非高斯随机动力系统的定量刻画――逃逸时间、逃逸概率和概率密度的演化

摘要

在工程与应用科学中，环境、输入的初始条件、边界条件等随机因素都有可能造成动力系统的不确定性。Gaussian白噪声和non-Gaussian白噪声，是建立随机动力学模型中常用的。其中Gaussian白噪声是最简单但很常见的一类噪声，Brownian运动是它的数学模型，广泛的应用于各种具有不确定性的复杂系统。然而在气候变化、海洋生物的觅食行为模式、基因调控系统中mRNA和蛋白质的反应等复杂系统中，都包含了non-Gaussian白噪声。Lévy过程被认为是研究non-Gaussian扰动的一个适当的数学模型，而α-稳定的Lévy过程又是一类特殊但重要的non-Gaussian Lévy过程。本文中，考虑由Brownian运动和L′evy过程驱动，共同驱动的随机动力系统，通过平均首次逃逸时间，首次逃逸概率，随机吸引域和概率密度的演化等量化指标，定量地刻画随机系统的统计信息和动力学性态。
　　本文的结构安排如下：
　　第一章，对随机分析中的一些基本理论进行了回顾，介绍了Brownian运动和Lévy过程的一些性质和定理，以及随机动力系统的基本定义和概念。
　　第二章，考虑一个自我调节的正反馈基因调控系统，建立一个随机微分方程模型，研究在蛋白质基本合成反应的时候，产生的随机噪声对转录因子活化子随时间变化的浓度的影响。这种随机噪声，尝试用Brownian运动和一个纯跳的α-稳定的Lévy过程，共同来模拟。两个确定性的量，平均首次逃逸时间和首次逃逸概率，被用来分析，在噪声影响下，转录因子活化子从低浓度状态向高浓度状态的转移行为。平均首次逃逸时间越短，或者首次逃逸概率越大，就越有利于转移到高浓度状态，从而也更利于转录发生。通过数值试验可以观察到，Lévy过程的较大的跳跃幅度，以及较大的噪声强度都有助于缩短逃逸时间。对转移概率的研究，根据逃逸区域和目标逃逸区域是否相邻，分为两种情况。数值试验结果显示，纯跳的α-稳定的Lévy过程对转录因子活化子的浓度，转移到一个指定的区域更具有优势。当两种噪声的噪声强度总数是不变的时候，对于每一个可以观察到的初始浓度，存在最佳的一个Gaussian白噪声和non-Gaussian白噪声的噪声比值，在这个比值下，平均首次逃逸时间和首次逃逸概率的达到最大值。
　　第三章，考虑将确定性系统中吸引域的稳定性这个概念，延伸到随机动力系统中。考虑用吸引域的大小来度量随机状态的稳定性，从而来描述在随机噪声的影响下，状态的亚稳态性。为此提出一个新的概念：随机吸引域。考虑到亚稳态性是一种转移的现象，用首次逃逸概率和平均首次逃逸时间这两个刻画量来作为判定这个随机吸引域大小的标准。给出了随机吸引域的两种定义：随机吸引域是这样一些初始值的集合，这些初始值以一个很高的概率逃逸到一个随机意义下的不变集，在这个不变集中，随机轨道不会以大的概率逃逸出去，或者随机轨道以有限长的时间的停留在原来区域。依然考虑自我调节的正反馈转录因子活化子单体浓度模型，通过数值试验，得到逃逸概率、首次逃逸时间这些标准、以及L′evy过程的稳定指标α对随机吸引域大小的影响。
　　第四章，考虑一种更为普遍的，在Marcus积分意义下的随机微分方程，广泛地应用于工程和物理，同时它也是对由non-Gaussian Lévy过程驱动的随机动力系统的恰当的建模。随机微分方程解的概率密度函数包含了这个随机过程所有统计信息，通常，是研究密度函数所对应的Fokker-Planck方程。目前，针对于由Brownian运动驱动的It(?o)SDEs，或者Stratonovich SDEs，它们所对应的Fokker-Planck方程的显式表达，已经十分完善了。找到了在Marcus积分意义下，由多维的L′evy过程驱动，以及更一般的噪声系数要求对应的Fokker-Planck方程的显性表达。这个表达方便后续的理论研究和数值计算。同时也给出一些例子，来说明这个理论结果是如何被应用，从而获得由L′evy过程驱动的Marcus SDE所对应的Fokker-Planck方程的表达形式。
　　第五章总结了本论文的主要内容，指出本文的不足，并且提出下一步研究工作的目标和内容。

目录

声明

1 绪论

1.1 历史背景和研究现状

1.2 本文研究内容

2 预备知识

2.1 随机分析

2.2 Non-Gaussian Lévy过程

2.3 随机微分方程

2.4 动力系统基础

3 Lévy运动驱动下的基因转录调控系统中的转移行为

3.1 研究背景

3.2 转录因子活化子调控模型

3.3 状态转移中的首次逃逸问题

3.4 数值试验结果分析

4 随机吸引域对亚稳态性的刻画

4.1 研究背景

4.2 定义随机吸引域

4.3 数值试验结果分析

5 带有Lévy噪声的Marcus随机微分方程的概率密度函数的控制方程

5.1 研究背景

5.2 主要结论

5.3 证明主要结论

5.4 举例

6 总结与展望

6.1 主要结论

6.2 后续研究

致谢

参考文献

攻读学位期间发表和完成的论文目录