定义是全局最小值与最简单的规则的正多面体拓扑结构的距离。W4-W5的DL=0，而W6-W10的3≤DL≤5，表明随着团簇大小的增加，越倾向于紧凑的拓扑分子图。
　　在早期的研究中，发现W4-W6团簇中氢键BCPs H(rb)＜0表现出共价性的程度，我们探索了H(rb)和一定范围内的氢键BCPs，揭露出偶数单体形成的水团簇与奇数单体形成的水团簇具有不同的行为。我们使用H(rb）＜0来表明共价性的程度，我们发现W8和W10有高的共价性。bHB/2n的规律与早期研究W7-W16得到的能量的稳定性增加是由于偶数单体的团簇具有大的氢键BCPs值相一致的结论。化学意义上的结构无法用孤电子对和氢原子形成偶数氢键BCPs。但是，我们可以利用氢键BCPs数目的bHB/2n比值来直接研究。
　　EMSP对QTAIM的分析进行的补充，使得对水团簇Wn，n=7-10的微观结构有了更深入地了解。一个水二聚体氢键的形成，涉及到一种弱的相互作用，即两个LCPs中的其中一个与另一个水分子中的氢原子的相互作用，这将导致一个BCP的形成，这个BCP涉及到氢键的BCP(bHB)，同时也使LCP湮没在这个反应中。在MED分析中，我们表述了协同性用氢键BCPs的局部能量密度来表明共价特征的程度，见图4.3.对Wn，n=7-10结构的MESP分析包括，对于相应的氧孤对电子LCPs的数目，负值(3，+3) MESP的临界点数目用(l)表示，MED氢键的BCPs数目用(bHB)表示，见图4-4.显而易见，在一个稳定水团簇Wn中bHB的最大值可能是2n，其中n是团簇中氧原子的数目。然而，对于一个具有化学意义的结构，让其使用所有的孤对电子和氢原子来形成2n个氢键BCPs，这是不可能的。这就意味着在水团簇中，氢键BCPs(bHB)的数目和孤对电子的数目是有关系的，见等式(4-1)。鉴于此，我们介绍一种混合QTPD，即在水团簇的所有异构体中，将变量bHB对变量l做图。l值越高表明未使用的氧的LCPs越多。对于混合QTPDs所有的初始（最低）值，例如，bHB=n，相应的这些值需要形成一个线性链状水团簇异构体。在绘制混合QTPD时，最低能量的异构体将遵循以下关系:bHB+l=2n，较稳定的团簇倾向于将氢键BCP(bHB/2n)密度最大化，这将致使l的值减小，图4-4为Wn，n=7-10团簇的混合QTPDs。与MED QTPDs相比较，混合QTPDs可以表现出不同的特点。“禁止”区现在占据混合QTPD的左前部分，而不是像以前那样占据在右下方，“禁止”区由bHB:l联合组成，且它们之和不超过2n。从等式4-1中可以推导出，这些点的斜率为负值，在图4-4中，对于给定的bHB，仅有一个可能的l值，黑色的实线表明其斜率为负值。然而，这并非总是如此，混合QTPDs表明Wn团簇形成bHB:l组合的分布，例如，对于一个给定的bHB值，在各种异构体中存在多于一个的l可能值，见图4-4。这意味着所有的异构体遵循以下关系:bHB+l≥2n，然而，在不同异构体中包含相同的bHB值，能量最稳定的满足等式4-1，相反地，混合拓扑异构体符合不等式bHB+l＞2n，其对应于相对较高的局部能量极小值。对于Wn，n=7-10中每个混合QTPDs，所有的各个全局最小拓扑结构满足等式4-1。所有违反等式4-1的拓扑结构都是能量不稳定的，并且包含弱的氢键BCPs。
　　总之，基于总电子密度的临界点标量场和分子静电势之间的化学关系，我们介绍了混合QTPD的观点。混合QTPD是从负的MESP(3，+3)临界点氧的孤电子对数(l)和从分子电子密度的氢键键临界点（bHB）的角度构建的。对于给定的水团簇的能量稳定异构体被限制在一个狭窄的区域，这与相关的势能面的无限多线性形成了对比。
　　提出新的衡量指标DL和DU与全局最小值相联系，我们可以假设更大的团簇的所有的稳定的拓扑学结构将位于超过QTPD上限的位置。利用混合的QTPD，我们发现符合bHB+l＞2n不等式的拓扑学结构总是划分成高能量，比bHB+l=2n的区域更不稳定，这是由于高的相对能△E符合不等式bHB+l＞2n不是由于低的氢键BCP密度(bHB/2n)而是低的(bHB/l)值。
　　五、总结与展望在QTAIM理论框架中，我们发展了概念拓扑学，提出了邻环临界点数NNRCP方法来正确判断给定原子活性的强弱，还提出了新的量子拓扑相图来解决NNA的存在问题，还提出了新的衡量指标DL和DU与混合QTPD的观点。
　　今后的研究目标:
　　1.使用内禀反应坐标(IRC)分析(H2O)5的量子拓扑相图与其势能面的关系。
　　2.运用QTAIM键径硬度(S)的新概念并联合弯曲度和椭圆率的新观点分析理解(H2O）5的内禀反应坐标（IRC）。
　　3.运用应力张量(σ)的新观点理解(H2O)5部分内禀反应坐标(IRC)不符合应力Poincaré-Hopf关系式，并以此为切入点分析过渡态的形成及其位置。
　　4.创建一个基于QTAIM框架的矢量来分析理解(H2O)5的IRCs，与上述的标量分析相结合，建立一种更全面的QTAIM分析方法。我们将在QTAIM理论框架内尝试运用概念量子拓扑理论方法完成1，2，3点研究目标。具体方法如下:
　　(A)构建一个基于QTAIM和应力张量(σ）理论的方法以更好地理解分析势能面和IRC之间的关系。
　　(B)建立一种新的方法论，达到既能将所有的能量稳定点通过量子拓扑相图加以分类，又能将总电荷密度分布与PES结合起来这两个目的。

