具有交换性质的Jacobi算子或共形Jacobi算子的黎曼流形和R上的一类特殊的伪黎曼度量

摘要

本文主要进行两方面的研究：首先是具有特殊交换性质的Jacobi算子或共形Jacobi算子的黎曼流形；其次是R<'4>上的伪黎曼度量． 第一章，主要研究具有特殊交换性质的Jacobi算子或共形Jacobi算子的黎曼流形．首先给出具有特殊交换性质的Jacobi算子的黎曼流形的性质．得到了下面的定理： 定理1.1.8 设(M，g)是维数为m的黎曼流形，m≥3，J，是(M，g)的Jacobi算子．如果存在常数c，c<'2><1，使得对于任意的p∈M以及任意的X，Y，∈T<,p>M，当cos∠(X，Y)=c时，都有等式J(X)J(Y)=J(Y)J(X)成立，则(M，g)具有常截面曲率．特别地，如果c≠0，则(M，g)是平坦的． 其次，给出具有特殊交换性质的共形Jacobi算子的黎曼流形的性质．得到了下面的定理： 定理1.1.9 设(M，g)是维数为m的黎曼流形，m>3，J<,W>是(M，g)的共形．Jacobi算子．如果对于任意的p∈M以及任意的X，Y ∈T<,p>M，都有等式J<,W>(X)J<,W>(Y)=J<,W>(Y)J<,W>(X)成立．则(M，g)是局部共形平坦的． 定理1.1.10 设(M，g)是维数为m的黎曼流形，m>3，J<,W>是(M，g)的共形Jacobi算子．如果对于任意的p∈M，下述条件成立： (1)对于任意的X，Y ∈T<,p>M，当g(X，Y)=0时，都有等式J<,W>(X)J<,W>(Y)=J<,W>(Y)J<,W>(X)成立； (2)存在单位向量X∈T<,p>M，使得算子J<,W>(X)的秩r<,W>(X)=m-1．则(M，g)是局部共形平坦的． 第二章，主要讨论四维实数空间R<'4>上的一类特殊的伪黎曼度量．证明了在一定的条件下， R<'4>关于这些特殊的伪黎曼度量是非局部对称的Osserman伪黎曼流形． 所研究的伪黎曼度量具有如下的表达式： 其中a和b是实常数，b不为零，f<,1>和f<,2>是任意光滑实值函数． 那么， (R<'4>g(f<,1>f<,2>))是一个非局部对称的Osserman伪黎曼流形.

目录

文摘

英文文摘

声明

第一章具有特殊交换性质的Jacobi算子或共形Jacobi算子的黎曼流形

§1.1引言

§1.1.1问题的提出

§1.1.2预备知识

§1.1.3主要定理

§1.2定理1.1.8的证明

§1.3定理1.1.9和定理1.1.10的证明

第二章R4上的一类特殊的伪Osserman黎曼度量

§2.1引言

§2.1.1预备知识

§2.1.2问题的提出

§2.2主要结果及其证明

总结

参考文献

致谢