带长范围位势的高阶薛定谔算子的散射

摘要

散射现象是大自然中一种很普遍的现象，如物理中的量子散射、粒子碰撞的散射、大自然中光线的散射等.本文是从数学的角度来研究散射，具体来说是研究散射中最基本的问题即：波算子的存在性和完全性，同时这两个问题也是本文研究的重点.只有当证得了波算子的存在性和完全性之后才能定义散射算子，才能对散射算子进行具体的研究.
　　 在所有散射现象当中研究最多的是带位势项的Schr(o)dinger算子：H=-△+V(x),的散射问题.对于带短范围位势的Schr(o)dinger算子，其波算子Ω±(H,H0)=s-limt→(+)∞ eiHte-iH0t的存在性常用Cook方法且目前已经有较完善的体系.而本文正是考虑带长范围位势的高阶薛定谔算子H=(-△)m+V(x) and H=(-△)m.的散射问题.此时，由于一般的波算子是不存在的，因此需考虑修正后的波算子，而修正的方法有很多.本文采用的修正的波算子是：Ω±(H,H0;J)=s-limt→(+)∞ eiHtJe-iH0t.
　　 在证明上述波算子的存在性时主要用到了光滑扰动定理，而对散射算子的研究则给出了散射矩阵的形式表达式，用到了算子凰H0=(-△)m.的特征函数展开.
　　 本文第一章介绍了散射的物理背景、前人的研究成果和本文的主要工作.第二章则涉及到本文所需要的一些知识如：波算子和散射算子的定义及证明波算子存在性的相关定理；光滑扰动理论；拟微分算子相关性质等.第三章证明了波算子的存在性，这也是本文的主要工作.第四章证明了波算子的完全性.第五章给出了散射矩阵的一个形式表达式.