实循环矩阵与实反循环矩阵的实Schur型及其相关应用研究

摘要

循环矩阵和反循环矩阵是两类特殊的Toeplitz矩阵，它们在计算与Toeplitz矩阵相关问题时起着重要的作用.本文主要研究实循环矩阵和实反循环矩阵的特征结构及其应用. 首先，我们根据循环矩阵和反循环矩阵可被Fourier矩阵对角化的性质，研究了实循环矩阵和实反循环矩阵的特征值和特征结构，并由此得到了与离散余弦变换(DCT-Ⅰ，DCT-Ⅱ，DCT-Ⅴ，DCT-Ⅵ)和离散正弦变换(DST-Ⅰ，DST-Ⅱ，DST-Ⅴ，DST-Ⅵ)密切相关的实Schur型. 计算Toeplitz矩阵-向量乘法一般有两种方法:分裂法和嵌入法.若利用FFT算法，则会引入复运算.所以我们将实Schur型应用于计算实Toeplitz矩阵-向量乘法，分别使用分裂法和嵌入法，得到了只包含实运算的基于DCT-DST的实Toeplitz（实循环，实反循环）矩阵-向量乘法的快速算法，其存储量和计算量分别为FFT版的一半.实验数据表明，DCT-DST版的CPU计算时间为FFT版的一半. 然后，我们利用实Schur型对求解实正定Toeplitz线性方程组的循环与反循环(CSCS)迭代法进行了重新描述，得到了基于DCT-DST的CSCS迭代法.实验数据表明，与基于FFT的CSCS迭代法相比，我们的迭代法减少了约一半的计算;而与基于FFT的Hermitian与反Hermitian(HSS)迭代法相比，我们的迭代法迭代次数大大减少，且CPU计算时间明显减少. 本文共分为五章，结构如下: 第一章为绪论，主要介绍了循环矩阵研究背景与意义，以及本文的创新点; 第二章为预备知识，主要介绍了本文所涉及到的一些相关定义与引理; 第三章主要介绍了实循环矩阵和实反循环矩阵的特征结构，并得到了它们的实Schur型; 第四章主要介绍了基于DCT-DST的实Toeplitz矩阵-向量乘法的快速算法; 第五章主要介绍了利用基于DCT-DST的CSCS迭代法求解实正定Toeplitz线性方程组.

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摘要

符号表

第一章绪论

1．1研究背景与意义

1．2本文的研究内容及创新点

第二章预备知识

2．1相关定义的介绍

2．2相关引理

第三章实(反)循环矩阵的实特征结构

3．1实循环矩阵的实特征结构

3．2实反循环矩阵的实特征结构

第四章实Toeplitz矩阵-向量乘法的快速计算

4．1．2基于DCT和DST的快速算法

4．2实反循环矩阵-向量乘法

4．2．1 基于FFT的快速算法

4．2．2 基于DCT和DST的快速算法

4．3实Toeplitz矩阵-向量乘法的快速算法

4．4数值实验

4．5小结

第五章求解实Toeplitz线性方程组的CSCS迭代法

5．1基于FFT的CSCS迭代法

5．2 基于DCT-DST的CSCS迭代法

5．3数值实验

5．3．1 与基于FFT的HSS迭代法的比较

5．3．2 与基于FFT的CSCS迭代法的比较

5．4小结

参考文献

致谢

附录