目录

摘要

ABSTRACT

Chapter 1．Theoretical Background and Computational Methodology

1．1 Introduction

1．2 Elementary Quantum Chemistry

1．3 Ab Initio Theory

1．3．1 Hartree-Fork

1．3．2 M?ller-Plesset Perturbation Theory

1．3．3 Coupled Cluster

1．3．4 Configuration Interaction

1．4 Density Functional Theory

1．5 A Brief Introduction to Gaussian and AIMALL

Chapter 2．The Quantum Theory of Atoms in Molecules and the developing QTAIM

2．1 Introduction

2．2 The Four types of Critical Points

2．3 Bond Ellipticity (ε)

2．4 The Definition of Bond Path and the Bond Path Length

2．5 Metallicity ((ζ))

2．6 The Local Energy Density

2．7 A New Non-Euclidean geometry for Molecules and Clusters

2．8 Quantum Topology Phase Diagram

2．9 The Discipline of Nearest Ring Critical Points (NNRCPs)

Chapter 3．A QTAIM Perspective of the Si6Li6 Potential Energy Surface using Quantum Topology Phase Diagrams

3．1 Introduction

3．2 Methodology and Computation

3．3 Resuits and Discussion

4．4 Conclusions

Chapter 4．Hybrid Electronic Charge Density and Electrostatic Potential-Based Quantum Topology Phase Diagrams for Water Clusters

4．1 Introduction

4．2 Theoretical Background

4．3 Computational Methods

4．4 Results and Discussion

4．4．1 MED Analysis

4．4．2 MESP Analysis

4．5 Conclusions

Chapter 5．Conclusion and Further Work

5．1 Conclusion

5．2 Further Work

REFERENCE

ACKNOWLEDGEMENT

声明