二阶系统解耦中齐次Sylvester方程非奇异解的构造

摘要

二阶系统广泛地产生于电子振动、应用力学、流体力学等各应用领域中，一定条件下，很多高阶系统可简化为二阶系统，因此，深入研究分析二阶系统的特征具有重要意义。二阶系统解耦是指通过选取适当的坐标变换等手段将多变量相互关联的系统方程转化为多个独立的单变量方程，解除各变量之间的耦合关系。一般二阶系统具有三个参数矩阵，因此，二阶系统解耦就等价于三个矩阵的同时对角化，直接通过坐标变换的方法一般无法实现。数值代数领域通过Lancaster扩展系统系数矩阵的块阵同时对角化来实现二阶系统的解耦，并已证明几乎对所有的二阶系统都可以实现。
　　本文针对基于Lancaster结构二阶系统解耦方法中解耦变换的求解进行研究。解耦变换是系统解耦的关键，也是判定解耦是否有效的关键，研究解耦变换的求解至关重要。但目前关于解耦变换求解的研究较少，且现有方法无法对解耦变换的非奇异程度进行评价和控制。本文将针对这个问题进行深入研究。首先，将问题转化为齐次Sylvester方程非奇异解的求解问题，利用矩阵Jordan分解理论和系统的同谱特性进行方程通解形式的构造，并通过参数选取获得非奇异复数解。其次，针对工程实际需要，利用获得的非奇异复数解构造非奇异的实数解。具体利用实矩阵复相似则实相似的结论，通过给出参数的选取方案得到非奇异的实数解。最后，对实数解的非奇异性进行研究，利用矩阵条件数的相关知识确定参数，进一步提高实数解的非奇异性。并利用条件数界的推导，画出条件数及其下界随参数变化的曲线图，并说明参数选取方法的可行性。
　　本文的研究给出了二阶系统解耦变换求解的一种实际可行的方法，无论是理论上还是工程实际应用上都取得了一定的进展，从而为基于Lancaster结构二阶系统解耦研究的进一步完善做出了一些工作。

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第1章 绪论

1.1 论文研究背景及意义

1.1.1 论文研究背景

1.1.2 论文研究意义

1.2 国内外的研究现状及存在的问题

1.2.1 国外研究现状

1.2.2 国内研究状况

1.3 论文的研究内容

第2章 基于Lancaster结构的二阶系统解耦理论

2.1 二阶系统解耦简介

2.1.1 Lancaster结构简介

2.1.2 保持 Lancaster 结构变换

2.1.3 保持 Lancaster 结构的系统解耦

2.1.4 将解耦变换求解转化为Sylvester方程求解

2.1.5 等价解耦系统的确定

2.2 基于Sylvester方程的解耦变换求解

2.2.1 矩阵的Kronecker积

2.2.2 矩阵的拉直

2.3 基于Kronecker积的齐次Sylvester方程的非奇异解

2.4 本章小结

第3章 齐次Sylvester方程非奇异解的构造

3.1 齐次Sylvester方程的求解研究

3.2 齐次Sylvester方程AX=XB非奇异解的构造

3.2.1 矩阵方程AX=XB非奇异复数解

3.2.2 矩阵方程AX=XB的实数解

3.3 数值实验

3.3.1实验方案

3.3.2数值实验

3.4 本章小结

第4章基于条件数的解耦变换参数选取分析

4.1 矩阵的条件数

4.1.1 条件数的提出

4.1.2 条件数的性质与基本不等式

4.1.3 条件数的界

4.2 基于矩阵条件数选取最佳非奇异实数解

4.3 实验结果及其分析

4.4 本章小结

结论

参考文献

攻读硕士学位期间发表的论文和取得的科研成果

致谢