具有常曲率的Finsler空间以及L-可约的Finsler空间

摘要

具有常曲率的Finsler空间一直是Finsler几何研究的重点之一.近年来，D.Bao和沈忠民先生对常曲率空间分类工作作出了重要贡献，消除了困扰我们多年的疑惑，很大地提高了对常曲率空间的认识，并再一次把研究具有常曲率的Finsler空间推向热潮.其中，有一个问题引起了一些Finsler几何学家的兴趣.在二十世纪八十年代，法国数学家H.Akbar-Zadeh发现具有常曲率λ的Finsler空间一定满足方程L：0+λF2C=0.自然地就问，满足方程L：0+λF2C=0的Finsler空间是否具有常曲率.本文首先就是针对这个问题展开的讨论，主要获得以下结论： 定理3.3(M，F)是n(≥3)维的Finsler空间.如果F满足方程L：0+c(x)F2C=0且具有标量曲率K=K(x，y)，则存在标量函数ρ(x)使得K=c(x)+ρ(x)e-3τ(x，y)/n+1. 定理3.4(M，F)是n(≥3)维的Finsler空间.如果F满足方程L：0+K(x，y)F2C=0且具有标量曲率K=K(x，y)，则K为常数，即(M，F)是具有常曲率的Finsler空间. 定理3.5n(≥3)维非Riemann的Finsler空间(M，F)满足方程L：0+K(x，y)F2C=0.(M，F)是具有常曲率的Finsler空间当且仅当(M，F)具有标量曲率K=K(x，y).在此情况下，K=K(x，y)是常数. 定理3.6(M，F)是完备的n(≥3)维Finsler空间.F满足方程L：0+cF2C=0，其中c为负常数.若Cartan挠率C有界，则(M，F)是Reimann空间. 定理3.7(M，F)是n(≥3)维的射影平坦的Finsler空间，如果Ii：j：k和Jj：k都关于j，k对称，则(M，F)是常曲率空间.更进一步，如果(M，F)是非零常曲率空间，则(M，F)是Riemann空间. 推论3.8Ii：j：k关于i，j，k对称的射影平坦的Finsler空间(M，F)是具有常曲率的.在此情况下，Ji：k=0. 接着，本文还研究了L-可约的Finsler空间的性质.M.Matsumoto定义了C-可约的Finsler空间，并得到了它的分类.C-可约的Finsler空间一定是L-可约的Finsler空间，但是，反过来就不一定成立.本文是凭借Cartan挠率和Landsberg曲率的紧密联系，实现了L-可约的Finsler空间向C-可约的Finsler空间的转化，主要获得以下结果： 定理4.2(M，F)是具有迷向Landsberg曲率的Finsler空间.(M，F)是L-可约的当且仅当(M，F)是C-可约的.在此情况下，F是Randers度量且其Douglas曲率D=0. 命题4.3如果L-可约Finsler空间(M，F)具有常曲率K，则一定是C-可约的. 命题4.4L-可约的Finsler空间(M，F)，如果满足方程L：0：0+k(x，y)C=0，其中k(x，λy)=λ3k(x，y)，就一定是C-可约的. 定理4.5L-可约Finsler空间(M，F)如果具有标量曲率K=K(x，y)，则一定是C-可约的，并且Ik=-1/KF2{Jk：0+F2/3(n+1)K.k}.

目录

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摘要

一、引言

二、预备知识

三、具有常曲率的Finsler空间

四、L-可约的Finsler空间

五、分析与思考

参考文献

致谢