基于Chebyshev正交多项式逼近理论的随机Hopf分岔的研究

摘要

在过去的几十年里，随机分岔是动力学领域中的一个热门话题。基于随机结构和随机动力系统理论，借助切比雪夫多项式逼近法探索非线性随机动力系统的响应，分岔和混沌现象。本文主要对含有随机参数的随机非线性动力系统的Hopf分岔进行了研究。主要内容如下：
　　首先，我们构造了一个含有随机参数的新的二维混沌系统，一个含有随机参数的电机系统和一个含有随机参数的金融系统。通过选择适当的分岔参数分析了系统在平衡点处的稳定性,存在性和发生Hopf分岔的条件。更准确地说，在接下来要研究的系统中我们分别选择参数a，b为分岔参数，当分岔参数a，b穿过临界值a0，b0时，系统就发生Hopf分岔。为了研究这类系统的动力学行为，我们首先借助切比雪夫多项式逼近法将其转换成等价的确定性系统。然后通过第一Lyapunov系数法获得确保这类系统发生Hopf分岔的参数条件。在数值计算过程中借助Maple，Matlab等数学软件得到转化后的高维确定性系统发生Hopf分岔的一些重要结论。并且分析了系统是发生超临界Hopf分岔还是亚临界Hopf分岔，以及发生超临界Hopf分岔时如满足一定的条件，系统从一个不稳定状态变成一个稳定状态。我们可以根据需要去适当的改变系统的参数来避免剧烈波动并且可以解释和预测一些实际问题。
　　其次，借助确定性系统理论对随机系统进行研究，发现其除了具有与确定性系统相似的一些特征外，还表现出一些随机系统特有的特征。与确定性系统不同，随机Hopf分岔临界值的确定不仅取决于随机系统中的随机参数，而且与随机参数的强度有关。当随机参数的强度改变时，随机Hopf分岔的临界值也会随之发生一定的变化。
　　最后，数值模拟的结果证明了本文理论结果是正确有效的。显然，关于这类系统还存在更多有趣的问题比如复杂性，控制，和同步，这些都值得进一步去研究。

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1 绪 论

1.1 引言

1.2 国内外相关领域的一些研究现状和进展

1.3 本文的研究目的，意义以及主要研究内容

2 理论基础

2.1 引言

2.2 Hopf分岔理论

2.3 高维动力系统的Lyapunov系数的计算方法

2.4 本章小结

3 一个带有随机参数的新的二维混沌系统的随机Hopf分岔分析

3.1 引言

3.2 系统模型的简要介绍以及确定性转化

3.3 随机Hopf分岔分析

3.4 分岔的稳定性分析

3.5 数值模拟

3.6 本章小结

4 一类电机系统的随机Hopf分岔分析

4.1 引言

4.2系统的确定性转化

4.3根据Hopf分岔定理判断Hopf分岔的存在性

4.4 分岔的稳定性分析

4.5数值模拟

4.6本章小结

5 一类社会经济系统的非线性动力学行为研究

5.1 引言

5.2一类社会经济系统介绍及确定性转化

5.3根据Hopf分岔定理判断Hopf分岔的存在性

5.4 分岔的稳定性分析

5.5本章小结

6 总结与展望

6.1 主要研究结论

6.2 进一步研究展望

致谢

参考文献

在攻读硕士学位期间的一些研究成果